数字信号处理原理及实践(方勇)习题答案.pdf

百度文库-好好学习，天天向上第一章第一章1-11-1 有一个连续信号xa(t)cos(2ft)，式中f 20Hz，（）求出xa(t)的周期；2，a(t)的表达式；（）用采样间隔T 0.02s对xa(t)进行采样，写出采样信号xa(t)的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周（）画出对应x期。解：解：（1）xa(t)的周期是Ta1 0.05sfa(t)（2）xncos(2fnT)(t nT)x(n)0.950.591 3 5 60 2 4ncos(40nT)(t nT)（3）x(n)的数字频率为 0.8，252n周期N 5。0.590.95x(n)cos(0.8n2)，画出其波形如题 1-1 图所示。题 1-1 图1-21-2 设xa(t)sin(t)，x(n)xa(nTs)sin(nTs)，其中Ts为采样周期。（1）xa(t)信号的模拟频率为多少？（2）和的关系是什么？（3）当Ts 0.5s时，x(n)的数字频率为多少？解：解：（1）xa(t)的模拟频率 rad/s。（2）和的关系是：Ts。（3）当Ts 0.5s时，0.5rad。-1百度文库-好好学习，天天向上1-31-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1）x(n)Acos(n1j(n)（2）x(n)e8。378)，A为常数；解解：（1）2143，这是有理数，因此是周期序列，周期是T 14；7312（2），16，这是无理数，因此是非周期序列。81-41-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列h(n)anu(n)，0 a 1。对于矩阵输入序列，1,0 n N 1RN(n),其他0求出输出序列，并用 MATLAB 计算，比较其结果。分析：分析：输入x(n)RN(n)，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷积，用公式表示为y(n)x(n)h(n)kx(k)h(n k)为了计算输出序列的第n个值，必须计算出乘积x(k)h(n k)，并将所得到的序列值相加。解：解：输出序列y(n)x(n)h(n)kx(k)h(n k)可以分成三种情况来求解：（）当n 0时，由于h(n k)和x(k)的非零取样互不重叠，因此y(n)0。（）当0 n N 1时，从k 0到k n，h(n k)和x(k)的非零取样值有重叠，因此y(n)kx(k)h(n k)ankk0n an1 an11 a11 an11 a（）当n N 1时，h(n k)和x(k)重叠的非零取样值从k 0到k N 1，-2百度文库-好好学习，天天向上因此N1y(n)k0 x(k)h(n k)ankk0N1 an1 aN1 a11 annN1()a1 a0所以y(n)1an11aanN11an(1a)利用 MATLAB求其响应,程序如下：a=1/2;N=20;n=0:N-1;c=1;d=1-a;x=ones(1,N);y=filter(c,d,x);stem(n,y);ylabel(y(n);-3,n 0,0 n N 1,N 1 n百度文库-好好学习，天天向上题 1-4 图 输出相应序列y(n)1-51-5 设x(n)anu(n)，h(n)bnu(n)abn1u(n 1)，求y(n)x(n)h(n)。解：解：X(z)z，z az azaz aH(z)，z bz bz bz bz所以，Y(z)X(z)H(z)，z bz b其 Z 反变换为y(n)x(n)h(n)1Y(z)bnu(n)显然，在z a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果b a，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大。1-61-6 求下列序列的Z变换及其收敛域，并用MATLAB 画出零极点示意图。（）双边指数序列x(n)an，0 a 1；（）正弦调制序列x(n)Arncos(0n)u(n)，0 r 1。解：解：（1）双边指数序列可写为anx(n)na-4,n 0,n 0百度文库-好好学习，天天向上其Z变换为X(z)a zn0nnna1nnz1nna z11azn1111z(1a2)nna z 11111az1az1az(1az)(z a)n0 x(n)a，0 a 1是一个双边序列，其收敛域为a z 1 a表示极点，极点为nz a，1 a，零点为z 0。其极点、零点图如图所示，图中表示极点，表示零点。利用 MATLAB画出其零极点，如题 1-6 图(a)所示：a=3;y=1-a*a;b=0 y 0;a=-a y-a;zplane(b,a);题 1-6 图(a)零极点图ej(0n)e j(0n)u(n)，0 r 1（2）x(n)Ar cos(0n)u(n)Ar2nn我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据Z变换的求和定义式求得其对应的Z变换、收敛域并画出零极点图。-5百度文库-好好学习，天天向上其Z变换为X(z)Ar cos(0n)znn0nej(0n)e j(0n)n Arz2n1nAcos Arz1cos(0)Aj1Aj1eej01 j011222(1rez)2(1rez)12rzcos0r z收敛区域为z r，极点为z rej0，re j0，零点为z 0，rcos(0)cos。其对应的零极点图如题 1-6 图所示。利用 MATLAB画出其零极点,如题 1-6 图(b)所示：A=1;r=1;w0=4*pi;w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w);b=A*cos(w)-y;a=1-x r*r;zplane(b,a);题 1-6 图(b)零极点图讨论讨论通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照Z变-6百度文库-好好学习，天天向上换定义式求起对应的Z变换和收敛域。对于Z变换表达式可表示为等比级数和的形式的序列，其Z变换的收敛域是保证等比小于1，如本例中要保证q z1re得收敛域为z r。j01，可rej0平面0a1/arcos(0)cos00re j0题 1-6 图 零极点示意图 an1-71-7 已知x(n)nb,n 0，求其Z变换及其收敛域。并用 MATLAB求解。,n 1解解：这是一个双边序列，其Z变换为X(z)nx(n)z1nn0annznbnzn111 az11bz1z(2z a b)，a z b(z a)(z b)zzz az b MATLAB求解程序如下：F=ztrans(sym(ak+bk)结果为：F=-z/(a-z)-z/(b-z)5z11-81-8 求X(z),2 z 3的逆Z变换，并用 MATLAB求解。121 z6z解：解：由部分分式展开可得X(z)11,1112z13z 2n因为2 z 3。所以得x(n)n(3)MATLAB求解：n 0n 0-7百度文库-好好学习，天天向上程序如下：syms k z;Fz=5*z/(z2+z-6);fk=iztrans(Fz,k)运行结果：fk=2k-(-3)k1-91-9 判断系统（1）y(n)验证。解：解：（1）令输入为x(nn0)，输出为Y(n)Tx(nn0)nn0m0m0（2）y(n)nx(n)是否为时不变系统，并利用 MATLABx(m)，nm0 x(mn)0n而y(nn0)x(m)Y(n)，所以系统是时变的。MATLAB验证：令x(n)(n1)2(n)(n1)，n01程序如下：x=1 2 1;n0=1;n=-1:1;x0=2 1;%x0为x横坐标非负的值y=cumsum(x0);Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n-n0);title(输入);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出);axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出);axis(-1,3,0,4);-8百度文库-好好学习，天天向上输 入4x(n)输 出4y(n)20-101n输 入2320-101n输 出234x(n-n0)4y(n-n0)20-101n输 出2320-101n234Y(n)20-101n23题1-9图(a)时变性验证（2）令输入x(n n0)，输出Y(n)Tx(nn0)nx(nn0)而y(nn0)(nn0)x(nn0)Y(n)，所以系统为时变的。MATLAB验证：令x(n)(n1)2(n2)(n3)，n01程序如下：x=1 2 1;n0=1;for i=1:length(x)y(1,i)=i*x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)X(1,i+n0)=x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)+n0y_(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0);endfor j=1:length(x)Y(1,j)=j*X(1,j);end-9百度文库-好好学习，天天向上subplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_);xlabel(n);ylabel(x(n-n0);title(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);stem(n,Y);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出);axis(0,4,0,6);输 入6464输 出x(n)20y(n)20012n输 入34012n输 出3466x(n-n0)20y(n-n0)012n输 出344420012n346420Y(n)012n34题1-9图(b)时变性验证1-10 利用 MATLAB验证例题 1-27（1）中的系统是否为线性时不变系统。-10百度文库-好好学习，天天向上解：令输入为x(n n0)，则输出为Y(n)Tx(nn0)ax(nn0)b，而y(nn0)ax(nn0)b，所以y(nn0)Y(n)，系统为时不变系统。又因为Y1(n)Tpx1(n)qx2(n)apx1(n)qx2(n)b而，Y2(n)py1(n)qy2(n)pax1(n)bqax2(n)b Y2(n)所以系统为非线性系统。MATLAB验证：a:时变性验证：令x(n)(n)2(n1)3(n2)，a=1，b 2，n0 k 1程序如下：a=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;x=1 2 3;y=a*x+b;for i=1:size(x,2)x_(1,i+n0)=x(1,i);y_2(1,i+n0)=y(1,i);endx_=zeros(1:n0),x_(n0+1:end);y_1=a*x_+b;y_1=zeros(1:n0),y_1(n0+1:end);subplot(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);xlabel(n);ylabel(x(n);title(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);xlabel(n);ylabel(x(n-n0);title(输入);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1);xlabel(n);ylabel(Y(n);title(输出);axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);xlabel(n);ylabel(y(n-n0);title(输出);axis(0,4,0,6);-11百度文库-好好学习，天天向上输 入66输 入20 x(n-n0)012n输 出344420 x(n)012n输 出3464642020012n输 出34Y(n)y(n)012n346y(n-n0)420012n34题 1-10 图(a)时变性验证b:线性验证：令x1(n)(n)2(n1)3(n2)2(n3)，x2(n)3(n)2(n1)(n2)(n3)，a=1,b 2,p 2,q 1程序如下：x1=1 2 3 2;x2=3 2 1 1;a=1;b=2;p=2;q=1;n=0:3;y1=a*x1+b;y2=a*x2+b;Y1=a*(x1*p+q*x2)+b;Y2=p*y1+q*y2;subplot(1,2,1);stem(n,Y1);xlabel(n);ylabel(Y1(n);axis(0,3,0,14);subplot(1,2,2);stem(n,Y2);xlabel(n);ylabel(Y2(n);-12百度文库-好好学习，天天向上14141212101088Y1(n)6Y2(n)64422001n23001n23题 1-10 图(b)线性性验证111 已知系统函数H(z)1 zN，试用 MATLAB 画出该系统的幅频特性。解：解：利用MATLAB中的freqz()函数可以画出该系统的幅频特性曲线，如题1-11图所示。N取10。MATLAB程序如下：N=10;b=1 zeros(1,N-1)1;a=1 zeros(1,N);OMEGA=0:pi/150:2*pi;H=freqz(b,a,OMEGA);plot(OMEGA,abs(H);-13百度文库-好好学习，天天向上题 1-11 图 幅频响应特性1-121-12 一般的滑动平均由下列方程定义M21y(n)x(n k)M1 M21kM11x(nM1)x(nM11)M1 M21x(n)x(n 1)x(n M2)该系统计算输出序列的第n个样本时是将其作为输入序列第n个样本前后的(M1M21)个样本的平均。求：（1）该系统的冲激响应h(n)；（2）求该系统的频率响应；（3）对M10，M2 4，求H(ej)和arg H(ej)，并用 MATLAB 画出其图形。M21解解：（1）h(n)(n k)M1 M21kM11,M1 n M2M1 M210,其他1,M1 n M2（2）因为h(n)M1 M210,其他因此频率响应就是H(eN2jM21)e jnM1 M21M1aN1 aN21利用等比级数求和公式a1 anN1k可以得到：-14百度文库-好好学习，天天向上H(ej1ejM1e j(M21)e j(M2M1)/2sin(M1 M21)/2)jM1 M21M M1sin(/2)1e12（3）当M10，M2 4时，H(ej)1 sin(5/2)，arg H(ej)25 sin(/2)利用 MATLAB画出其频率响应图：1ejM1e j(M21)由H(e)jM1M211ej1zM1 z(M21)得H(z)M1M211 z1所以 MATLAB程序如下：M1=0;M2=4;X=1/(M1+M2+1);b=X zeros(1,M2)-X;a=1-1;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);运行结果如题 1-12 图所示：-15百度文库-好好学习，天天向上题 1-12 图 频率响应曲线图1-131-13 设某线性时不变离散系统的差分方程为y(n 1)10y(n)y(n 1)x(n)，试求它的3单位脉冲响应。并讨论其因果性和稳定性，并用MATLAB 计算，与理论值进行比较。解：解：y(n 1)10y(n)y(n 1)x(n)3对上式两边取 Z变换，得到：z1Y(z)10Y(z)zY(z)X(z)3H(z)1zz1010112z zz z1(z)(z3)33331111813z1z13极点：zp11，zp2 3333n3nu(n)；8当 ROC：z 3时，系统因果不稳定，h(n)当 ROC：31nn z 3时，系统非因果稳定，h(n)3 u(n1)3u(n)；3813时，系统非因果不稳定，h(n)3n3nu(n 1)。38当 ROC：z-16百度文库-好好学习，天天向上1-141-14 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由，如果是稳定系统，通过 MATLAB 画出其零极点图。1（1）y(n)Nx(n k)k0N1（2）y(n)x(n)x(n 1)（3）y(n)x(n n0)解：解：（1）只要N 1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)M，y(n)M，因此系统是稳定系统。MATLAB画出零极点,如题 1-14 图(a)所示：N0=100;X=N0-1;b=1 zeros(1,X-1)-X;a=1-1;zplane(b,a);题1-14图(a)零极点示意图（2）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。如果x(n)M，则y(n)x(n)x(n1)2M，因此系统是稳定系统。MATLAB画出零极点图如下：-17百度文库-好好学习，天天向上b=1 1;a=1 0;zplane(b,a);题1-14图(b)零极点示意图（3）系统是非因果系统，因为n时刻输出和n时刻以后的输入有关。如果x(n)M，y(n)M，因此系统是稳定的。1-151-15 求下列单位脉冲响应的Z变换及收敛域，用 MATLAB画出零极点分布图。（1）、(0.2)u(n)（2）、enj0nu(n)（3）、cos(0n)u(n)解解：（1）由Z变换的公式可得其Z变换为：1z=，z 0.2。110.2zz 0.2利用 MATLAB画出其零极点，程序及运行结果如题1-15 图(a)所示：b=1 0;a=1;zplane(b,a);-18百度文库-好好学习，天天向上题1-15图(a)零极点示意图（2）利用Z变换公式可得：其Z变换为11ej0z1,z ej0MATLAB画出零极点如下题 1-15 图(b)所示：w0=2*pi;x=exp(j*w0);b=1;a=1-x;zplane(b,a);题1-15图(b)零极点示意图ej0ne j0n1jn（3）因为cos(0n)，由（2）知e0u(n)的Z变换为j0121ez-19百度文库-好好学习，天天向上e j0nu(n)的Z变换为11e j0z11 z1cos0所以得出cos(0n)u(n)的变换经化简得：,z 11212zcos0 z利用 MATLAB画出其零极点如下题 1-15 图(c)所示:w0=pi/4;b=1-cos(w0);a=1-2*cos(w0)1;zplane(b,a);题1-15图(c)零极点示意图1-161-16 已知系统函数如下：H(z)断系统是否稳定.解：解：MATLAB程序如下：A=2P=roots(A);M=max(abs(P);if(M1)disp(系统稳定)else disp(系统不稳定)end运行结果如下：-20(z 8)(z 2)，用 MATLAB 编程判4322z 2.9z 0.1z 2.3z 1.5百度文库-好好学习，天天向上A=系统稳定1-171-17 设一因果 LTI系统的差分方程为y(n)2y(n 1)3y(n 2)x(n)4x(n 1)5x(n 2)6x(n 3)并且已知初始条件为y(1)1，y(2)1，输入x(n)0.2nu(n)，利用 MATLAB 求系统的输出y(n)。解：解：%用迭代法求取 10 点数据y=zeros(1,10);i=1:10;y(1)=-2-3+1;y(2)=2*y(1)+3+1+4;y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*;y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*2;for n=5:10y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*(n-2);endstem(i-1,y);xlabel(n);ylabel(y(n);结果如题 1-17 图所示：题1-17图 输出响应y(n)-21百度文库-好好学习，天天向上1-181-18 一系统的差分方程描述如下：y(n)0.81y(n2)x(n)x(n2)试确定该系统的频率响应，并求出输入序列为x(n)1010cos(的稳态输出。n)10cos(n)2z211e2 jj解：解：由差分方程可得出H(z)2，H(e)z 0.8110.81e2 j其特征根为z1、2 0.9j，所以该系统为一稳定系统。当输入序列为x(n)1010cos(计算出：H(e)0，H(ej0n)10cos(n)时，由稳态输出的定义，我们可以2j2)10.53，H(ej)0。所以其稳态输出为y(n)10.53cos(用 MATLAB 画出其频率响应:程序如下：n)2b=1 0-1;a=1 0;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);运行结果:-22百度文库-好好学习，天天向上题 1-18 图 频率响应曲线1-191-19 考虑一个三阶系统y(n)0.4y(n1)0.2y(n2)0.8y(n3)5x(n)输入x(n)u(n)，初始状态y(1)2，y(2)4和y(3)5，利用状态方程方法求出y(n)。解：解：定义q1(n)y(n 3)，q2(n)y(n 2)，q3(n)y(n 1)，差分方程可以写为如下状态方程的形式：10 00q(n)0 x(n)q(n1)001 0.80.20.45y(n)0.80.20.4q(n)5x(n)可计算出q1(0)5，q2(0)4，q3(0)2。其 MATLAB 程序如下：-23百度文库-好好学习，天天向上%状态方程求解系统响应演示程序A=0 1 0;0 0 1;B=0;0;5;C=;D=5;q0=5;4;2;n=0:1:25;X=ones(size(n);Y,s=dlsim(A,B,C,D,X,q0);stem(n,y);xlabel(n);ylabel(y(n);grid;题 1-19 图 输出响应y(n)第二章第二章21 试求如下序列的傅里叶变换：-24（1）x1(n)(n n0)（2）x2(n)11(n 1)(n)(n 1)22n（3）x3(n)a u(n 2),0 a 1（4）x4(n)u(n 3)u(n 4)百度文库-好好学习，天天向上1（5）x5(n)(n3k)k04（6）x6(n)ncosn 3,1 n 40,其他j解：（1）X1(e)n(nn)e0 jn e jn0（2）X2(e)jnx(n)e2n jn11ej1e j1 jsin22 jn（3）X3(e)jna u(n2)en2a e jnn jna2e2 j，0 a 1 j1ae jn（4）X4(e)jnu(n3)u(n4)en3e3en03 jnejnn131e j41ej3j1 e j7j3e=e j1e j1ej1 e7sin21sin21 1j jn（5）X5(e)(n3k)ee j3kn k04k04n3k1 je4k03k111e j443（6）X6(e)jn4cos3ne4 jn j1je3e3e jnn42)9j()nj4()9j()n1j4(133e3ee3e22n0n0j()9j()91j4(3)1e31j4(3)1e3eej()j()22331e1e22 设信号x(n)1,2,3,2,1，它的傅里叶变换为X(e(1)X(e)（）j0j)，试计算X(ej)d（）X(e)d。j2-25百度文库-好好学习，天天向上解：解：（）X(e)j0nnx(n)1j1（）x(0)2（）23 已知X(e2)d 3，X(ej)d 6n22X(e)d 2x(n)38jn2|01,X(ej)0,0|求X(e解：解：j)的逆傅里叶变换x(n)。1x(n)2j0ejnd0sin0nn24 设X(e换。)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变（1）x(n n0)（3）x(n)jn（2）x(n)（4）nx(n)*解：解：(1)DTFTx(nn0)nx(nn)e0，令n n n0,n n n0,则：DTFTx(nn0)nx(n)e j(nn0)e jn0X(ej)(2)DTFT x(n)(3)DTFTx(n)*nx(n)e*jnx(n)ejn X(e j)n，令n n，则：nx(n)e jnDTFTx(n)x(n)ejn X(e j)X(ej)jnx(n)e jn jFTnx(n)，得nn(4)由X(e)jnx(n)e jn-26百度文库-好好学习，天天向上X(ej)所以DTFTnx(n)j25 已知序列x(n)2u(n)，求其傅里叶变换 DTFT。n解：解：X(e)jn2 u(n)en jnn02 en jn11(ej)n12jn01e226 设x(n)R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)；并分别用图表示。解：解：1R4n R4n,21x0nR4nR4n2xen图形如下题 2-6 图所示：题 2-6 图xe(n)与xo(n)序列图27 设系统的单位脉冲响应h(n)2a u(n)，0 a 1，输入序列为nx(n)2(n)(n 1)完成下面各题：（1）求出系统输出序列y(n)；（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。n解：解：（1）y(n)h(n)x(n)2a u(n)2(n)(n1)2a u(n)2ann1u(n1)-27百度文库-好好学习，天天向上（2）X(e)jn2(n)(n1)e2a u(n)en jn jn2e j2 j1aeH(e)jn2ane jnn02(2e j)Y(e)H(e)X(e)j1aejjj28 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：jHR(e)1cosjH(e)。求序列h(n)及其傅里叶变换解：解：HR(e)1cos1j1j1 jee22 DTFThe(n)nh(n)ee jn12,n 1he(n)1,n 01,n 120,n 00,n 0,n 1h(n)he(n),n 0 1,n 02h(n),n 01,n 1eH(e)jnh(n)e jn1e j 2e j/2cos229 试用定义计算周期为 5，且一个周期内x(n)2,1,3,0,4的序列x(n)的 DFS。解：解：X(k)x(n)en04 j25kn2ek j253ek j454ek j85210 求出周期序列x(n)解：解：由题知x(n)周期为 4X(k)x(n)en03 j24kn0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,的 DFS。x(n)en03kn j2 e j2k 2e jk3ek j32-28百度文库-好好学习，天天向上 2(1)2ekk j32e jk(ej2ke j2k)nl211 已知周期为N的信号x(n)，其 DFS 为X(k)，证明 DFS 的调制特性DFSWNx(n)X(k l)。证明证明：DFSW x(n)nlNWNnlx(n)en0N1n0N1kn j2Nx(n)ex(n)en0N1kn j2nl j2NNekl)n j2(N X(k l)命题得证。212 设1,n 0,1x(n)0,其他将x(n)以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序列x(n)，画出x(n)和x(n)的波形，x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。求出解：解：x(k)DFSx(n)x(n)en03 j2k4en01 jkn21e jk2 ex(k)以 4 为周期。2X(e)DTFTx(n)4j jk4k jk jkj444ee 2coske42x(k)(k)x(k)(k)42k2kcos(k)e4k jk4(2k)x(n)和x(n)波形图如下题 2-12 图所示：-29百度文库-好好学习，天天向上题 2-12 图x(n)和x(n)波形图213 如果x(n)是一个周期为N的周期序列，其 DFS 为X1(k)，将x(n)看作周期为 2N的周期序列，其 DFS 为X2(k)。试利用X1(k)确定X2(k)。解：按照题意，可以写出：knX1(k)=x(n)WN=n0N1n0N1x(n)en0N1 j2knNX2(k)x(n)W2Nknx(n)en0N1 j2knN 2 jnN 2+x(n)enN2N12k令n n N，则X2(k)x(n)en0N1 j2knN 2 j(nN)2x(nN)eN+n0N12k-30百度文库-好好学习，天天向上(1 e jkn jn)x(n)eN 2n0N12k k (1e jkn)X12所以 k 2X1,k evenX2(k)20，k odd214 根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号x(n)。（1）X(e)je j111e je2 j66（2）X(e)jk(1)k(k2)解：解：（1）X(e)je j111e je2 j66(e j6e j j3)(e2)66551 j1 j1e1e32611因此x(n)()n()nu(n)532（2）因为X(e)含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为x(n)，其周j期为N，DFS 为X(k)ak，则有：2jkn1N1x(n)IDFSX(k)X(k)eNNk0 x(n)的 DTFTX(ej)，有2X(e)NjkX(k)(2k)N即-31百度文库-好好学习，天天向上1N而已知akek0N1k0kN1jk(2)nN2N 2kak(2k)N2k)Na ejk(2)nNka(kX(e)可见即jk(1)k(k2)N 4,2ak(1)k(1)kak2所以jknn1313(1)kjk2x(n)akee24k04k023jnjn1jn1e2ee2，n 0，1，2，38得x(n)是以0,0,1,0为周期的周期函数。2215 计算以下诸序列的N点 DFT，在变换区间0 n N 1内，序列定义为（1）x(n)1（3）x(n)ej2mnN（2）x(n)Rm(n)，0 m N（4）x(n)(nn0),其中0 n0 N,0 m N（5）x(n)u(n)u(nn0)，其中0 n0 NN1n0N1 j2knNn0kn解：解：（1）X(k)1WNe1e j2kNN2kN1e jN,k 00,k 1,2,N 1（2）X(k)Wn0m1knNkm1WNk1WNsinmk jkm1N eNsinkNN1n02jmknN（3）X(k)en0N12jmnNWNkne1e j2mkNN2mkN1e j-32百度文库-好好学习，天天向上N,k m，0 k N 10,k m（4）由 DFT 的定义直接计算序列的DFT，对Z变换采样。由于X(z)zk在z WN，k 0,1,2N 1上采样，求得:n0，对X(z)X(k)WNn0k（5）X(k)n01n0k 0,1,2,N 1W jnkNkn0kn02kn021WNWNkn012WNWNkk 2k 21WNWNWN=ej2k n01N2sinn0k N,k 0,1,2,N 1sink N216已知x(n)e解解:X(k)2mnN,0 m N，0 n N，求其N点 DFT。N1n0j2(mk)nNen0N1j2mnNWknNeN,k m，0 k N 10,k m0 k 9，求其原序列x(n)=IDFTX(k)。217 设X(k)12(k),解：解：knDFT(n)=1,DFT1=1WN N(k)n0N1x(n)1(n)5218已知下列X(k)，0 k N 1，求x(n)IDFTX(k)，其中 Njk m2e,NX(k)e j,k N m2其他0,0 m N。1x(n)IDFTX(k)解解：NX(k)Wk0N1knN1x(n)N2mnNjj2NN jjNNmneeee22 2 2mn jmn1j 2mn eNeN cos2N-33百度文库-好好学习，天天向上219 已知序列x(n)的 4 点离散傅里叶变换为X(k)2 j,3,2 j,1，求其复共轭序列x(n)的离散傅里叶变换X1(k)。*解：解：X1(k)X(N k)(2 j),1,(2 j),32 j,1,2 j,3*220 证明 DFT 的对称定理，即假设X(k)DFTx(n)证明：DFTX(n)Nx(N k)证明：证明：knX(k)xnWNn0N1DFTX(n)X(n)Wn0N1knNN1mnknx(m)WNWNn0m0N1N1n0nmkx(m)WNm0n0N1N1WnmkNN,m N k0,m N k,0 m N 1DFTX(n)Nx(N k),k 0,1,2.N 1221如果X(k)DFTx(n)，证明 DFT 的初值定理1x(0)N证明证明：由 IDFT 定义式X(k)k0N11x(n)N知X(k)Wk0N1knN,n 0,1,2.N 1N1k01x(0)NX(k)222 证明离散帕斯维尔定理。若X(k)DFTx(n)，则n0N11x(n)N2k0N1X(k)2-34百度文库-好好学习，天天向上证明：证明：1Nk0N11X(k)N2X(k)Xk0N1(k)1N1N1knX(k)x(n)WNNk0n01x(n)Nn0N1X(k)Wk0N1n0N1knNx(n)x(n)x(n)n0N12223 令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换。X(k)本身也是个N点序列。如果计算X(k)的离散傅里叶变换得一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。解：解：按照题意，可以写成x1(n)X(k)WNk0N1N1k0N1knN1x(n)WNknWNknk0n0knnN1x(n)WNn0因为WNk0N1knnN,n n N0,其他所以x1(n)Nx(n Nl)NxnNRNnn0N1224 一个长度为 8 的有限时宽序列的 8 点离散傅里叶变换X(k)，如题 2-24 图所示。X(k)k01234567 nx,n为偶数令y(n)20，n为奇数-35题 2-24 图百度文库-好好学习，天天向上求y(n)的 16 点 DFT，并画出其图形。解：按照题意，当n为奇数时y(n)为零，故可写出Y(k)y(n)W16nkm0715m0,2,14 nxW16nk2x(l)W8lk,0 k 15l07lkx(l)W8,0 k 7而X(k)l00，其他7x(l)W8lk,0 k 7lkx(l)W8,0 k 15l0所以Y(k)l07x(l)Wlk,8 k 150，其他8l07X(k),0 k 7X(k),0 k 77l(k8)X(k 8),8 k 15x(l)W,8 k 158l0X(k),0 k 78 k 15即Y(k)X(k 8)，0，其他所以Y(k)的图形如题 2-26（a）图所示：k0 1 2 3 4 56789 101112131415题 2-26（a）图225 已知序列x(n)4(n)3(n1)2(n2)(n3)X(k)是x(n)的 6 点 DFT。4k（1）若有限长序列y(n)的 6 点 DFT 是Y(k)W6X(k),求y(n)。-36百度文库-好好学习，天天向上（2）若有限长序列q(n)的3点DFT 满足，求q(n)。Q(k)X(2k)，k 0,1,2，解：解：（1）序列y(n)的 DFT 由x(n)的 DFT 与复指数W6相乘组成，这相当于是将x(n)圆4k周移位了 4 点：y(n)x(n4)6，所以：y(n)4(n4)3(n5)2(n)(n1)（2）序列q(n)长度为 3，DFT 变换为Q(k)X(