根的判别式与韦达定理习题精选.pdf
根的判别式根的判别式【例 1】当m取什么值时，关于x的方程x 2(2m 1)x (2m 2)0。（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。22333；（2）m ；（3）m 4442【例 2】求证：无论m取何值，方程9x (m 7)x m 3 0都有两个不相等的实根。答案：（1）m 分析：列出的代数式，证其恒大于零。解略。【例 3】当m为什么值时，关于x的方程(m 4)x 2(m 1)x 1 0有实根。分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m 40 和m 40两种情形讨论。略解：当m 40 即m 2时，2(m1)0，方程为一元一次方程，总有实根；当m 40 即m 2时，方程有根的条件是：22(m 1)4(m 4)8m 200，解得m222222252当m一、填空题：55且m 2时，方程有实根。综上所述：当m时，方程有实根。22习题（一）2221、下列方程x 1 0；x x 0；x x 1 0；x x 0中，无实根的方程是。2、已知关于x的方程x mx 2 0有两个相等的实数根，那么m的值是。3、如果二次三项式3x 4x 2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围是。4、在一元二次方程x bx c 0中(b c)，若系数b、c可在 1、2、3、4、5 中取值，则其中有实数解的方程的个数是。225、已知关于 x 的方程 2x-(4k+1)x+2k=1 有两个不相等实根,则 k 的取值范围是_.26、关于 x 的方程(k-2)x-(2k-1)x+k=0 有两个不相等实根,则 k 的取值范围是_.227、已知方程 kx-2kx+k=x-x+3 有两个不相等实根,则 k 的取值范围是_.28、关于 x 的方程 2x(kx-4)-x+6=0 无实根,则 k 的最小整数值是_.二、选择题：9、下列方程中，无实数根的是（）A、x 1 1 x 0B、2y 6 7C、x 1 2 0D、x23x 2 0y10、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实根，则m的取值范围是（）2222223333B、mC、m 且m2D、m且m24444211、在方程ax bx c 0（a0）中，若a与c异号，则方程（）A、m A、有两个不等实根B、有两个相等实根C、没有实根D、无法确定三、试证：关于x的方程mx(m 2)x 1必有实根。习题（一）答案一、填空题：1、；2、222；3、k2；4、103k 5、9111k 且k 2k 且k 186、4127、8、2 二、选择题：9、C10、C11、A 三：分两种情况讨论：（1）当m 0时，x所以方程必有实根。1；（2）当m 0时，m2 4 02根与系数的关系根与系数的关系例 1:已知 2x2-3x-1=0 的根是 x1,x2求|x1-x2|的值.31解:x1 x2,x1,x2 2222|x1 x2|(x1 x2)2x122x1x2 x2x12 2x1x2 x24x1x2(x1 x2)2 4x1x291 4()4291717 2 442例 2.已知关于 x 的一元二次方程.12x2 2(m)x m2 2 0的两个根是x1,x2,且x12 x1x2 x212求m的值21解:x1 x2 2(m)2m1,x1 x2 m2 222212,x12 2x1x2 x23x1x212x12 x1x2 x2(x1 x2)23x1x212(2m 1)23(m2 2)12 04m 4m 13m 612 0m2 4m 5 0,m1 5,m2 1221但当m 5时,x2 2(m)x m2 2 0222是 x-9x+23=0 此时=(-9)-423=81-92=-110方程无实根m=-12答:当m 1时,x12 x1x2 x212例 3:已知一元二次方程 x2-2kx-5+2k=0 的两根是 x1,x2且|x1 x2|4 2求 k 的值.解:由韦达定理得:x1+x2=2k,x1x2=2k-5|x1 x2|4 2,(x1 x2)2 4 2两边平方得:(x1-x2)2=3222x1 2 x1x2 x2 3222x1 2 x1x2 x2 4 x1x2 32(x1 x2)2 4 x1x2 32 0(2 k)2 4(2 k 5)32 04 k2 8 k 20 32 04 k2 8 k 12 0k2 2 k 3 0 k1 3,k2 1经检验 k1=3 和 k2=-1 都适合题意.例 4:已知 m 是正实数,关于 x 的方程 2x-mx-30=0 的两根是 x1,x2,且 5x1+3x2=0，求 m 的值.解:由根与系数间的关系可得x1 x22mx1 x2 15 由已知条件 5x1+3x2=0 2335mx1 m(m)(m)15x1 x2444解:组成的方程组将方程组的解代入得2解得:1525m 155x13x2 0 x2m164m2 16m=4 或 m=-4m 是正实数m=4例 5、已知关于x的方程x2 2(m 2)x m25 0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大 16，求m的值。x1 x2 2(m 2)2由解得：m 1或x1x2 m 522x1 x2 x1x216 4(m 2)2 4(m25)094m 15舍去，故m 1例 6、已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2 4(m 1)x m2 0的两个非零实数根，问：x1与x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。11略解：由 32m160 得m。x1 x2 m1，x1x2m2024x1与x2可能同号，分两种情况讨论：m 15，又由可知mx1 x2 01（1）若x10，x20，则，解得m1 且m0m且m02x1x2 0 x1 x2 01（2）若x10，x20，则，解得m1 与m相矛盾2x1x2 01综上所述：当m且m0 时，方程的两根同号。2例 7、已知x1、x2是一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的两个实数根。3（1）是否存在实数k，使(2x1 x2)(x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不2存在，请说明理由。xx（2）求使12 2的值为整数的实数k的整数值。x2x1k 1略解：（1）由k0 和0k0 x1 x21，x1x24kk 939(2x1 x2)(x1 2x2)2(x1 x2)29x1x2 k，但k0 不4k25存在。x1x2(x1 x2)244 2（2），要使的值为整数，而k为整4x2x1k 1k 1x1x2数，k 1只能取1、2、4，又k0存在整数k的值为2、3、5例 8、x1、x2是方程2x23x 5 0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：x1 3x23x222略解：原式(x1 x2)(2x23x2)7222115124411例 9.求一个一元二次方程,使它的两根分别是:3,2.3211解:记住公式：以 x1x2为根的一元二次方程是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0,以3,2为根的322方程是：6x+5x-25=0例 10、关于x的方程2x2 kx 4 10的一个根是2，则方程的另一根是；k。5分析：设另一根为x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。答案：，12练习（二）：一、填空题：1、已知方程x23x m 0的一个根是 1，则它的另一个根是，m的值是。22、已知x1、x2是方程x23x 1 0的两根，则4x112x211的值为。3、已知 2x2-(2m+1)x+m+1=0 的两根之比是 2:3,则 m=_.4、已知方程3x2-2x-1=0的两根是x1,x2,则x2x1112x12 x2=_;x1x2=_;x1x2=_;|x1 x2|=_.5、已知 8x2-(m-1)x+m-7=0 的两根异号,且正根的绝对值大,则 m 的取值范围是_.若它的两根互为相反数,则 m=_.若 m 互为倒数,则 m=_.6、以 3 和-7 为根的方程是_.二、选择题：22b7、已知ab0，方程ax bx c 0的系数满足 ac，则方程的两根之比为（）2A、01B、11C、12D、238、菱形ABCD 的边长是 5，两条对角线交于O 点，且AO、BO 的长分别是关于x的方程：x2(2m 1)x m23 0的根，则m的值为（）A、3B、5C、5 或3D、5 或 3三、解答题：9、已知关于x的方程x23x a 0的两个实 数根的倒 数和等于3，关于x的方程k 1(k 1)x23x 2a 0有实根，且k为正整数，求代数式的值。k 210、已知关于x的方程x2 2(m 1)x m23 0（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且(x1 x2)2(x1 x2)12 0，求m的值。（2）在（1）的条件下，若m2，求y1 y2的值。11 2x1x22211、已知 x1,x2是方程 x-2(2m+1)x+3m-4=0 的根,且.求 m 的值.2已知方程 2x+mx-2m+1=0 的两个根的平方和是 7.25。求 m 的值.已知方程 x2+(2k+1)x+k2-2=0 的两实根的平方和是 11.求 k 的值.练习（二）答案：一、填空题：1、2，2；2、43；34 题略。5、1m76、略二、选择题：7、B8、A 三、9、k10、（1）m 221，k-1/k-2=0，2；（2）m 1、11.-1 或 5/312.3(-11 舍去)13.1(-3 舍去)
