反函数与复合函数.ppt

1.21.2 反函数与复合函数反函数与复合函数 三、复合函数三、复合函数一、反函数一、反函数五、小结五、小结 四、基本初等函数四、基本初等函数 初等函数初等函数二、三角函数与反三角函数二、三角函数与反三角函数经济数学微积分一、反函数一、反函数定义定义 设设函数函数f 的定的定义义域域为为D,值值域域为为W,如果如果对对W中的任何一个中的任何一个实实数数y,D中有唯一的一个中有唯一的一个x,使使y=f(x)成立成立.那么把那么把y看成自看成自变变量量,x看成因看成因变变量量,x是定是定义义在在W上上y的函数的函数,称称为为y=f(x)的反函数的反函数,记为记为x=f-1(y),其定其定义义域是域是W,值值域域 D.按按习惯习惯，将函数，将函数y=f(x)的反函数的反函数记为记为y=f-1(x).DWDW反函数反函数注意：注意：函数函数y=f(x)与与x=f-1(y)在同一坐在同一坐标标系中系中表示同一曲表示同一曲线线；而；而y=f(x)与与y=f-1(x)在同一坐在同一坐标标系中表示关于系中表示关于y=x对对称的曲称的曲线线.定理定理（反函数存在定理）（反函数存在定理）单调函数单调函数 f 必存在单调的反函数必存在单调的反函数，且此反函数与，且此反函数与 f 具有相同的单调性具有相同的单调性.例例1 1解解故故值值域域为为正弦函数正弦函数二、三角函数与反三角函数二、三角函数与反三角函数1.三角函数三角函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数,余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数2.反三角函数反三角函数值域值域值域值域值域值域值域值域一些三角关系式 arcsin(-x)=-arcsinx，arccos(-x)=-arccos x arctan(-x)=-arctanx，arccot(-x)=-arccotx sin(arcsin x)=x，cos(arccos x)=x tan(arctan x)=x，cot(arccotx)=x 当当x在相应反三角函数的值域内时，有在相应反三角函数的值域内时，有 arcsin(sinx)=x，arccos(cosx)=x arctan(tanx)=x，arccot(cotx)=x 常用三角公式常用三角公式和差化积公式 积化和差公式三、复合函数三、复合函数 定义定义 设设函数函数y=f(u),定定义义域域为为Df;u=g(x),定定义义域域为为Dg,值值域域为为Wg;若若WgDf ,为函数为函数y=f(u)和和u=g(x)复合而成的复合而成的x的的复合函数复合函数.x自自变变量量，u中中间变间变量量，y因因变变量量 习惯上，称函数习惯上，称函数u=g(x)为为内函数内函数，y=f(u)为为外函数外函数.那么称那么称例例2 2例例3 3复合复合复合复合分解分解分解分解注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数合函数;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.要学会要学会分解分解复合函数：复合函数：由外向里，逐层剥开！由外向里，逐层剥开！四、基本初等函数与初等函数四、基本初等函数与初等函数（一）幂函数（一）幂函数（二）指数函数与对数函数（二）指数函数与对数函数（三）三角函数与反三角函数（三）三角函数与反三角函数（四）初等函数（四）初等函数（一）幂函数（一）幂函数幂函数幂函数（二）指数和对数函数（二）指数和对数函数1.指数函数指数函数2.对数函数对数函数（三）三角函数与反三角函数（三）三角函数与反三角函数1、三角函数、三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx2、反三角函数、反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，（四）初等函数（四）初等函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子一个式子表示的函数，称为表示的函数，称为初等函数初等函数.分段函分段函数一般不是初等函数数一般不是初等函数.形如形如f(x)g(x)的函数称为的函数称为幂指函数幂指函数.五、小结2.2.复合函数：复合函数：复合函数的形成与分解复合函数的形成与分解.1.1.反函数：反函数：反函数的基本求法反函数的基本求法.3.3.基本初等函数：基本初等函数：幂函数、指数与对数函数、幂函数、指数与对数函数、三角函数与反三角函数的图象与简单性质三角函数与反三角函数的图象与简单性质.4.4.初等函数初等函数