陕西省石泉县高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法(一)教案 北师大版选修2-2.pdf

3 3 反证法（一反证法（一)结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思课标要求考过程、特点。（1 1）知知识识与与技技能能：结合已学过的数学实例，了解间接证明的方法 反证法；了解反证法的思考过程、特点三维目标（2 2）过过程程与与方方法法：能够运用反证法证明数学问题（3 3）情情感感态态度度与与价价值值观观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理,论证有据的习惯前面我们学习了两种直接证明问题的方法综合法和分析法以前的学情分析学习中,学生已经接触过用反证法证明数学命题，本节课 进一步熟悉运用反证法证明某些直接证明较难解决的数学问题。【教教学学重重点点】:了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。教学重难点【教教学学难难点点】：运用反证法证明数学问题。提炼的课题教学手段运用探析归纳,讲练结合教学资源选择教教学学过过程程环节反证法的思考过程、特点。学生要解决的问题或任务例 1、已知a是整数，2 能整除教师教与学生学复习：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因,常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果,往往枝节横生,不容易奏效。2设计意图反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后，从这个假设出发，经过正确的推理,导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种）与穷举反证法(结1a2，求证:2 能整除a。证明：假设命题的结论不成立,即“2 不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则222a (2m1)4m 4m1 2(2m 2m)1，即a是奇数.2就表达过程而论,分析法叙述烦琐,文辞冗长；综合法所以，2 不能整除a.这与已知“2 能整除a”相矛盾。于是，“2 不能整除a”这个假设错误,故 2 能整除a.例 2、在同 一 平面内，两条 直 线22形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。因此,在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.小小结结:反证法 的证 题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾;（3)否定假设，肯定结论。应用关键：在正确的推理下论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为:（1）反设;(2）归谬；（3）结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在；平行于/不平行于;垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有 n 个/至多有（n 一a,b都和直 线c垂直.求证:a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则PMQ 00。这 样MPQ的 内 角 和至多有一个/至少有两个;得出矛盾（与已知条件矛盾，1)个；或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等).方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明为无源之水，无本之木。推理必唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成须严谨。导出的矛盾有如下几种一个命题的逆否命题的正确，PMQMPQPQM类型：与已知条件矛盾；与已知从而肯定原命题真实.PMQ 9009001800这与定理“三角形的内角和等于的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。1800”相矛盾，这说明假设是错误的.所以直线a与b不相交，即a与b平行。2