数值分析复习试题和答案及解析.pdf

数数值值分分析析复复习习试试题题和和答答案案及及解解析析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1数值分析复习题数值分析复习题一、选择题一、选择题1.3.142 和 3.141 分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A4 和 3 B3 和 2 C3 和 4 D4 和 42.已知求积公式21fxdx 121f1 Af()f(2)636，则A（）1112A6 B3 C2 D33.通过点x0,y0,x1,y1的拉格朗日插值基函数l0 x,l1x满足（）Al0 x0l0 x00，l1x10l1x11 Bl0 x0l0 x00，l1x11 C1，D1，l1x114.设求方程fx0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。A超线性 B平方 C线性 D三次x12x2 x3 02x12x23x33x 3x 225.用列主元消元法解线性方程组1作第一次消元后得到的第 3 个方程（）.Ax2 x3 2 B2x21.5x3 3.5 C2x2 x3 3 Dx20.5x3 1.5二、填空二、填空1.设x 2.3149541.，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x=.2.设一阶差商fx1,x2fx2 fx1x2 x1fx3 fx261514 3fx2,x321x3 x2422，则二阶差商fx1,x2,x3 _2TX (2,3,1)3.设,则|X|2，|X|。2x 14求方程x x 1.25 0的近似根，用迭代公式x x1.25，取初始值0，那么x1 _。y f(x,y)y(x)y0y _。5解初始值问题0近似解的梯形公式是k1 11A51，则 A 的谱半径6、。7、设f(x)3x25,xk kh,k 0,1,2,.,，则fxn,xn1,xn2和fxn,xn1,xn2,xn3。8、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。y 10 123x 1(x 1)2(x 1)3的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写10、为了使计算成。TX (2,3,4)11.设,则|X|1，|X|2 .12.一阶均差fx0,x11333C0,C13 C23Cn388，那么313.已知时，科茨系数14.因为方程fx x42x01,2f x 0在区间 上满足，所以 在区间内有根。yy 2 yxy11315.取步长h 0.1，用欧拉法解初值问题的计算公式 .16.设x*2.40315是真值x 2.40194的近似值，则x*有位有效数字。17.对f(x)x3 x 1,差商f 0,1,2,3()。18.设X (2,3,7)T,则|X|。k19.牛顿柯特斯求积公式的系数和nC(n)k0。20.若 a=2.42315 是 2.42247 的近似值，则 a 有()位有效数字.nil21.li(x)0(x),l1(x),ln(x)是以0,1,n为插值节点的 Lagrange 插值基函数，则i0().22.设 f(x)可微，则求方程x f(x)的牛顿迭代格式是().23.迭代公式X(k1)BX(k)f收敛的充要条件是。24.解线性方程组 Ax x=b b(其中 A A 非奇异，b b 不为 0 0)的迭代格式x x(k1)Bx x(k)f f中的 B 称为().9x1 x28给定方程组x15x2 4，解此方程组的雅可比迭代格式为()。25、数值计算中主要研究的误差有和。26、设lj(x)(j 0,1,2n)是 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则nlj(xi)(i,j 0,1,2n)；lj(x)j0。27、设lj(x)(j 0,1,2n)是区间a,b上的一组 n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度nAj为；插值型求积公式中求积系数Aj；且j0。28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。29、f(x)x21,则f1,2,3 _,f1,2,3,4 _。430.设 x*=1.234是真值 x=1.23445的近似值，则 x*有位有效数字。3设 f(x)x x 1,则差商(均差)f0,1,2,3，f0,1,2,3,4。31.32.求方程x f(x)根的牛顿迭代格式是。12 A 34 ,则A ,A1。33.已知34.方程求根的二分法的局限性是。三、计算题三、计算题3219f(x)x,x0,x11,x2441设1 94,4fx上的三次 Hermite插值多项式x使满足（1）试求在H(xj)f(xj),j 0,1,2,.H(x1)f(x1)，x以升幂形式给出。（2）写出余项R(x)f(x)H(x)的表达式2已知，使的满足0，1收敛？，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数y f(x,y)hy y(y4y yn1n1n1nn1)y(x0)y033 推导常微分方程的初值问题的数值解公式：（提示：利用 Simpson求积公式。）x12x23x3142x15x22x3183x x 5x 2034 利用矩阵的 LU 分解法解方程 组1255.已知函数y 11 x2的一组数据：的近似值.求分段线性插值函数，并计算f1.510 x1 x22x3 7.2x110 x22x38.3x x 5x 4.236.已知线性方程组12（1）写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2）于初始值X 0,0,00，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算X（保留小数点1后五位数字）.31,27.用牛顿法求方程x 3x1 0在 之间的近似根（1）请指出为什么初值应取 2（2）请用牛顿法求出近似根，精确到 0.0001.1dx01 x8.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.19用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin0.34的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。3f(x)x x 1 0在 1.0,1.5区间内的一个根，误差限102。10.用二分法求方程4x1 2x2 x311x1 4x2 2x3182x x 5x 22(0)Tx x(0,0,0)12311.用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。A1,A2和A3,使求积公式12.求系数111f(x)dx A f(1)A f()A f()对于次数 2的一切多项式都精确成立123133 3x12x210 x31510 x14x2x3 52x 10 x 4x 82313.对方程组1试建立一种收敛的 Seidel迭代公式，说明理由614.确定求积公式1定其代数精度.1f(x)dx Af(0.5)Bf(x1)Cf(0.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确y 3x 2y15.设初值问题y(0)1解的公式；0 x 1.(1)写出用 Euler方法、步长 h=0.1解上述初值问题数值(2)写出用改进的 Euler 法（梯形法）、步长 h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解y1,y2，保x留两位小数。16.取节点x0 0,x1 0.5,x21，求函数y e在区间0,1上的二次插值多项式P2(x)，并估计误差。17、已知函数y f(x)的相关数据13 P()P3(x)2的近似值。由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算y y x1,18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h 0.1，y(0)1.19确定求积公式中待定参数Aihx(0,0.6)。hf(x)dx A0f(h)A1f(0)A2f(h)。的值(i 0,1,2)，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度20、已知一组试验数据如下：72x13x24x3 6,3x15x22x35,4x 3x 30 x 32.23求它的拟合曲线（直线）。用列主元消去法解线性方程组122.已知(1)用拉格朗日插法求f(x)的三次插值多项式；(2)求x，使f(x)0。确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度24、用 Gauss消去法求解下列方程组11f(x)f(1)2 f(x1)3f(x2)x1,x213.试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。.y 2x 5y (1 x 2)取步长 h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题 y(1)112x13x23x31518x13x23x3 15x x x 6.用列主元消去法求解方程组123并求出系数矩阵 A的行列式 detA的值.用牛顿(切线)法求3的近似值。取 x0=1.7,计算三次，保留五位小数。29、已知数据如下：1a bx拟合函数。L2(x)求形如y 30、用二次拉格朗日插值多项式计算sin0.34。插值节点和相应的函数值如下表。831、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h 0.2y y x,y(0)1.x(0,0.8)。32、讨论用 Jacobi 和 Gauss-Seidel迭代法求解方程组 Ax x=b b 的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛 30 2A 021快。其中2 21.简述题：简述题：叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？9数值分析复习题答案数值分析复习题答案一、选择题一、选择题 1.A2.D3.D4.C5.B5fx2,x3 fx1,x22311fx1,x2,x3x x416 3、6 和14 4、1.531二、填空二、填空 1、2.3150 2、hykfxk,yk fxk1,yk1f x,x,x 3,fxn,xn1,xn2,xn3 025、6、(A)6 7、nn1n2；8、收y 1011312x1(x1)(x1)fx0 fx1 h敛 9、10、11.9 和29；12.x0 x11 13.80.11.1yk1 yk2,k 0,1,210.1kf1f2 0y0114.15.；16、3；17、1；18、7；19、k 11(k)x(8 x)12 9 xn f(xn)1k 1 xn 1 xn x(4 x1(k)21 f(xn)；23.(B)1；24、.迭代矩阵，5 1；203；21.x；22.；25.1,i j,bl(x)dx0,i jak相对误差 绝对误差 26.1；27.至少是 n，b-a；28.xn f(xn)ba ba4(4)x x n 1n()f(),(a,b)1 f(xn)31802；29.1 0；30、4；31、1，0；32、；33、7,6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。三、计算题三、计算题1解解：（1）x 14326322331x x x225450450251 95191 9Rx2(x)(x1)2(x),(x)(,)4!16444 4（2）1x (x)3x)(x)22解解：由x(x)，可得x3x(x)3x，10111因(x)(x)3)，故(x)（x）-3 1222故xk1(xk)1(xk)3xk,k=0,1,.收敛。2x,xy3.解解：数值积分方法构造该数值解公式：对方程 f(x)在区间n1n1上积分，xn1xn1xn1y(xn1)y(xn1)得xn1f(x,y(x)dx，记步长为 h,对积分xf(x,y(x)dxn1用 Simpson 求积公式得xn1f(x,y(x)dx 2hhf(xn1)4 f(xn)f(xn1)(yn14yn yn1)63hyn1 yn1(yn14yn yn1)3所以得数值解公式：4解1123 14A LU 2124351令 Ly b 得 y(14,10,72)T,Ux y 得 x(1,2,3)T.x0,15.解解，Lxx1x010.510.5x0110 x1,2，Lxx2x10.50.2 0.3x0.81221所以分段线性插值函数为10.5xx0,1Lx0.80.3xx1,2L 1.5 0.80.31.5 0.356.解解：原方程组同解变形为x1 0.1x20.2x30.72x2 0.1x10.2x30.83x 0.2x 0.2x 0.84123雅可比迭代公式为11mmx1m1 0.1x20.2x30.72m1mmx2 0.1x10.2x30.83m1mmx 0.2x0.2x0.84(m 0,1.)312高斯塞德尔迭代法公式mmx1m1 0.1x20.2x30.72m1m1m0.2x30.83x2 0.1x1m1m1m1x 0.2x0.2x0.84(m 0,1.)312用雅可比迭代公式得X10.720 00,0.830 00,0.840 00用高斯塞德尔迭代公式得fx x33x1X10.720 00,0.902 00,1.164 407.解：f 1 3 0f 2 1 0，f 2 24 0，故取x 2作初始值f x 3x23，f x12x迭代公式为332xfxn1xn3x1n11(或)xn xn1 xn112n123 x1f xn13xn13n1，n 1,2,.x0 2，x1233132 121.88889x221.888893131.88889 121.87945，x2 x1 0.00944 0.0001x321.879453131.87945 121.87939，x3 x2 0.00006 0.0001方程的根x 1.879398.解 梯形公式bafxdx ba fa fb21111dx 0.7501 x2 1011应用梯形公式得112辛卜生公式为bafxdx ba6 fa4f(ab2)fb111010应用辛卜生公式得01 xdx 6 f04f(2)f1161104111125112369解解L(x x1)(x x2)2(x)(x x0)(x x2)(x x0)(x(xfx1)0 xf1 f20 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x12)(x2 x0)(x2 x1)=0.33333610.用二分法求方程f(x)x3 x 1 0在 1.0,1.5区间内的一个根，误差限解N 6x1 1.25x2 1.375x3 1.3125x4 1.34375x5 1.328125x6 1.320312511.解解 迭代公式x(k1)1(k)(k)1(112x2 x3)4x(k1)1(k1)(k)24(18 x1 2x3)x(k1)1(k1)(k1)35(222x1 x2)12.解解：13102。11112A1 A2 A3 2 A1 A2 A3 0A1 A2 A3 3399313A1 A2 0A3 2213.解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 10 x1 4x2 x3 5 2x1 10 x2 4x3 8 3x 2x 10 x 1523 1故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为(k 1)1(k)(k)x(4x x 5)123 10 (k 1)1(k 1)(k)x2(2x1 4x3 8)10 (k 1)1(k 1)(k 1)x3 10(3x1 2x2 15)取x x(0)(0,0,0)T,经 7 步迭代可得：x x*x x(7)(0.999 991459,0.999 950 326,1.000 010)T144.解解3.假设公式对f(x)1,x,x2,x3精确成立则有A B C 2 0.5A Bx 0.5C 01 2 20.25A Bx 0.25C 1 3 3 0.125A Bx1 0.125C 042解此方程组得A C ,B 33求积公式为1 f(x)dx 4 f(0.5)2 f(0)4 f(0.5),当f(x)x4时,3 1左边 21右边 左边 右边代数精度为3。56115.解解(1)yn 1 yn 0.1(3xn 2yn)0.3xn 1.2yn(2)yn 1 yn 0.2(3xn 2yn)3(xn 0.2)2yn 12 =yn 0.1(6xn 2yn 2yn 1 0.6)yn 1 333yn xn 2440333 6333迭达得y1 1.575,y2 2.5852402 404 0.2 401416.解：e1 e0.5p2(x)e0e 0.5 10.5 0(x 0)e0.5 11 0.50.5 0(x 0)(x 0.5)1 0=1+2(e0.51)x 2(e1 2e0.51)x(x 0.5)y ex,M3 max y1,ex p2(x)x0,1f()x(x 0.5)(x 1)3!0 x 1时，17、解：差商表ex p2(x)1x(x 0.5)(x 1)3!由牛顿插值公式：p3(x)N3(x)438x 2x2x1,3314 118 13 p3()()32()2()1 223 223 218、解：f(x,y)y x1,y01,h 0.1,yn1 yn0.1(xn1 yn),(n 0,1,2,3,)y01,yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.14A0 A2h,A1h33。19解：分别将f(x)1,x,x，代入求积公式，可得234f(x)xf(x)x令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为 3。1520、解：设y a bx则可得5a 15b 3115a 55b 105.5于是a 2.45,b 1.25，即y 2.451.25x。解：2346 43525343303223304011/441/203/211433032 011823800123303245253346232 4319011/41000330325253463032 41/2192/114/114x13x230 x332,x113,11x282x3 38,x28,x 2.x3 2.3即22.解：用反插值得(y 4)(y 5)(y 7)(y 2)(y 5)(y 7)(y 2)(y 4)(y 7)2 4(2 4)(2 5)(2 7)(4 2)(4 5)(4 7)(5 2)(5 4)(5 7)(y 2)(y 4)(y 5)5(7 2)(7 4)(7 5)8令y 0得x f 1(0)3x f 1(y)2f(x)1,x,x解解 令代入公式精确成立，得 A B 2h hA Bx1 0 2 h2A Bx12 h33；131x1 h,B h,A h322，得求积公式解得 h hh1f(x)dx f(h)3f(h)233hh140 f(x)dx (h)3 3f(h)3 h4 h239故求积公式具有 2次代数精确度。对f(x)x；24、解解：本题是 Gauss 消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。1611 1x x 41526x3 9 1 1 x2 x3 445 6013 x3 154 15 故x3 154 153 177.691x3)476.924511x1 4(9 x3 x2)227.0865x2 60(4 2x1 3x2 1 2222x1 3x2 1f(x)1,x,x .解：由等式对精确成立得：,解此方程组得 1 6 x1 5 3 2 6 x 2 15 3又当f(x)x时左边右边此公式的代数精度为 2.解：梯形法为yn 1 yn 0.2(2xn 5yn)(2xn 1 5yn 1)即yn 1 21(xn xn 1)yn1515y1 0.62667,y2 0.55566,y3 0.58519,迭代得y4 0.64840,y5 0.72280 183 1 15 (1)(1)A|b 12 33 15 ,116 1 消元.解：解：先选列主元i1 2，2 行与 1行交 换得；173行与 2行交换；消元det A 18；722 66167回代得解x3 3,x2 2,x1 1；行列式得2f(x)x 3 0的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式 为3解：是2x3xn 3xn 1 n(n 0,1,2,.)xn 1 xn 22xn2xn，即取 x0=1.7,列表如下：29、已知数据如下：1a bx拟合函数。求形如y 解：11 a bx,令 z ,则 z a bxyy xi 15i 9,xi 17.8,zi 16.971,zixi 35.9022i 1i 1i 15559 a 16.971 5解此方程组得 917.8 b 35.3902 a 2.0535拟合曲线为 b 3.02651y 2.0535 3.0265x30、解：过点(x0,f0),(x1,f1),(x2,f2)的二次拉格朗日插值多项式为L2(x)(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)f0f1f2(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)代值并计算得sin0.34 L2(0.34)0.33336。1831、解：yn1 yn h(yn xn),hy y(yn xn)(yn1 xn1),n1n2(n 0,1,2,3,)y01,yk1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.32、解：00BJ001122 31l BJ 0201023111321212111;即Jacobi迭代收敛,122 1000031330000200211BG0200010000100;2200011200011111004212 61111l BG2()0,得(BG)1,1212Gauss Seidel迭代法收敛。0,(BJ)又Q1111，Gauss Seidel迭代法收敛快一些。1212简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。19一、一、选择题选择题(共共3030分，每小题分，每小题3 3分分)1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（A）方法收敛性；（B）方法的稳定性；（C）方法的计算量；（D）方法的误差估计。2、已知方程x x3 32x x5=0在区间 2,3 存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（）次可以保证误差不超过 1010 3 3。(A)5；(B)7；(C)10；(D)12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（）（A）调换方程位置；（B）选主元；（C）直接求解；（D）化简方程组。4、设f f(x x)9 9x x8 8 3 3x x4 4 1010，则f f 2 20 0,2 21 1,2 22 2,2 23 3,2 24 4,2 25 5,2 26 6,2 27 7,2 28 8 和f f 3 30 0,3 31 1,3 32 2,3 33 3,3 34 4,3 35 5,3 36 6,3 37 7,3 38 8,3 39 9 的值分别为（）201 12 2（A）1，1；（B B）9 9 8!8!，0；（C）9，0；（D）9，1。5、若用复化的辛浦生公式计算积分 sinsin xdxxdx，问积分区间要（）等分才能保证误差不超过0 02 2 1010 5 5（A）10；（B）15；（C）20；（D）25。6、用一般迭代法x x(k k 1 1)BxBx(k k)g g求解方程组AxAx=b b的解，则当（）时，迭代收敛。（A）方程组系数矩阵A A 对称正定；（B）方程组系数矩阵A A 严格对角占优；（C）迭代矩阵 B B 严格对角占优；（D）迭代矩阵 B B 的谱半径(B B)1 1。7、在区间0,1 上满足 y(0)=1.5,y(1)=2.5 的 0 次拟合多项式曲线是()(A)y=2；(B)y=1.5；(C)y=2.5；(D)y=4。8、复相关系数的取值区间为：()(A)0 R 1；(B)1 R 1；(C)R 1；(D)1 R 9、方差分析主要用于分析（）(A)自变量和因变量都是分类变量(B)自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量10、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是（）(A)各分类间方差相等(B)各分类间均值相等(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题二、填空题(共共3030分，每小题分，每小题3 3分分)1、数值计算中主要研究的误差有和。2、x x*的相对误差约是x x*的相对误差的倍。3.方程求根的二分法的局限性是。4、求方程根的割线法的收敛阶为_ _。5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为。216、若用高斯-赛德尔法解方程组 足_ _。x x1 1 axax2 2 4 4，其中a a为实数，则该方法收敛的充要条件是a a 应满2 2axax x x 3 31 12 2 7、线性代数方程组AxAx=b b相容的充要条件是_ _ _。8、单纯形算法的基本思路是:。9、参数假设检验的含义是。10、假设检验的基本思想的根据是三、（7 分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。1 1 1 1 f f(x x)dxdx A A0 0f f(x x0 0)A A1 1f f(x x1 1)8 8x x1 1 x x2 2 x x3 3 8 8 四、（8 分）已知方程组 2 2x x1 1 1010 x x2 2 x x3 3 1111或AxAx b b分别写出该方程组的JacobiJacobi 迭代法和Gauss-Gauss-x x x x 5 5x x 3 32 23 3 1 1SeidelSeidel 迭代法的分量形式。五、（9分）设步长为h，分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出微分方程 的求解公式。六、（8分）设总体 X 在区间 a,b 上服从均匀分布，其中a、b未知，X X1 1,X X2 2,X Xn n为总体 X 的样本，求a、b的极大似然估计量七、（8 分）将如下线性规划问题化成标准型：MinMin Z Z x x1 1 2 2x x2 2 3 3x x3 3s s.t t.x x1 1 x x2 2 x x3 3 7 7 x x1 1 x x2 2 x x3 3 2 2 3 3x x1 1 x x2 2 2 2x x3 3 5 5 x x1 1,x x2 2 0 0,x x3 3无限制(1 1)(2 2)(3 3)y y x x y y 1 1 y y(0 0)1 122参加答案参加答案一、一、选择题选择题(共共3030分，每小题分，每小题3 3分分)1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（C）。（A）方法收敛性；（B）方法的稳定性；（C）方法的计算量；（D）方法的误差估计。2、已知方程x x3 32x x5=0在区间 2,3 存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（C）次可以保证误差不超过 1010 3 3。(A)5；(B)7；(C)10；(D)12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（）（A）调换方程位置；（B）选主元；（C）直接求解；（D）化简方程组。4、设f f(x x)9 9x x8 8 3 3x x4 4 1010，则f f 2 20 0,2 21 1,2 22 2,2 23 3,2 24 4,2 25 5,2 26 6,2 27 7,2 28 8 和f f 3 30 0,3 31 1,3 32 2,3 33 3,3 34 4,3 35 5,3 36 6,3 37 7,3 38 8,3 39 9 的值分别为（B）（A）1，1；（B B）9 9 8!8!，0；（C）9，0；（D）9，1。1 12 25、若用复化的辛浦生公式计算积分 sinsin xdxxdx，问积分区间要（A）等分才能保证误差不0 0超过2 2 1010 5 5（A）10；（B）15；（C）20；（D）25。6、用一般迭代法x x(k k 1 1)BxBx(k k)g g求解方程组AxAx=b b的解，则当（D）时，迭代收敛。（A）方程组系数矩阵A A 对称正定；（B）方程组系数矩阵A A 严格对角占优；（C）迭代矩阵 B B 严格对角占优；（D）迭代矩阵 B B 的谱半径(B B)1 1。7、在区间0,1 上满足 y(0)=1.5,y(1)=2.5 的 0 次拟合多项式曲线是(A )(A)y=2；(B)y=1.5；(C)y=2.5；(D)y=4。8、复相关系数的取值区间为：(A )(A)0 R 1；(B)1 R 1；(C)R 1；(D)1 R 239、方差分析主要用于分析（D）(A)自变量和因变量都是分类变量(B)自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量11、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是（B）(A)各分类间方差相等(B)各分类间均值相等(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题二、填空题(共共3030分，每小题分，每小题3 3分分)1、数值计算中主要研究的误差有和。1 12 22、x x*的相对误差约是x x*的相对误差的倍。3.方程求根的二分法的局限性是。收敛速度慢，不能求偶重根。4、求方程根的割线法的收敛阶为_ _。1 1.618618或1 1 5 52 25、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为。56、若用高斯-赛德尔法解方程组 足_ _ _。a a 2 22 2 x x1 1 axax2 2 4 4，其中a a为实数，则该方法收敛的充要条件是a a 应满2 2axax x x 3 31 12 2 7、线性代数方程组AxAx=b b相容的充要条件是_ _ _。rankrank(A A)=rankrank(A A,b b)8、单纯形算法的基本思路是:根据问题的标准型,从可行域中某个基本可行解(顶点)开始,转换到另一个基本可行解(顶点),并使得每次的转换,目标函数值均有所改善,最终达到最大值时就得到最优解。9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。10、假设检验的基本思想的根据是小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。”三、（7 分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。241 1 1 1 f f(x x)dxdx A A0 0f f(x x0 0)A A1 1f f(x x1 1)8 8x x1 1 x x2 2 x x3 3 8 8四、（8 分）已知方程组 2 2x x1 1 1010 x x2 2 x x3 3 1111或AxAx b b分别写出该方程组的JacobiJacobi 迭代法和Gauss-Gauss-x x x x 5 5x x 3 32 23 3 1 1SeidelSeidel 迭代法的分量形式。五、（9分）设步长为h，分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出下列微分方程的求解公式：y y x x y y 1 1。y y(0 0)1 1 六、（8分）设总体 X 在区间 a,b 上服从均匀分布，其中a、b未知，X X1 1,X X2 2,X Xn n为总体 X 的样本，求a、b的极大似然估计量七、（8 分）将如下线性规划问题化成标准型：MinMin Z Z x x1 1 2 2x x2 2 3 3x x3 3s s.t t.x x1 1 x x2 2 x x3 3 7 7 x x1 1 x x2 2 x x3 3 2 2 3 3x x1 1 x x2 2 2 2x x3 3 5 5 x x1 1,x x2 2 0 0,x x3 3无限制(1 1)(2 2)(3 3)试题一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）1.设有节点x0,x1,x2，其对应的函数y fx的值分别为y0,y1,y2，则二次拉格朗日插值基函数l0(x)为。2.设fx x2，则fx关于节点x0 0,x11,x2 3的二阶向前差分为。252 110，x 3，则A，x。1113.设A 11 3011 4.n1个节点的高斯求积公式的代数精确度为。二简答题（本大题共二简答题（本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 2424 分）分）1.哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2.什么是不动点迭代法？x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点？3.设 n阶矩阵 A具有 n 个特征值且满足123特征值和特征向量的算法及流程。三三求一个次数不高于 3 的多项式P3x，满足下列插值条件：xiyiyin，请简单说明求解矩阵 A的主12243312并估计误差。（1010 分）分）四四试用n 1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I 1dx。（1010 分）分）01 x1五五用 Newton法求f(x)xcosx 0的近似解。（1010 分）分）六六试用 Doolittle 分解法求解方程组：256 x1 10 x19（1010 分）分）413192636 x33020 x12x23x3 24七七请写出雅可比迭代法求解线性方程组x18x2 x312的迭代格式，并判断其是否收敛（2x 3x 15x 302311010 分）分）y y八八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。（1010 分）分）y(0)y026参考答案一一填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1212 分）分）1.l0 x(x x1)(x x2)；2.7；3.3，8；4.2n+1。(x0 x1)(x0 x2)二简答题（本大题共二简答题（本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 2424 分）分）1.解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4 分）2对于对称正定阵A，从aiik1lik可知对任意k i有|lik|aii。即L的元素不会增大，i误差可控，不需选主元，所以稳定。（4 分）2.解：（1）若x x*，则称x为函数x的不动点。（2 分）*（2）x必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点：1）x是在其定义域内是连续函数；（2 分）2）x的值域是定义域的子集；（2 分）3）x在其定义域内满足李普希兹条件。（2 分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程（8 分）步 1：输入矩阵 A，初始向量 v0，误差限，最大迭代次数 N;步 2：置 k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步 3：计算 vk=Auk-1;步 4：计算vkr maxvki;1in并置 mk:=vkr,uk:=vk/mk;步 5：若|mk-|，计算，输出 mk,uk；否则，转 6；27步 6：若 kN,置 k:=k+1,:=mk，转 3；否则输出计算失败信息，停止三三 解：（1）利用插值法加待定系数法：设p2x满足p21 2,p22 4,p2312,则p2x3x27x6,（3 分）再设p3x p2x Kx1x2x3（3 分）K 2（1 分）p3x 2x39x215x6（2）R13x4!f4x1x22x3四四解：应用梯形公式得I I112f0 f1 0.75应用辛普森公式得：I I1 2f04f12 f16 0.69444444应用科特斯公式得：I I1 4907 f032f1412f1232f347 f1 0.6931746五五解：由零点定理，xcosx 0在(0,2)内有根。由牛顿迭代格式xxncosxnn1 xn1sin xn 0,1,.n取x04得，x1 0.73936133;x2 0.739085178x3 0.739085133x4 0.739085133故取x*x4 0.739085133六六解：对系数矩阵做三角分解：28（1 分）（2 分）（2 分）（1 分）（2 分）（1 分）2 分）（2 分）（2 分）（4 分）（3 分）（1 分）（256 1041319l211636 l31l320u11u120u221u13u23（2 分）u33 125637 LU（4 分）A 214 341若Ly b，则y110,y2 1,y3 4；（2 分）若Ux y，则x (3,2,1)T。（2 分）七七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 00.50.5B 1010.50.50 其特征多项式为det(I B)21.25，且特征值为1 0,2 1.25i,3 1.25i故有B1.251，因而雅可比迭代法不收敛。（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为00.50.5B 00.50.5000.5其特征值为1 0,23 0.5故有B0.51，因