（江苏专版）2019年高考物理总复习 第15讲 圆周运动及其应用讲义.doc

第第 1515 讲讲 圆周运动及其应用圆周运动及其应用考情剖析考查内容考纲要求考查年份考查详情能力要求圆周运动的描述、 匀速圆周运动的向 心力、14 年T2选择，考查圆 周运动及其应用应用数学处理物理问题15 年T14计算，考查圆 周运动中力与能的 综合应用分析、推理、应用数学处理物理问题16 年T21计算，考查洛 伦兹力充当向心力 问题分析、推理17 年T5选择，考查圆 周运动及应用理解、推理弱项清单,曲线运动是变速运动，运动状态改变必须有外力知识整合第 1 课时 圆周运动一、描述圆周运动的物理量1线速度：描述物体圆周_快慢的物理量v.s t2r T2角速度：描述物体绕圆心_快慢的物理量. t2 T3周期 T、频率 f，转速 n：匀速圆周运动中转一周的时间叫_，频率的含义 是单位时间内转过的_，如果某圆周运动的转速为 n3000 r/min，则 T_，_.4v、T 的相互关系：v_r_.2 T_.T_. 5向心加速度：描述 _变化快 慢的物理量anr2vr.v2 r42 T2效果_ 6向心力：(1)方向_(2)大小 Fnmanm_mr_.v2 r42 T2(3)来源：_方向上的合力充当向心力 二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1匀速圆周运动 (1)定义：线速度_的圆周运动 (2)性质：向心加速度大小_，方向总是_的变加速曲线运动 (3)质点做匀速圆周运动的条件 合力_不变，方向始终与速度方向_且指向圆心2非匀速圆周运动 (1)定义：线速度大小、方向均_的圆周运动 (2)合力的作用 合力沿速度方向的分量 Ft产生切向加速度，Ftmat，它只改变速度的_ 合力沿半径方向的分量 Fn产生向心加速度，Fnman，它只改变速度的_ 方法技巧考点 1 圆周运动中的运动学分析 1对公式 vr 的理解当 r 一定时，v 与 成正比 当 一定时，v 与 r 成正比 当 v 一定时， 与 r 成反比2对 a2rv 的理解v2 r在 v 一定时，a 与 r 成反比；在 一定时，a 与 r 成正比 特别提醒：在讨论 v、r 之间的关系时，应运用控制变量法 3传动装置中各物理量的关系(1)同轴转动 各点共轴转动时，角速度相同，因此周期也相同由于各点半径不一定相同，线速度、 向心加速度大小一般不同 (2)皮带传动 当皮带不打滑时，两轮边缘各点线速度大小相等由于各点半径不同，角速度、周期、 向心加速度等都不相同 (3)在传动装置中各物理量的关系 在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为： 同一转轴的各点角速度 相同，而线速度 vr 与半径 r 成正比，向心加速度大 小 ar2与半径 r 成正比 当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据 、a确定v rv2 r【典型例题 1】 (多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C 三点到各自转轴的距离分别为 RA、RB、RC，已知 RBRC，若在传动过程中，皮带不打滑则( )RA 2AA 点与 C 点的角速度大小相等BA 点与 C 点的线速度大小相等CB 点与 C 点的角速度大小之比为 21DB 点与 C 点的向心加速度大小之比为 141.(17 年扬州模拟)如图所示，B 和 C 是一组塔轮，即 B 和 C 半径不 同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为 RBRC32，A 轮的半径大小与 C 轮相同， 它与 B 轮紧靠在一起，当 A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无 滑动地转动起来a、b、c 分别为三轮边缘的三个点，则 a、b、c 三点在转动过程中的( )A线速度大小之比为 322B角速度之比为 332C转速之比为 232D向心加速度大小之比为 964 考点 2 圆周运动中的动力学分析 1向心力的来源 (1)向心力的方向沿半径指向圆心； (2)向心力来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种 力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向 心力 2向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力 【典型例题 2】 (多选)如图所示的圆锥摆中，摆球 A、B 在同一水平面上做匀速圆周 运动，关于 A、B 球的运动情况和受力情况，下列说法中正确的是( )A摆球 A 受重力、拉力和向心力的作用B摆球 A 的向心力是由绳子拉力指向圆心的分力提供C摆球 A、B 做匀速圆周运动的周期相等D摆球 A、B 做匀速圆周运动的周期不相等2.如图所示，叠放在水平转台上的小物体 A、B、C 能随转台一起以角速 度 匀速转动，A、B、C 的质量分别为 3m、2m、m，A 与 B、B 与转台、C 与转台间的动摩 擦因数都为 ，B、C 离转台中心的距离分别为 r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑 动摩擦力以下说法中正确的是( )AB 对 A 的摩擦力一定为 3mgBC 与转台间的摩擦力大于 A 与 B 间的摩擦力C要使物体与转台不发生相对滑动，转台的角速度一定满足：2g 3rD要使物体与转台不发生相对滑动，转台的角速度一定满足：g 3r考点 3 竖直平面内圆周运动的临界问题 (1)“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而 “轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力 (2)有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运 动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况.物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内 轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道 中运动等受力特征除重力外，物体受到的弹力 方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力 方向：向下、等于零或向上力学方程mgFNmv2 Rmg±FNmv2 R临界特征FN0mgm 即 vmingRv0 即 F向0FNmg过最高点的条件在最高点的速度vgRv0【典型例题 3】 长 L0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕 O 点在竖直平面内 转动，另一端固定着一个小球 A.A 的质量为 m2 kg，当 A 通过最高点时，如图所示，求 在下列两种情况下杆对小球的作用力： (1)A 在最低点的速率为 m/s；21(2)A 在最低点的速率为 6 m/s.【典型例题 4】 (16 年苏州模拟)(多选)如图所示，竖直环 A 半径为 r，固定在木板 B 上，木板 B 放在水平地面上，B 的左右两侧各有一挡板固定在地上，B 不能左右运动，在 环的最低点静放有一小球 C，A、B、C 的质量均为 m.现给小球一水平向右的瞬时速度 v，小 球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起 (不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足( )A最小值为 B最大值为4gr6grC最小值为 D最大值为5gr7gr3.(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里 有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从 B 点脱离后做平抛运动， 经过 0.3 s后又恰好垂直与倾角为 45°的斜面相碰已知半圆形管道的半径 R1 m，小球 可看做质点且其质量为 m1 kg，g 取 10 m/s2.则( )A小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 0.9 mB小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 1.9 mC小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 1 ND小球经过管道的 B 点时，受到管道的作用力 FNB的大小是 2 N 当堂检测 1.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )A速度的大小和方向都改变B匀速圆周运动是匀变速曲线运动C当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动D向心加速度大小不变，方向时刻改变 2如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为 R 的圆轨道第 2 题图 表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动已知人和摩托车的总质量为 m，人以 v1 的速度通过轨道最高点 B，并以 v2v1的速度通过最低点 A.则在 A、B 两点轨道对2gR3摩托车的压力大小相差( )A3mg B4mg C5mg D6mg 3质量为 m 的物体随水平传送带一起匀速运动，A 为传送带的终端皮带轮如图所示， 皮带轮半径为 r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( )A. B. C. D.1 2g rg rgrgr2第 3 题图第 4 题图4如图是自行车传动结构的示意图，其中是半径为 r1的大齿轮，是半径为 r2的 小齿轮，是半径为 r3的后轮，假设脚踏板的转速为 n，则自行车前进的速度为( )A. B.nr1r2 r3nr2r3 r1C. D.2nr1r3 r22nr2r3 r15(多选)荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，第 5 题图 如图为小孩荡秋千运动到最高点的示意图，(不计空气阻力)下列说法正确的是( )A小孩运动到最高点时，小孩的合力为零B小孩从最高点运动到最低点过程中机械能守恒C小孩运动到最低点时处于失重状态D小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳子拉力提供圆周运动的向心力第 2 课时 圆周运动的实例分析一、水平面内的圆周运动 研究水平面内物体的圆周运动时，要知道向心力是由物体所受的合力提供的，要能在 具体的运动实例中分析物体向心力的来源 二、火车转弯问题在铁路的弯道处，让外轨高于内轨，使火车转弯时所需的向心力恰由重力和弹力的合 力提供，如图所示(注意：火车转弯时的轨道平面是水平的)这样，铁路建成后，火车转 弯时的速率 v 与弯道圆弧半径 r、铁轨平面与水平面间的夹角 应满足的关系为： _；当火车实际行驶速率大于或小于 v 时，外轨道或内轨道对轮缘有侧压力 三、汽车过拱桥问题 设汽车质量为 m，桥面圆弧半径为 r，汽车过桥面最高点时的速率为 v，汽车受支持力为 FN，则有 mgFNm；当 v时，FN0，汽车将脱离桥面，发生危险v2 rgr汽车过凹形桥最低点时，其动力学方程为_可以看出 FN_这种现象是_ 四、离心运动 1本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着_飞出去的倾向 2受力特点(如图所示)(1)当 F_时，物体做匀速圆周运动； (2)当 F0 时，物体沿_飞出； (3)当 Fmr2时，物体逐渐向_靠近，做_运动 五、圆锥摆问题 如图装置，小球在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆运动，如果摆角为 、细线 长为 L，则圆周运动的半径为运动的过程中受力和力的作用因为小球在运动过程中没有力做功，所以动能不变，因此做匀速圆周运动，所以可以 认为_指向圆心充当向心力；也可以将拉力分解为水平方向和竖直方向两个分 力，竖直方向静止不动，竖直方向上的合力为零，所以拉力水平方向上的分力就是 _充当向心力 方法技巧考点 1 水平面内的圆周运动 【典型例题 1】 (多选)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在 O 点的半圆，内外半径分别为 r 和 2r.一辆质量为 m 的赛车通过 AB 线经弯道到达 AB线， 有如图所示的三条路线，其中路线是以 O为圆心的半圆，OOr.赛车沿圆弧 路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为 Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率 通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )A选择路线，赛车经过的路程最短B选择路线，赛车的速率最小C选择路线，赛车所用时间最短D三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 考点 2 火车转弯在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力 提供若轨道水平，转变时所需向心力则由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造 成损坏 设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，车转弯半径为 R，两车轨所在平面与水平面的夹角为 ，火车的质量为 M，据三角形边角关系知sin ，对火车的受力情况分析得h Ltan.因为 角很小，所以sintan，故 ，所以向心力 F Mg.又因为F Mgh LF Mgh LFMv2/R，所以车速 v.由于铁轨建成后 h、L、R 各量是确定的，因此火车转弯时的ghR L车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：情况 v车ghR Lv车ghR L合力 F 与 F向的关系FF向FF向不利影响火车挤压外轨火车挤压内轨结果外轨对车轮的弹力补充向心力内轨对车轮的弹力抵消部分合力【典型例题 2】 (16 年徐州模拟)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知 内外轨道平面与水平面的夹角为 ，如图所示，弯道处的圆弧半径为 R，若质量为 m 的火 车转弯时速度等于，则( )gRtanA内轨对内侧车轮轮缘有挤压B外轨对外侧车轮轮缘有挤压C这时铁轨对火车的支持力等于mg cosD这时铁轨对火车的支持力大于mg cos如图一辆汽车行驶在半径为 R50 m的水平弯道上，汽车质量 m103 kg.汽 车轮胎与干燥地面的动摩擦因数为 10.7，与湿滑路面的动摩擦因数 20.4. 问：(1)分别求出在两种不同的水平弯道路面中，要使汽车不打滑，速率最大值 v1，v2为多少？ (2)若设计成外高内低的弯道路面，如图所示，要求以 v07 m/s的速率行驶的情况下， 汽车恰好与路面无侧向摩擦力求路面的倾角正切值tan.考点 3 汽车过拱桥问题【典型例题 3】 一汽车通过拱形桥顶时速度为 10 m/s，车对桥顶的压力为车重的 ，3 4如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( )A15 m/s B20 m/s C25 m/s D30 m/s 考点 4 圆锥摆问题 【典型例题 4】 如图所示，摆线长 L，偏离竖直方向的夹角为 ，小球在水平面内 作匀速圆周运动，求小球运动的角速度、线速度、周期当堂检测 1.水平台上有质量相等的 A、B 两小物块，两小物块间用沿半径方向的细 线相连，两物块始终相对转台静止，其位置如图所示(俯视图)，两小物块与转台间的最大 静摩擦力均为 f0，则两小物块所受摩擦力 FA、FB随转台角速度的平方(2)的变化关系正确 的是( )第 1 题图A B C D 2(17 年徐州模拟)如图所示， “旋转秋千”中的两个座椅 A、B 质量相等，通过相同 长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速 转动时，下列说法正确的是( )第 2 题图AA 的速度比 B 的大BA 与 B 的向心加速度大小相等C悬挂 A、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小 3在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比 右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为 .设拐弯路段是半径为 R 的圆弧，要使车速 为 v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零 应等于( )Aarcsin Barctanv2 Rgv2 RgC.arcsin Darccot1 2v2 Rgv2 Rg4(多选)铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的弯道处要求外轨比内轨高，其 内、外轨高度差 h 的设计不仅与 r 有关，还与火车在弯道上的行驶速度 v 有关下列说法 正确的是( )A速率 v 一定时，r 越小，要求 h 越大B速率 v 一定时，r 越大，要求 h 越大C半径 r 一定时，v 越小，要求 h 越大D半径 r 一定时，v 越大，要求 h 越大 5在一水平放置的圆盘上面放有一劲度系数为 k 的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定 于轴 O 上，另一端挂一质量为 m 的物体 A，物体与盘面间的动摩擦因数为 .开始时弹簧未 发生形变，长度为 R，设最大静摩擦等于滑动摩擦，求： (1)盘的转速 n0多大时，物体 A 开始滑动？ (2)当转速达到 2n0时，弹簧的伸长量x 是多少？第 5 题图第 15 讲 圆周运动及其应用 第 1 课时 圆周运动 知识整合 基础自测 一、1.运动 2转动 3周期 圈数 0.02 s 100 rad/s 4s/t r /t 2/T v/r 2r/v 2/ 5速度方向 改变速度的方向 6(1)指向圆心 (2)m2r mv (3)半径 二、1.(1)大小不变 (2)不变 指向圆心 (3)大小 垂直 2(1)发生变化 (2)大小 方向 方法技巧 ·典型例题 1·BD 【解析】 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动 轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等对于本题，显然 vAvC，AB，选项 B 正确；根据vAvC及关系式vR，可得ARACRC，又RC，所以A，选项 A 错误；根据AB，A，可得B，即B点与CRA 2c 2c 2c 2点的角速度大小之比为 12，选项 C 错误；根据B及关系式a2R，可得c 2aB，即B点与C点的向心加速度大小之比为 14，选项 D 正确ac 4·变式训练 1·D 【解析】 A、B轮摩擦传动，故vavb，aRAbRB，ab32；B、C同轴，故bc，vbvc32，vb RBvc RC因此vavbvc332，abc322，故 A、B 错误；转速之比等于角速度 之比，故 C 错误；由av得：aaabac964，D 正确 ·典型例题 2·BC 【解析】 小球受重力和拉力，两个力的合力提供圆周运动的向 心力，故 A 错误，B 正确；设绳和竖直方向的夹角为，根据几何关系可知，小球所受合 力的大小F合mgtan，根据向心力公式得：mgtanmLsin2，解得：，两小球Lcos相等，所以角速度相等，根据T知周期相等，故 C 正确，g Lcos2 D 错误 ·变式训练 2·C 【解析】 A、B之间为静摩擦力，静摩擦力充当向心力，fF向 3m2r，A 错；C与转台间的摩擦力fF向1.5m2r小于A与B间的摩擦力，B 错；对于A、B，必满足g2r，得，对于C，满足g2r，所以，C 对，ug r3 22ug 3rD 错，故答案选 C. ·典型例题 3·(1)16 N 方向向上 (2)44 N 方向向下【解析】 对小球A由最低点到最高点过程，由动能定理得，mg·2Lmv2mv1 21 22 0在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的受力图如图所示：以A为研究对象，由牛顿第二定律得mgFmv2 L所以Fm(g)v2 L(1)当v0 m/s 时，21由式得v1 m/s， F16 N， 负值说明F的实际方向与假设的向下的方向相反，即杆给A向上的 16 N 的支撑力 (2)当v06 m/s 时， 由式得v4 m/s F44 N 正值说明杆对A施加的是向下的 44 N 的拉力 ·典型例题 4 ·CD 【解析】 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mgm，从最低点到最高点由机械能守恒得mvmg·2rmv，可得小球在最1 22min1 22 0低点瞬时速度的最小值为；为了不使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，5gr球对环的压力为 2mg，满足 3mgm，从最低点到最高点由机械能守恒得mvmg·2rmv，可得小球在最低点v2 r1 22max1 22 1瞬时速度的最大值为.7gr·变式训练 3·AC 【解析】 根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度 vygt3 m/s，水平分速度vxvytan 45°3 m/s，则B点与C点的水平距离为 xvxt0.9 m，选项 A 正确，B 错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNBmgm，vBvx3 m/s，解得FNB1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项 C 正确，D 错误 当堂检测 1CD 【解析】 匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A 错；它的加速 度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B 错，D 对；由匀速圆周运动的条件 可知，C 对2D 【解析】 由题意可知，在B点，有FBmgm，解之得FBmg，在A点，有FAmgm，解之得FA7mg，所以A、B两点轨道对车的压力大小相差 6mg.故选项D 正确3A 【解析】 要使物体通过终端时能水平抛出，则有mg，物体飞出时速度mv2 r至少为，由vr2nr可得皮带轮的转速至少为n，选项 A 正确gr1 2g r4C 【解析】 自行车前进的速度就是后轮边缘的线速度，由与的边缘线速度相等，与转动的角速度相等，易得 2nr12n2r2，v2n2r3.2nr1r3 r25BD 【解析】 小孩运动到最高点时，速度为零，受重力和拉力，合力不为零，方 向沿着切线方向，故 A 错误；小孩从最高点运动到最低点过程中，受重力和拉力，拉力不 做功，只有重力做功，机械能守恒，故 B 正确；小孩运动到最低点时，具有向心加速度， 方向竖直向上，故小孩处于超重状态，故 C 错误；小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳 子的拉力的合力提供圆周运动的向心力，故 D 正确 第 2 课时 圆周运动的实例分析 知识整合 基础自测二、gtanv2 r三、FNmgm 大于mg 超重v2 r四、1.切线方向 2(1)mr2 (2)切线方向 (3)mr2 (4)圆心 近心 五、Lsin 重 拉 重力与拉力的合力合力 方法技巧·典型例题 1·ACD 【解析】 路线的路程为s12r ·2r2rr，路线1 2的路程为s22r ·2·2r2r2r，路线的路程为s32r，故选择路线，赛1 2车经过的路程最短，A 正确；因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大 径向静摩擦力充当向心力，所以有Fmaxma，所以运动的向心加速度相同，根据公式Fmaxm可得v即半径越大，速度越大，路线的速率最小，B 错误，D 正确；因v2 RFmaxR m为s1B，即物体B所 受摩擦力先达到最大值，随后在一段时间内保持不变，C、D 错；当>B时，细线中出现 拉力T，对物体A：T0 时，FAm2r1，T>0 后，FATm2r1，而对物体B满足 Tf0m2r2，联立得FAm2(r1r2)f0，所以T>0 后直线斜率比T0 时大，当转台 对A的摩擦力达到最大静摩擦力后，若转台角速度再增大，则A、B相对转台将出现滑动， 所以 A 错，B 对 2D 【解析】 A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即AB，但rA<rB，根 据vr得，A的速度比B的小，选项 A 错误；根据a2r得，A的向心加速度比B的 小，选项 B 错误；A、B做圆周运动时的受力情况如图所示，根据F向m2r及 tan知，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项 C 错误；由图知FT，所以F向 mg2r gmg cos悬挂A的缆绳受到的拉力小，选项 D 正确第 2 题图 3B 【解析】 汽车拐弯时，受到支持力和重力作用而做匀速圆周运动，两个力的合力方向指向水平圆周的圆心，根据牛顿第二定律：mgtanm，得arctan，Bv2 Rv2 Rg正确故选 B.第 3 题图4AD 【解析】 火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G与轨道支持力FN的合力来提供，如图所示，则有mgtan，且mv2 rtansin ，其中L为轨间距，是定值，有mg，通过分析可知 A、D 正确h Lh Lmv2 r第 4 题图5(1) (2) 【解析】 (1)若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向1 2g R3mgR kR4mg 心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力圆盘开始转动时，A所受最 大静摩擦力提供向心力，则有mgm(2n0)2R得：n0；1 2g R(2)当转速达到 2n0时，由牛顿第二定律 得：mgkxm(2·2n0)2(Rx)得：x.3mgRkR4mg