概率论与数理统计第三章课后习题标准答案.docx.pdf

习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以出现反面次数之差的绝对值Y 表示三次中出现正面次数与.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：XY012310C31g11 1 3220C32g11 12202823/80318112212182.盒子里装有3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取.求 X 和 Y 的联合分布律 .4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数【解】X 和 Y 的联合分布律如表：XY0123000C32 gC223C746352C33 gC1223523535C74C33 gC1210C13 gC12 gC22C32 gC12 gC1212C74C3 gC2C74352C74C3 gC2 gC2C74121353C7402P(0 黑,2 红,2 白)=C22 gC22/C741635353.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=sin xsin y,0,0 x0 x2,0y2其他.y3求二维随机变量（X，Y）在长方形域,内的概率.4 6【解】如图 P0 X,Y3公式(3.2)46F(,)F(,)F(0,)43463 F(0,)6singsinsingsinsin 0gsinsin0gsin4346362(31).4题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=Ae(3x 4 y)0,x0,y0,其他.求：（1）常数 A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0 X1，0Y2.【解】（1）由f(x,y)dxdyAe-(3 x 4 y)dxdyA10012得A=12（2）由定义，有yxF(x,y)f(u,v)dudvyy12e(3 u 4v)dudv (1 e3x)(1 e4 y)y 0,x 0,0 00,0,(3)P0 X 1,0 Y 2P0 X1,0 Y21212e(3 x 4 y)dxdy(1e3)(1 e8)0.9499.005.设随机变量（X，Y）的概率密度为k(6 x y),0 x 2,2 y 4,f（x，y）=0,其他.（1）确定常数 k；（2）求 PX 1，Y 3；（3）求 PX；（4）求 PX+Y4.【解】（1）由性质有其他24f(x,y)dxdyk(6 x y)dydx 8k 1,021故R813（2）P X1,Y 3f(x,y)dydx131k(6xy)d ydx30288(3)P X1.5f(x,y)dxdy 如图 a f(x,y)dxdyx 1.5D11.5dx41(6 xy)dy27.02832f(x,y)dxdy 如图(4)P XY4bf(x,y)dxdyX Y 4D22dx4x12(6xy)dy.0283题 5 图6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，）上服从均匀分布，fY（y）=5e5 y,y0,0,其他.求：（1）X 与 Y 的联合分布密度；（2）PYX.题 6 图【解】（1）因 X 在（0，）上服从均匀分布，所以X的密度函数为1,0 x 0.2,fX(x)0.20,其他.而Y 的密度函数为fY(y)所以5 y5e,y0,0,其他.f(x,y)X,Y 独立 fX(x)gfY(y)15e5 y0.20,(2)P(Y25e,0 x0,其他.5 y且0.2y0,X)yxf(x,y)dxdy 如图x25e5y dxdyD0.20dx025e-5y0.20dy(5e5x5)dx=e-10.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=(1 e4 x)(1 e2 y),x 0,y0,0,其他.求（X，Y）的联合分布密度 .【解】f(x,y)2 F(x,y)x y8e(4 x 2 y),0,x0,y其他.0,8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=4.8y(2x),0 x0,1,0yx,其他.求边缘概率密度.【解】fX(x)xf(x,y)dy=4.8y(2 x)dy2.4x (2x),00,2x1,00,f(x,y)dx1其他.fY(y)=y4.8 y(2 x)dx2.4 y(3 4yy ),20y 1,0,0,其他.题 8 图题 9 图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=ey,0 x0,y,其他.求边缘概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dy=eydyxex,0,x0,0,fY(y)其他.f(x,y)dxy=edxyye ,y0,x00,0,其他.题 10 图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=cx2 y,x2y0,1,其他.（1）试确定常数 c；（2）求边缘概率密度 .【解】（1）f(x,y)dxdy 如图Df(x,y)dxdy=dx-1112 cx ydy24 c 1.得 c214x21.(2)fX(x)f(x,y)d y1212xydy2212x(1 x),41 x 1,x480,0,其他.fY(y)f(x,y)dx5y21x2 ydx7y 2,0 y1,y420,0,其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1,yx,0 x 1,0,其他.求条件概率密度fYX（y x），fXY（x y）.题 11 图【解】fX(x)f(x,y)dyxx1dy2x,0 x1,0,其他.11dx1y,1yy1fY(y)f(x,y)dx1dx1 y,0yy0,其他.所以1ff(x,y)Y|X(y|x)2x,|y|x 1,fX(x)0,其他.0,1,1110,y,yx 1,x 1,fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y)1,yy其他.X，最大12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为的号码为 Y.（1）求 X 与 Y 的联合概率分布；（2）X 与 Y 是否相互独立【解】（1）X 与 Y 的联合分布律如下表YX345P X xi 31021061031011C531102C5321011053C53201C302C35301C52110110P Y yi 1103101 gPY 3610(2)因 P X616110P X 1,Y 3,故 X 与 Y 不独立101010013.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX258（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（2）X 与 Y 是否相互独立【解】（1）X 和 Y 的边缘分布如下表XY258PY=yiP Xxi(2)因P X 2gPY 0.4故 X 与 Y 不独立.0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为1（ey/2,y 0,fY y）=20,其他.（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（2）设含有 a 的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 .1y1,0 x 1,【解】（1）因fX(x)f (y)e 2,y 1,Y20,其他;0,其他.故 f(x,y)X,Y独立 fX(x)gfY1ey/20 x1,y0,(y)20,其他.题 14 图(2)方程a22 Xa Y0有实根的条件是(2 X)24Y 0故X2 Y，从而方程有实根的概率为：P X2Yf(x,y)d xdyx2y1x21dxey/2dy00212(1)(0)0.1445.15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为1000,x 1000,f（x）=x20,其他.求 Z=X/Y的概率密度 .【解】如图,Z 的分布函数FZ()XzP ZzPYz(1)当 z0 时，FZ(z)0（2）当 0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（0p1），且中途下车与否相互独立，以车时有 n 个乘客的条件下，中途有率分布.【解】(1)PY(2)P XY 表示在中途下车的人数，求：（1）在发m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概m|Xn,YnmCnm pm(1 p)n m,0P XmCnmn,nnn0,1,2,L.n gPYmm|Xen!p(1 p)n mg,n m n,n 0,1,2,L.24.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X10.320.7，而 Y 的概率密度为f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】设 F（y）是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为G(u)P X Yu 0.3P XYu|X1 0.7P X Y u|X220.3P Yu 1|X 1由于 X 和 Y 独立，可见0.7 PYu2|XG(u)0.3PYu0.3F(u 1)由此，得 U 的概率密度为1 0.7 PY0.7F(u2).u 2g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u 2)0.3 f(u 1)25.25.设随机变量0.7 f(u2).X 与 Y 相互独立，且均服从区间 0,3 上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有1,0 x3,1,0y 3,f(x)30,x因为 X，Y 相互独立，所以f(y)0,x3;30,y0,y 3.1f(x,y),0 x 3,0y3,90,x 0,y0,x3,yPmax X,Y191.3.推得26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为XY101101a0b0.10c其中 a,b,c 为常数，且X 的数学期望 E(X)=,PY 0|X0=，记 Z=X+Y.求：（1）a,b,c 的值；（2）Z 的概率分布；（3）PX=Z.解(1)由概率分布的性质知，a+b+c+=1由 E(X)即a+b+c=.0.2，可得aP Y 0 X 0c0.1.再由P XP X0,Y 0ab00.10.50.5,ab得a b解以上关于a，b，c 的三个方程得0.3.a0.2,b 0.1,c 0.1.(2)Z 的可能取值为 2，1，0，1，2，P ZP Z1 P X2P X1,Y1,Y1 0.2，11,Y0 P X 0,Y0.1，1 0.3，P Z0 P X1,Y1P X 0,Y0P X1,Y0 P X0,YP Z1P X10.3，P Z2P X 1,Y10.1，即 Z 的概率分布为ZP(3)21012P XZP Y00.1 b0.2 0.10.10.20.4.习题四1.设随机变量X 的分布律为X11/801/211/821/4P求 E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)E(X)(1)1801211821412;(2)E(X2)(3)E(2 X1021 121 228283)2E(X)321342(1)215;4 42.已知 100个产品中有10 个次品，求任意取出的5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5 个产品中的次品数为X，则 X 的分布律为XP01230.07040.0075C9050.583C101 C9040.340C102C903C103C902C1005C104C190C10050C105C10050C1005故C1005C1005E(X)0.583 0 0.340 1 0.070 2 0.007 3 0 4 0 50.501,5D(X)i 0 xiE(X)2 Pi0.501)20.583(0(1 0.501)20.340 L (5 0.501)200.432.X3.设随机变量 X 的分布律为10p21p3Pp1且已知 E（X）=,E(X2123)=,求 P，P，P.【解】因 P1 P2P3又1,0gP2E(X)(1)P11gP3P3P10.1,E(X2)(1)2 gP1 02 gP212 gP3P1P30.9由联立解得 P1 0.4,P2 0.1,P3 0.5.4.袋中有 N 只球，其中的白球数球的概率是多少X 为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白【解】记 A=从袋中任取1 球为白球，则NP(A)全概率公式kP A|X0k gP XkNkNP Xk1NNk0kP Xkk 01NN5.设随机变量X 的概率密度为gE(X)n.x,0 x1,f（x）=2x,1x2,0,其他.求 E（X），D（X）.【解】E(X)xf(x)dx1x3311x dx2221x(2x)dx020 x2x3321.1E(X )x2f(x)dx10 x dx3x (2 x)dx2故D(X)E(X2)E(X)2.117666.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ4X.【解】(1)EU E(2 X3Y1)2E(X)3E(Y)12(2)EV EYZ5 311 144.4X EYZ 4E(X)因 Y,Z 独立 E(Y)gE(Z)4E(X)11845 68.D（2X3Y）.7.设随机变量 X，Y 相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求 E（3X2Y），【解】(1)E(3 X 2Y)(2)D(2 X 3Y)3E(X)2E(Y)322 D(X)(3)2 DY32 33.4129 16192.8.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=xk,00,x1,0yx,1其他.1x试确定常数 k，并求 E（XY）.【解】因f(x,y)dxdy10dxkdy0E(XY)2k1,故 k=2xyf(x,y)dxdy0 xdx2 ydy0.25.09.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=2x,0 x1,fY（y）=e(y 5),y5,其他.0,其他;0,求 E（XY）.【解】方法一：先求X 与 Y 的均值g21E(X)x 2xdx0,3E(Y)5ye(y 5)dy令 z y 55 e0zdz0zedz 5 1 6.z由 X 与 Y的独立性，得E(XY)E(X)gE(Y)264.3方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为f(x,y)fX(x)gfY(y)2xe(y5),0 x1,y0,其他,5,于是1E(XY)xy 2xeg(y 5)12dxdy2 x dxg(y 5)yedy500510.设随机变量 X，Y 的概率密度分别为fX（x）=2e2 x,x0,4e4 y,yfY（y）=0,x0;0,y求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.【解】(X)xfX(x)d x xe2 x 0e-2xdx0 xg2e2 xdx0e2 xdx1.02E(Y)yfY(y)dyyg4e4 ydy1.04E(Y2)22ygfY(y)dy0y4 y4edy42218.从而(1)E(XY)E(X)E(Y)113.244(2)E(2 X3Y2)2E(X)3E(Y2)2131528811.设随机变量 X 的概率密度为2 2x0,f（x）=cxe k x,0,x0.求（1）系数 c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由f(x)dxcxe k2 x2dxc21得c2k2.0g2k2k2 x2(2)E(X)xf(x)d(x)x 2k xedx022k2x22k0 x edx2k.(3)E(X2)x2 f(x)d(x)x2g2k2xe k2 x212.0k26 4.30,0.2221k22k4 4k2故D(X)E(X)E(X).12.袋中有 12个零件，其中9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求 E（X）和 D（X）.【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知X 的可能取值为 0，1，2，P X0290.750,P X1390.204,1P X1232912110.041,P X312 1132990.005.1012 1110于是，得到 X 的概率分布表如下：XP0123由此可得 E(X)00.750 10.2042 0.041 30.0050.301.E(X2)02750120.20422D(X)E(X2)E(X)20.041 320.0050.4130.413(0.301)20.322.13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为1xf（x）=4 e4,x0,x0.0,为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换工厂获利 100 元，而调换一台则损失【解】厂方出售一台设备净盈利.若售出一台设备，200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.Y 只有两个值：100 元和 200 元PY100 P X111ex/4dx4e 1/4PY200 P X11e 1/4.故 E(Y)100e 1/4(200)(1 e1/4)300e1/420033.64(元).2，i=1，2，n，14.设 X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有记E（Xi）=，D（Xi）=X1nXi,S2，S2=1n(Xi X)2.ni1n 1i 12（1）验证E(X)=，D(X)=；nnn X)；2（2）验证 S =21(n1Xii 12（3）验证 E（S2）=2.【证】(1)E(X)E1nXi1 E(nX)1nE(Xi)1 nuu.ni11n1ni 1ni 1nD(X)DniXi)Xi之间相互独1n立2 D(Xini 121n2gDXini 11nn2 gn2n.n2n2(2)因2n(Xii 1X)2(Xi2Xi 12 X Xi)Xi2nXi 12 X Xi2i 1nnnXinXi 122X gnXXi2nXi 1故S21(Xin1i 122nX ).2,故(3)因 E(Xi)u,D(Xi)E(Xi2)D(Xi)(EXi)22u2.222同理因 E(X)u,D(X),故E(X )nnu2.从而E(s )E1(n1in2nXi12nX )22n1 E(Xi)nE(X)n1i 1221 E(Xi)nE(X)n 1i 1221n(n 1u2)n2u22.n15.对随机变量X 和 Y，已知 D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.【解】Cov(3 X2Y1,X4Y3)3D(X)10Cov(X,Y)3210(1)838D(Y)28(因常数与任一随机变量独立，故16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).1,x2y21,f（x，y）=其他.0,X 和 Y 不是相互独立的 .试验证 X 和 Y 是不相关的，但【解】设 D(x,y)|x2y21.E(X)xf(x,y)dxdy2 11xdxdy22x0.y 1=1r cosrdr dg 00同理 E(Y)=0.而Cov(X,Y)x E(x)g yE(Y)f(x,y)dxdy1xydxdy212 1r2sin cos rdr d 0,xy 12 001 x2由此得XY 0,故 X 与 Y 不相关.1下面讨论独立性，当|x|1 时，fX(x)11 x22dy2 1 x .2当|y|1 时，1 y1fY(y)211 ydx2 1 y.2显然 fX(x)gfY(y)f(x,y).故 X 和 Y 不是相互独立的 .17.设随机变量（X，Y）的分布律为XY101011/81/81/8X，Y 及 XY的分1/81/81/801/8X 和 Y 不是相互独立的.11/8验证 X 和 Y是不相关的，但布律，其分布律如下表【解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得XP101381280381YP381280381XYP284828由期望定义易得 E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而 E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知 XY=0,即 X 与 Y 的相关系数为0，从而 X 和 Y 是不相关的 .又 P X1 gPY1338818P X1,Y1从而 X 与 Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），.【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为1XY2题 18 图f(x,y)2,(x,y)D,0,其他.E(X)xf(x,y)dxdy1 x01dxxg2dy1D03E(X )2x f(x,y)dxdyD210dx1 x02x dy216从而D(X)E(X2)E(X)212同理 E(Y)16,D(Y)1.18131.183而E(XY)xyf(x,y)dxdyDD2xydxdy10dx1 x02xydy1.12所以Cov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)1112 3131.36从而XYCov(X,Y)D(X)g D(Y)1361181211819.设（X，Y）的概率密度为1 sin(x y),0 x,0 y2,f（x，y）=20,2其他.求协方差 Cov（X，Y）和相关系数 XY.【解】/2 E(X)xf(x,y)dxdydx/202xgsin(xy)dy.1402E(X2)2 dx2x2gsin(x0021y)dy2.822从而D(X)E(X2)E(X)2 2.162同理E(Y)4,D(Y)/2222.16dx又E(XY)/20 xy sin(x y)dxdy221,0故 Cov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)212 4422 8 44.Cov(X,Y)XY442(4)8 32 16D(X)g D(Y)222 8 322.161 1，试求 Z11 42的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而D(Z1)D(X2Y)D(Z2)D(2 X Y)Cov(Z1,Z2)Cov(XD(X)4D(Y)4D(X)D(Y)2Y,2 XY)4Cov(X,Y)1 44 4 113,4Cov(X,Y)4 144 14,2Cov(X,X)4Cov(Y,X)Cov(X,Y)2D(X)5Cov(X,Y)2D(Y)2Cov(Y,Y)2 15124 5.故Cov(Z1,Z2)Z1 Z2513D(Z1)g D(Z2)452613.21.对于两个随机变量V，W，若 E（V2），E（W2）存在，证明：E（VW）2E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz）不等式.【证】令 g(t)显然E VtW 2,t R.0g(t)E(VtW)2 EV22tVWt2W2 EV2 2tgEVW t2 gEW2,t R.0，可见此关于 t 的二次式非负，故其判别式即 02 E(VW)24E(W2)gE(V2)4 E(VW)2E(V2)gE(W2).故 E(VW)2E(V2)gE(W2).22.假设一设备开机后无故障工作的时间工作的时间 Y 的分布函数 F（y）.X 服从参数=1/5 的指数分布 .设备定时开机，出现2 小时便关机 .试求该设备每次开机无故障故障时自动关机，而在无故障的情况下工作【解】设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间XE(),E(X)=5.1依题意 Y=min(X,2).对于 y0,f(y)=PYy=0.对于 y2,F(y)=P(X y)=1.对于 0y2,当 x0 时，在(0,x)内无故障的概率分布为PXx=1e ,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PX y=1ey/5.x