江苏省如皋中学2020-2021学年高二下学期数学期末综合复习四.pdf
江苏省如皋中学 2020-2021 学年度第二学期期末数学复习卷四一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的21 1若集合若集合A x x 3且且xN，B x|x 4，则，则AB（）A Ax|x 2B B1C C1,1 D D0,12 2若纯虚数若纯虚数z满足满足(z m)i 2i(其中其中i为虚数单位，为虚数单位，m为实数为实数)，则，则m（）A A23 3某班级要从某班级要从 5 5 名男生名男生 3 3 名女生中选派名女生中选派 4 4 人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有 2 2 名女生参名女生参加，那么不同的选派方案有（加，那么不同的选派方案有（）A A2020 种种B B3030 种种C C3535 种种D D6565 种种B B1C C1D D224 4二项式二项式x2展开式中，展开式中，x4的系数是（的系数是（）xA A4040B B1010C C-40-40D D1053x2y25 5已知椭圆已知椭圆C:221(a b 0)的焦距为的焦距为2c(c 0)，右焦点为，右焦点为F，过，过C上一点上一点P作直线作直线x cab2的垂线，垂足为的垂线，垂足为Q若四边形若四边形OPQF为菱形，则为菱形，则C的离心率为（的离心率为（）A A23B B63C C42 3D D316 6在数在数1 1 和和 3 3 之间插入之间插入 n n 个实数，使得这个实数，使得这n n2 2 个数构成等差数列，将这个数构成等差数列，将这n n2 2 个数的和记为个数的和记为bn，则数列，则数列log3bn1的前的前 7878 项的和为项的和为()bnA.3A.3B.logB.log3 37878C.5C.5D.logD.log3 38 87 7人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作A，隐性基因记作，隐性基因记作a.成对的基因中，只要出现成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮双眼皮”的充要条件是的充要条件是“基因对是基因对是AA，aA或或Aa”.”.人的卷舌人的卷舌与平舌与平舌(指是否能左右卷起来指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用也是由一对基因对决定的，分别用B，b表示显性基因表示显性基因 隐性基因，基因对隐性基因，基因对中只要出现了显性基因中只要出现了显性基因B，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb，不考虑基因突变，那么他们的孩子是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（双眼皮且卷舌的概率为（）A A8 8已知函数已知函数f(x)满足满足f(x)f(x)，当，当x0时，时，（）A A(,0)二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共2020 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9 9已知已知，是两个不同的平面，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A A若若m，n，则，则m/nB B若若，m，n，则，则mnC C若若 l，m/，m/，则，则m/lD D若若 l，m，ml，则，则m 116B B316C C716D D916f(x)3x2x，则不等式，则不等式f(x 2)13的解集为的解集为(4,)B B(0,4)C C(0,2)D D(,0)(2,)1010下列命题中是真命题的有（下列命题中是真命题的有（）A A存在存在，使，使tan tantanB B在在C C在在D D在在ABC中，若中，若sin2Asin2B，则，则ABC是等腰三角形是等腰三角形ABC中，中，“A B”是是“sinAsinB”的充要条件的充要条件ABC中，若中，若cosA543363，sinB 则则cosC的值为的值为或或1356565225)，1111已知某校有已知某校有 12001200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布近似服从正态分布N(100，则下列说法正确的有（则下列说法正确的有（）（参考数据：（参考数据：P(X)0.6827；P(2 X 2)0.9545；P(3 X 3)0.9973）A A这次考试成绩超过这次考试成绩超过 100100 分的约有分的约有 500500 人人B B这次考试分数低于这次考试分数低于 7070 分的约有分的约有 2727 人人C CP(115 X 130)0.0514D D从中任取从中任取 3 3 名同学，至少有名同学，至少有 2 2 人的分数超过人的分数超过 100100 分的概率为分的概率为1212在直四棱柱在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形中，四边形ABCD为正方形，为正方形，AA1一个动点，则下列说法中正确的有（一个动点，则下列说法中正确的有（）A ABD1平面平面A1C1D122AB，P为面对角线为面对角线B1C上的上的B BB1C与与A1C1所成角的余弦值为所成角的余弦值为1010C C三棱锥三棱锥PA1DC1的体积为定值的体积为定值D D平面平面ABB1A1内存在与内存在与A1C1D和底面和底面ABCD交线平行交线平行三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.1313已知抛物线已知抛物线C:y 12x上的点上的点M到焦点的距离为到焦点的距离为 5 5，则点，则点M到到y轴的距离为轴的距离为_._.81，0,，则，则tan 的值为的值为_._.221414已知已知tan 2，tan1515在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 中，中，MM 为为 BCBC 的中点，若的中点，若ABABAMAMDBDB，则，则.1616已知半径为已知半径为5的球面上有的球面上有P、A、B、C四点，满足四点，满足ACB 90，AC7，BC心心O到平面到平面ABC的距离为的距离为_，三棱锥，三棱锥PABC体积的最大值为体积的最大值为_._.四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1717已知数列已知数列an满足满足a115，则球，则球2，(n2)an3(n1)an1（1 1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2 2）设）设Sn为数列为数列an的前的前n项和，求证项和，求证Sn1541818已知函数已知函数f(x)2sinxcosx3x 在在处取得最大值处取得最大值.(0 3)1232（1 1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2 2）若）若ABC的角的角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，且，且f(A)1c，bcosC a，c2，求，求22a.1919如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，平面中，平面APB平面平面ABCD，四边形，四边形ABCD是直角梯形，是直角梯形，AB/CD，ABBC，ABP 30（1 1）求证：）求证：AP CP；（2 2）求二面角）求二面角B PC D的余弦值的余弦值.，APBCCD1，AB2.2020网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账 微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中年中国消费者信息研究，超过国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了店统计了2020年年8月月5日至日至9日这日这5天到该专营店购物的人数天到该专营店购物的人数yi和时间第和时间第xi天间的数据，列表如下：天间的数据，列表如下：xiyi1284n349857593100参考数据：参考数据：434065.88.附：相关系数附：相关系数r x xyii1n2nii1i1i y，回归直线方程的斜率，回归直线方程的斜率ix xy y2bx xy yiii1nx xii1n2，截距，截距a .y bx（1 1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间与时间x之间的关系？若可用，估计之间的关系？若可用，估计8月月10日到该专营店购物的人数日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若人数用四舍五入法取整数；若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算归模型拟合，计算r时精确到时精确到0.01).).（2 2）运用分层抽样的方法从第）运用分层抽样的方法从第1天和第天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这人，再从这7人中任取人中任取3人进行奖励，求这人进行奖励，求这3人取自不同天的概率人取自不同天的概率.（3 3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减元可减10元；方案二，元；方案二，一次性购物金额超过一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打折，中奖两次打8折，中奖三次打折，中奖三次打6折折.某顾客计划在此专营店购买某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.13x2y22121已知椭圆已知椭圆C:221(a 0,b 0)的左的左 右焦点分别为右焦点分别为F1，F2，A为椭圆为椭圆C上一点上一点AF1F2的周的周ab长为长为42 3，F1AF2最大时的余弦值为最大时的余弦值为1.2（1 1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（2 2）若）若B和和A为为x轴同侧的两点，且轴同侧的两点，且AF1F2时直线时直线AF1的方程的方程.2222已知函数已知函数f(x)lnx BF2F1180，求四边形，求四边形AF1F2B面积的最大值及此面积的最大值及此1a.xa 2a2(x1)在在(0,2)上的单调性；上的单调性；xx（1 1）当）当a0时，讨论函数时，讨论函数F(x)af(x)（2 2）当）当a(0,ln 2)时，求证：函数时，求证：函数g(x)e f(x)(e为自然对数的底数为自然对数的底数)存在唯一极值点存在唯一极值点x0且且gx00.江苏省如皋中学 20202021 学年度第二学期高二数学期末数学综合复习四一、单选题一、单选题21 1若集合若集合A x x 3且且xN，B x|x 4，则，则AB（）A Ax|x 2B B1C C1,1 D D0,1【答案】【答案】D【详解】集合A0,1,2，Bx|2 x2，所以AB 0,1.故选：D.2 2若纯虚数若纯虚数z满足满足(z m)i 2i(其中其中i为虚数单位，为虚数单位，m为实数为实数)，则，则m（）A A2【答案】【答案】B3 3某班级要从某班级要从 5 5 名男生名男生 3 3 名女生中选派名女生中选派 4 4 人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有 2 2 名女生参名女生参加，那么不同的选派方案有（加，那么不同的选派方案有（）A A2020 种种B B3030 种种C C3535 种种D D6565 种种B B1C C1D D2【答案】【答案】C【详解】女生人数 2 人和 3 人，女生 2 人时，需从男生中选 2 人，女生 3 人时，需从男生中选1 人，所以不同选派方案的种数为C5C35223C1C5335.24 4二项式二项式x2展开式中，展开式中，x 4的系数是（的系数是（）xA A4040B B1010C C-40-40D D10 x2y2【答案】【答案】A5 5已知椭圆已知椭圆C:221(a b 0)的焦距为的焦距为2c(c 0)，右焦点为，右焦点为F，过，过C上一点上一点P作直作直ab线线x 3c的垂线，垂足为的垂线，垂足为Q若四边形若四边形OPQF为菱形，则为菱形，则C的离心率为（的离心率为（）2B BA A2363C C42 3D D31【答案】【答案】D【详解】由题意可知PQ OP OF c，而xP313c c c，所以yPc，222则OPF为正三角形，设椭圆的左焦点为F1，则PF1所以由椭圆的定义可得PFPF，且PFc，PF13c，3 1 c2a，PF12a，即c3c 2a，即解得离心率为3 1.故选：D6 6在数 1 和 3 之间插入 n 个实数，使得这 n2 个数构成等差数列，将这 n2 个数的和记为 bn，则数列bn1log3的前 78 项的和为()AbnA.3B.log378C.5D.log387 7人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作A，隐性基因记作，隐性基因记作a.成对的基因中，只要出现成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮双眼皮”的充要条件是的充要条件是“基因对是基因对是AA，aA或或Aa”.”.人的卷舌人的卷舌与平舌与平舌(指是否能左右卷起来指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的，分别用也是由一对基因对决定的，分别用B，b表示显性基因表示显性基因 隐性基因，基因对隐性基因，基因对中只要出现了显性基因中只要出现了显性基因B，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb，不考虑基因突变，那么他们的孩子是，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（双眼皮且卷舌的概率为（）A A 116B B316C C 716D D 916【答案】【答案】D【详解】父母决定眼皮单双的基因均为Aa，遗传给孩子的基因可能为AA，Aa，aA，34339.故选：D.双眼皮且卷舌的概率为4416aa，所以孩子为双眼皮的概率为.同理孩子卷舌的概率也为.根据相互独立事件的概率公式知孩子是348 8已知函数已知函数f(x)满足满足f(x)f(x)，当，当x 0时，时，（）A A(,0)f(x)3x2x，则不等式，则不等式f(x2)13的解集为的解集为(4,)B B(0,4)C C(0,2)D D(,0)(2,)【答案】【答案】B【详解】依题意知f x为偶函数，其图象关于y轴对称，当x 0时，f x单调递增，且f 213，所以f x13的解集为2,2.将f x的图象沿x轴向右平移2个单位长度后可得f x 2的图象，所以不等式f x 213的解集为0,4.故选:B.二、多选题二、多选题9 9已知已知，是两个不同的平面，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A A若若m，n，则，则m/nB B若若，m，n，则，则mnC C若若 l，m/，m/，则，则m/lD D若若 l，m，ml，则，则m【答案】【答案】AC1010下列命题中是真命题的有（下列命题中是真命题的有（）A A存在存在，使，使tan tantanB B在在C C在在D D在在ABC中，若中，若sin2Asin2B，则，则ABC是等腰三角形是等腰三角形ABC中，中，“A B”是是“sinAsinB”的充要条件的充要条件ABC中，若中，若cosA543363，sinB 则则cosC的值为的值为或或1356565【答案】【答案】AC【详解】对于 A，当 0时，正确；对于 B，由sin2Asin2B可得2A2B或2A2B，即AB或A B 三角形或直角三角形，错误；对于 C，ABab2RsinA2RsinBsinAsinB(其中R是，所以ABC是等腰2ABC外接圆的半径)，正25 5 12.确；对于 D，因为cosA，0A，所以sin A 1cos2A 1131313因为sinAsinB，所以由正弦定理得a b，从而A B.43 4又因为sinB，所以cosB 1sin2B 1，555从而cosC cosA B sin Asin Bcos AcosB 233，错误；故选：AC.65225)，1111已知某校有已知某校有 12001200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布近似服从正态分布N(100，则下列说法正确的有（则下列说法正确的有（）（参考数据：（参考数据：P(X)0.6827；P(2 X 2)0.9545；P(3 X 3)0.9973）A A这次考试成绩超过这次考试成绩超过 100100 分的约有分的约有 500500 人人B B这次考试分数低于这次考试分数低于 7070 分的约有分的约有 2727 人人C CP(115 X 130)0.0514D D从中任取从中任取 3 3 名同学，至少有名同学，至少有 2 2 人的分数超过人的分数超过 100100 分的概率为分的概率为12【答案】【答案】BD【详解】由题意可知，对于选项A，100，100 分的约有120015，则PX 1001，则成绩超过21 600人，所以选项 A 错误；2对于选项 B，PX 70 P70 X 100PX 10011P100215 X 1002150.5 0.95450.5 0.97725，所以PX 70122PX 7010.977250.02275，所以分数低于 70 分的人数约为 0.02275120027.3，即约为 27人，所以选项 B 正确；对于选项 C，11PX 115 PX 100P10015 X 10015 0.50.6827 0.84135，2211PX 130 PX 100P100215 X 100215 0.50.9545 0.9727，所以22P115 X 130 PX 130PX 1150.97270.841350.13135，所以选项 C 错误；对于选项 D，因为PX 10021，且至少有 2 人的分数超过 100 分的情况如下：恰好 2 人时概率为23 1 13 11C32；3 人均超过 100 分时的概率为，则至少有 2 人的分数超过 100 分的概率为22828311，所以选项 D 正确；故选：BD8821212在直四棱柱在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形中，四边形ABCD为正方形，为正方形，AA1一个动点，则下列说法中正确的有（一个动点，则下列说法中正确的有（）A ABD1平面平面A1C1D2AB，P为面对角线为面对角线B1C上的上的B BB1C与与A1C1所成角的余弦值为所成角的余弦值为1010C C三棱锥三棱锥PA1DC1的体积为定值的体积为定值D D平面平面ABB1A1内存在直线与内存在直线与A1C1D和底面和底面ABCD交线平行交线平行【答案】【答案】BC【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB 1，则AA12，则A1,0,0、B1,1,0、C0,1,0、D0,0,0、A11,0,2、B11,1,2、C10,1,2、D10,0,2.对于 A 选项，DA11,0,2，BD11,1,2，则DA，故A1D与BD1不垂直，进1BD1143而可知，BD1与平面A1C1D不垂直，A 选项错误；,1,0，对于 B 选项，B1C 1,0,2，AC111cos B1C,A1C1B1C A1C1B1C A1C1110，1052所以，异面直线B1C与A1C1所成角的余弦值为10，B 选项正确；10对于 C 选项，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B1/CD/C1D1且A1B1所以，四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C/AD1，CDC1D1，B1C平面A1C1D，A1D平面A1C1D，则B1C/平面A1C1D，所以，点P到平面A1C1D的距离为定值，而AC11D的面积为定值，故三棱锥PAC11D的体积为定值，C 选项正确；对于 D 选项，因为A1C1/平面ABCD，所以平面A1C1D和底面ABCD的交线与A1C1平行.而A1C1与平面ABB1A1相交，D 选项错误.故选：BC.三、填空题三、填空题1313已知抛物线已知抛物线C:y【答案】【答案】2 6【详解】抛物线C的方程可化为x212x上的点上的点M到焦点的距离为到焦点的距离为 5 5，则点，则点M到到y轴的距离为轴的距离为_._.88y.设Mx0,y0.因为点M到焦点的距离为 5，所以点M到准线y 2的距离为 5，从而y03，将y03代入x28y可得x0 2 6，所以点M到y轴的距离为2 6.故答案为：2 6.1414已知已知tan 2，tan1，0,，则，则tan 的值为的值为_._.22【答案】【答案】13【详解】由题意可知，tan2 tan tan tan3，1 tantan4且tan 22tan32，即3tan21 tan48tan30，解得tan1或tan 3，3因为0,11tan.，所以故答案为：3321515在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD 中，中，MM 为为 BCBC 的中点，若的中点，若ABABAMAMDBDB，则，则.1解析由图形可得：AMAB AD，2DBABAD，212212得：2AMDB3AB，即AB AM DB，所以 ，所以 .333391616已知半径为已知半径为5的球面上有的球面上有P、A、B、C四点，满足四点，满足ACB 90，AC7，BC心心O到平面到平面ABC的距离为的距离为_，三棱锥，三棱锥PABC体积的最大值为体积的最大值为_._.15，则球，则球【答案】【答案】328 153【详解】ACB 90，所以，AB为截面圆O1的直径.因为AC7，BC 15，所以AB AC2 BC28.由球的性质可知OO1圆面O1，即OO1为球心O到平面ABC的距离.1AB 4，OA5，可得OO1 OA2O1A23，2在RtOAO1中，AO1所以O到平面ABC的距离为3.要使三棱锥PABC的体积最大，P应为O1O的延长线与球面的交点，此时点P到平面ABC的距离为8，所以三棱锥PABC体积的最大值为7 158113228 1528 15.故答案为：3；.33四、解答题四、解答题1717已知数列已知数列an满足满足a12，(n2)an3(n1)an1（1 1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2 2）设）设Sn为数列为数列an的前的前n项和，求证项和，求证Snn11541【答案】【答案】（1）an(n 1)3（2）证明见解析nN N；*【详解】（1）由(n2)an3(n1)an1，得an11an，n 23 n1an1an 21，因为a12，所以11 0，所以an113n1 an1所以是首项为 1，公比为的等比数列，3n1a1所以nn13（2）由Snn11，即an(n 1)3n1nN N*234n 1 得012n133331234nn 1Sn123 n1n，333333两式相减，得2111n 1Sn 212 n1n133333n1111 33 2113156n 1515n152n5，所以Sn得证n44343n223n1818已知函数已知函数f(x)2sinxcosx3x 在在处取得最大值处取得最大值.(0 3)1232（1 1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2 2）若）若ABC的角的角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，且，且f(A)1c，bcosC a，c2，求，求22a.【详解】（1）f(x)2sinxcosx33213332 2sinxcosxsinx sinxcosx 3sinx2222311cos2x31sin2xcos2x sin2x.sin2x 3223222由题意可知2123 2k2(k Z)，可得12k 1(k Z).因为03，所以 1，故f(x)sin2x，所以函数fx的最小正周期为.3（2）由fA11可得sin2A，3226或2k故2A3 2k5(kZ).因为A0,，所以A.64ca2 c2 b21222由bcosC a以及余弦定理可得a c b ac，所以cos B.2ac22因为B0,，所以B5，所以C 1232 2 3 2.6 24由正弦定理可得a csin A22sinCsin5sin12461919如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，平面中，平面APB平面平面ABCD，四边形，四边形ABCD是直角梯形，是直角梯形，AB/CD，ABBC，ABP 30APBCCD1，AB2.（1 1）求证：）求证：AP CP；（2 2）求二面角）求二面角B PC D的余弦值的余弦值.，【详解】（1）因为AP1，AB2，ABP 30，所以AP PB，因为平面APB平面ABCD，平面APB 平面ABCDAB，BC平面ABCD，ABBC，所以BC 平面APB，因为AP 平面ABP，所以BCAP，因为PBBCB，所以AP 平面PBC，因为CP平面PBC，所以AP CP.（2）如图，作空间直角坐标系B xyz，33PA 2,0,0B 0,0,0C 0,0,1D 1,0,1则，2,2,0，3333BP2,2,0，BC 0,0,1，CD 1,0,0，CP 2,2,1，设m x1,y1,z1为平面PCB的一个法向量，m BP 0y10 x 则，即21，令y13，则x11，m 1,3,0，2m BC 033z10nCD 0设n x2,y2,z2为平面PCD的一个法向量，则，即3，令y23，3nCP 0y2z20 x2x2022mn32133cos m,n 则z2，n 0,3,，故7，结合图像易知二面角9m n222 34B PC D的余弦值为21.72020网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账 微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中年中国消费者信息研究，超过国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了店统计了2020年年8月月5日至日至9日这日这5天到该专营店购物的人数天到该专营店购物的人数yi和时间第和时间第xi天间的数据，列表如下：天间的数据，列表如下：xiyi1284349857593100（1 1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间与时间x之间的关系？若可用，估计之间的关系？若可用，估计8月月10日到该专营店购物的人数日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若人数用四舍五入法取整数；若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算归模型拟合，计算r时精确到时精确到0.01).).参考数据：参考数据：434065.88.附：相关系数附：相关系数r x xyii1n2nii1i1ni y，回归直线方程的斜率，回归直线方程的斜率ix xy y2bx xy yiii1nxi xi1n2，截距，截距a .y bx（2 2）运用分层抽样的方法从第）运用分层抽样的方法从第1天和第天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这人，再从这7人中任取人中任取3人进行奖励，求这人进行奖励，求这3人取自不同天的概率人取自不同天的概率.（3 3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减元可减10元；方案二，元；方案二，一次性购物金额超过一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为元可抽奖三次，每次中奖的概率均为1，且每次抽奖互不影响，中奖一次打，且每次抽奖互不影响，中奖一次打93折，中奖两次打折，中奖两次打8折，中奖三次打折，中奖三次打6折折.某顾客计划在此专营店购买某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.【答案】【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系，8月10日到该专营店购物的人数约为（2）；（3）选择方案二更划算.109；67【详解】解：（1）由表中数据可得x 3，y 90，xi xi15210，yi y 434i152，xi xyi y 64，所以r i15x xy yiii1nxi xyi yi1i1n2n264 0.97 0.75，4340所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系.n而bx xy yiii1xi xi1n264 906.43 70.8，6.4，则a y bx10 6.4x 70.8，令x 6，可得y 109.2.答：8月10日到该专营店购物的人数约为109.所以y（2）因为75:100 3:4，所以从第1天和第5天取的人数分别为3和4，从而3人取自不同天的种数为121C3C4C32C466C C C C，所以概率P.答：这人取自不同天的概率为33C77713242314（3）若选方案一，需付款1000100900元.若选方案二，设需付款X元，则X的取值可能为600，800，900，1000，1263121则P(X 600)C3，P(X 800)C3，32733271 212810 2，P(X 1000)C3，P(X 900)C33327327所以E(X)600233216128242008009001000 900，因此选择方案二更划算.2727272727x2y22121已知椭圆已知椭圆C:221(a 0,b 0)的左的左 右焦点分别为右焦点分别为F1，F2，A为椭圆为椭圆C上一点上一点AF1F2的周的周ab长为长为4 2 3，F1AF2最大时的余弦值为最大时的余弦值为1.（1 1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；2（2 2）若）若B和和A为为x轴同侧的两点，且轴同侧的两点，且AF1F2BF2F1180，求四边形，求四边形AF1F2B面积的最大值及此面积的最大值及此时直线时直线AF1的方程的方程.x2【答案】【答案】（1）（2）面积的最大值2，方程为x 2y 3.y21；4【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.由椭圆的定义可知2a2c 42 3.由椭圆的几何性质可知，当A为短轴的顶点时，F1AF2最大，为120，则有sin60 3c.联立可得a 2，c 3，2ax2所以b a c 1，故椭圆C的方程为 y21.4222（2）因为AF1F2BF2F1180，所以AF1/BF2.延长AF1，交椭圆C于点A.设Ax1,y1，Ax2,y2.由（1）可知F1(3,0)，可设直线AA的方程为x my 3.x22 y 122联立4消去x可得4 my 2 3my 1 0，x my312 3m.由对称性可知BF2 AF1.设AF1与BF2间的距离为d，y y，12224m4 m11AF BFd 1AF1 AF1d222所以y1 y2则四边形AF1F2B的面积S 11AAd SF2AF1F2 y1 y23 y1 y2322y1 y224y1y224 3t4 32 3mS 44 3 m212.令t m211，则33.t 324m24m2t 4mt因为t 3 2 3，当且仅当t 3时取等号，所以Smax 2，t此时m213，解得m 2，因此直线AF1的方程为x 2y 32222已知函数已知函数f(x)ln x 1a.xa 2a2(x1)在在(0,2)上的单调性；上的单调性；xx（1 1）当）当a 0时，讨论函数时，讨论函数F(x)af(x)（2 2）当）当a(0,ln 2)时，求证：函数时，求证：函数g(x)e f(x)(e为自然对数的底数为自然对数的底数)存在唯一极值点存在唯一极值点x0且且gx00.【详解】（1）F(x)af(x)a22a2(x1)aln xa2x，x 0，xxa2a2x2ax2(ax1)(ax2)2.则F(x)2a xxx2x2当a 0时，ax2 0.令Fx 0，可得x 1.a当a0,，时，2，此时Fx 0，函数Fx在0,2上单调递减.2a11当a1 11 1,时，2，在0,上Fx 0，函数Fx单调递减；在,2上Fx 0，函aa2a数Fx单调递增.综上，当a0,时，函数Fx在0,2上单调递减；当a,时，函数Fx在0,上单22a1 11 调递减，在 1,2上函数单调递增，a（2）g(x)e f(x)eln xxx1a，x 0，x则g(x)eln xx121 11 aex2 exln x2a.xxxxx212a同号.xx因为ex 0，所以g(x)与ln x21122x22x2(x1)21.令h(x)ln x2 a，x 0，则h(x)23xxxxxx3x3显然，当x 0时，hx 0，函数hx单调递增，又h(1)0 21 a 1 a 0，h1 1 ln44a aln2 0，22所以存在x0 1,1，使得hx00.当x变化时，gx，gx的变化如下：20,x0 x0 x0,gx0gx极小值故gx存在唯一极值点x0 1,1.2由hx00可得ln x021122a 0，即a 2ln x0，x0 x0 x0 x0112 x01 x02ln x0 e2.此时gx0 eln x0 xx0 x00 x0 x0因为x0 1,1，所以gx002
