江门市2020年高考模拟考试2020年江门一模理科数学.pdf

.江门市 2020 年高考模拟考试数学理科一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.i 是虚数单位，复数z满足z(34i)1i，那么 z 的共轭复数z在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.假设函数f(x)是幂函数，且满足A.3B.f(4)13，那么f 的值为f(2)2C.3D.13133.直线l1:(m4)x4y 10和l2:(m4)x(m1)y 1 0，假设l1 l2，那么实数m的值为A.1 或3B.11或32C.2 或6D.12或234.“割圆术是 X 徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的根底.X 徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072 边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5 和 3.141 6 这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最准确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9，那么通过通过该实验计算出来的圆周率近似值为参考数据：A.3.141 932.09460.8269B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 3-优选.5.命题p:xR R,x2 x10；命题q:xR R,sin xcos x 2，那么以下判断正确的选项是A.p是假命题C.pq是假命题B.q是假命题D.(p)q是真命题6.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，那么小满日影长为A.1.5 尺B.2.5 尺C.3.5 尺D.4.5 尺7.以下四个命题：在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；假设变量x,y满足关系y 0.1x1，且变量y与z正相关，那么x与z也正相关；在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；以模型y cekx去拟合一组数据时，为了求 出回归方 程，设z ln y，将其变换后 得到线性方 程z 0.3x4，那么c e4,k 0.3.其中真命题的个数为A.1 个nB.2 个C.3 个D.4 个1 8.二项式2x(nN N)的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2:5，那么x3x的系数为A.14B.14C.240D.2409.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停顿取球，那么恰好取5 次球时停顿取球的概率为-优选.A.581B.1481C.2281D.258110.某校一间办公室有四位教师甲、乙、丙、丁.在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料.假设下面 4 个说法都是正确的：甲不在查资料，也不在写教案；乙不在打印材料，也不在查资料；丙不在批改作业，也不在打印材料；丁不在写教案，也不在查资料此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料根据以上信息可以判断A甲在打印材料C.丙在写教案B乙在批改作业D丁在打印材料yQx2y211.设F1,F2为双曲线C:221(a 0,b 0)的左、右ab焦点，右支上的点，假设QF2 2PFP,Q分别为双曲线左、1且PF1PF20，那么双曲线的离心率为A.PF1OF2x153B.173C.52D.7212.四棱锥PABCD，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，ABP=6，APD=BPC，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是A.线段B.圆的一局部ABDCC.椭圆的一局部D.抛物线的一局部二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.-优选.x1 0y13.假设x,y满足约束条件x y 0，那么的最大值为_.xx y 4 014.计算22(sin x4x2)dx_.2215.假设圆C:x y 2x2y 70关于直线axby 4 0对称，由点P(a,b)向圆C作切线，切点为A，那么线段PA的长度的最小值为_.16.函数y|sin x|的图象与直线y m(x2)(m 0)恰有四个公共点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，其中x1 x2 x3 x4，那么2 x4_.tan x4三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.一必考题：共 60 分.17.本小题总分值 12 分在ABC中，边a,b,c所对的边分别是A,B,C，a c，ABC的面积为2 2，2sin(AB)sinC sin A，b=3.3(1)求sin B的值；(2)求边a,c的值.18.本小题总分值 12 分P如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，AC CD 5.DBA-C优选.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.19.本小题总分值 12 分动点P到直线l:x 2的距离比到定点F(1,0)的距离多 1.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)假设A为(1)中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.20.本小题总分值 12 分函数f(x)exsinxax.(1)假设f(x)在0,上单调递增，XX 数a的取值范围；43，均有f(x)0.4(2)当a 1时，求证：对于任意的x0,21.本小题总分值 12 分频率2019 年 7 月 1 日到 3 日，世界新能源汽车大会在 XX 博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业0.009组距的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 100 辆汽车进展了单次最大续航里程理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电0.004池所能够提供应车行驶的最远里程的测试.现对测试数据进展分析，得到如图的频率分布直0.00100.002方图.180 230 280 330 380 430单次最大续航里程/千米-优选.(1)估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值x同一组中的数据用该组区间的中点值代表；(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布N(,2)，经计算得第(1)问中样本标准差s的近似值为 50.用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250千米到 400 千米之间的概率；(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，假设遥控车最终停在“胜利大本营，那么可获得购车优惠券.硬币出现正、反面的概率都是1，方格图上标有第 0 格、第21 格、第 2 格第 50 格.遥控车开场在第 0 格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，假设掷出正面，遥控车向前移动一格从k到k+1，假设掷出反面，遥控车向前移动两格从k到k+2，直到遥控车移到第49 格胜利大本营或第50 格失败大本营时，游戏完毕.设遥控车移到第n格的概率为Pn，试证明PnPn1(1 n 49,nN)是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购置该款新能源汽车.2参考数据：假设随机变量服从N(,)，那么P()0.682 7，P(22)0.9545，P(33)0.997 3.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第-优选.一题计分.22.选修 44：坐标系与参数方程本小题总分值 10 分在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极 坐 标 方 程 为sin2 acos(a 0)，过 点P(2,4)的 直 线l的 参 数 方 程 为2x 22t2t为参数，直线l与曲线C相交于A,B两点.y 42t(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)假设|PA|PB|AB|2，求a的值.23.选修 45：不等式选讲本小题总分值 10 分函数f(x)|xa|x1a|(a 0).(1)当a=2 时，求不等式f(x)3的解集；(2)假设mR，且m 0，证明：f(m)f 1 m4.-选优.-选优.-江门市 2020 年高考模拟考试数学理科参考答案一、选择题1A2D3C4A5D6C7C8C9B10A11B12B12.【解析】AD平面PAB，BC平面PAB，AD/BC且ADPA，CBPB，APD=CPBtanAPD tanCPBPCDBAADCBPB=2PAPAPB在平面PAB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，那么A(3,0)，B(3,0)，设P(x,y),y 0，那么(x3)2 y2 4(x3)2 y2(y 0)，即(x5)2 y216(y 0).P的轨迹为为圆的一局部，应选 B.二、填空题13314215316116.【解析】直线y m(x2)(m 0)与函数y|sin x|的图像恰有四个公共点，如图3当x,时，函 数y|sin x|sin x，2321y cosx，依题意切点坐标为D(x4,y4)，又切点处的导数值y1ABC1234D就是直5线6xy m(x2)(m 0)斜率m，即m=cosx4，-.word.zl-.-sin x4(x42)cosx4，tan x4 x42，那么三、解答题17.12 分(1)由sin(A B)sinC x421.tan x42sinA,C(A B)得32sin AcosBcosAsin Bsin(A B)sin A，32即2sinAcosB sin A.3 分310 A，sin A 0,cosB.30 B ，sin B 2 2.6 分3(2)由余弦定理b2a2c22accosBa2c2又SABC22ac，得a2c2ac 98 分331acsinB 2 2，ac 6.10 分2由解得a 3a 2，或，c 2c 3a c，a 3,c 2.12 分如果没有排除一解，那么扣 1 分18.12 分(1)证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，ABAD，AB 平面ABCD，AB平面PAD2 分ABPD.又PAPD，PAAB=A，且PA,AB 平面PAB，PD平面PAB4 分(2)取AD的中点O，连接PO，CO6 分ADOy-.word.zl-BzPxC.-PAPD，所以POAD，PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO.AC=CD，COAD如图，建立空间直角坐标系Oxyz，由题意得，A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，PB (1,1,1),PD(0,1,1),PC(2,0,1),CD (2,1,0).8 分 y z 0nPD 0设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z)，那么，即.10 分2x z 0nPC 0令z=2，那么x=1，y=2，所以n(1,2,2).设直线PB与平面PCD所成的角为，sin|cos n,PB|nPB|n|PB|3.3即直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为19.12 分(1)方法一：3.12 分3设点P(x,y)，那么|x2|1(x1)2 y2.1 分当x 2时，x1(x1)2 y2，即(x1)2(x1)2 y2(x 1)，整理得y2 4x.3 分当x 2时，x3(x1)2 y2，即(x3)2(x1)2 y2(x 3)，整理2得y 8x8，由8x8 0知x 1，矛盾，舍去.4 分2所求轨迹方程为y4x.5 分方法二：设点P(x,y)，因为动点P到直线l:x 2的距离比到定点F(1,0)的距离多，所以-.word.zl-.-动点P在直线l:x 2的右侧.1 分故动点 P 的到直线m:x 1的距离等于到定点F(1,0)的距离，2 分又因为点F(1,0)不在直线m:x 1上，3 分所以动点P的轨迹是以直线m:x 1为准线，点F(1,0)为焦点的抛物线.4 分所以动点 P 的轨迹方程为y24x.5 分(2)方法一：设AB:x ty m,A(x1,y1),B(x2,y2)，那么C(2,y1).由O、C、B三点共线知x2y12y20，即(ty2m)y12y2 0.所以ty1y2my12y20.8 分x ty my1 y2 4t2由2得y 4ty 4m 0，所以10 分y y 4m12y 4x由得4tmmy12(4t y1)0，即4t(2m)(m2)y1 0，此表达式对任意t恒成立.m=2.即直线AB过定点，定点坐标为(2,0)12 分方法二：设A lCyA,y0，那么C(2,y0)，所以42y0y0y xy02，直线OC:y x，联立2y2 4x16y02OFxB整理得B,8，所以kABy083y04y032y04y0，那么直线AB的方程242y016y064y0824y0y0为y y04y0(x x0).2y08-.word.zl-.-根据题意，假设直线AB过定点，那么定点必在x轴上，故令y=0，解得x=2，即定点坐标为(2,0).综上，直线AB过定点(2,0).20.12 分(1)f(x)2exsinxa.因为函数f(x)在0,4上单调递增，所以f(x)在4x0,x2e sin x a0,恒大于零.即在44令g(x)2exsinx上恒成立.4x，那么g(x)min a，又g(x)2e cos x，g(x)0时在4上单调递增，所以g(x)min g(0)1,a 1.40,0,上恒成立，即在g(x)4故a的取值范围是(,1.(2)f(x)2exsinxxxa.令g(x)2e sinx，g(x)2e cosx.44当x0,x 0,时，在g(x)0g(x)2上单调递增，有2g(x)g(x)min g(0)1，因为a 1，有f(x)g(x)a 0，f(x)单调递增.有f(x)f(x)min f(0)0成立.当x33,时，g(x)0，g(x)在x,上单调递减，有24243g(x)g(x)min g 0.4假设a 0，此时f(x)g(x)a 0，f(x)单调递增，f(x)0显然成立.假设a(0,1，此时记f(x0)0，那么f(x)在3,x0上递增，在x0,上42-.word.zl-.-2432433递减.此时有f f(0)0.f ea e.242442构造t(x)332x2xe x，e 1，那么t(x)令t(x)0，解得x ln2，故t(x)222,)上单调递增，所以在(,ln2)上单调递减，在(ln2432lnee242323所以f 0，此时满足f(x)0.ln2 1ln2 0，43，均有f(x)0.4综上所述，当a 1时，对于任意的x0,21.12 分(1)x (2050.002 2550.0043050.0093550.004 4050.001)50 3002 分(2)依题意有XN(300,502)，P(250 X 400)0.95450.95450.682 7 0.8186.24 分(3)遥控车在第 0 格为必然事件，P0=1.假设第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为11，即P.5 分122遥控车移到第n2 n 49格是以下两种且只有这两种互斥情况：1Pn2；21遥控车先移到第n1格，又掷出正面，其概率为Pn1.2111PnPn1Pn2，即Pn Pn1 Pn1 Pn2,2 n 49.22211当1 n 49时，数列Pn Pn1是首项为P，公比为的等比数列.8 分 P 1022遥控车先移到第n2格，又掷出反面，其概率为1111P 1,P P ,P P ,P P.12132nn12222以上各式相加，得23nn1211111Pn1 1,n 0,1,2,4932222223n-.word.zl-.-21获胜的概率P491325021 1325010 分4949112111失败的概率P50P481 122323221P49 P50132或：成功概率P4950111324911 13248 01111P47P48，失败概率P50P48，P49P50P47，且22220 P471，有P49 P50获胜的概率大，此方案能吸引顾客购置该款新能源汽车.12 分22.10 分(1)曲线C的极坐标方程sin2 acos(a 0)表示的曲线经过极点，所以可化为2sin2 acos(a 0)1 分x cos,y sin，曲线C的直角坐标方程为y2 ax(a 0)3 分x 2直线l的参数方程为y 42t2t为参数，消去参数t得y x2.5 分2t2(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2 ax(a 0)中，得t22(a 8)t 4(a 8)0.6 分设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，那么t1t22(a 8),t1t2 4(a 8)7 分22|PA|PB|AB|，t1t2(t1t2)，222所以(t1t2)(t1t2)4t1t2 5t1t2，即 2(a 8)20(a 8)8 分解得a 2或a 8不合题意，舍去a的值为 2 10 分-.word.zl-.-23.10 分(1)当a=2 时，f(x)|x2|x1，原不等式等价于2112 x x x 222或或2 分111 x2 x3x2 x3x2 x3222解得x 111或x或x 4 分44111,5 分44所以不等式的解集为,(2)f(m)f 1111 1|ma|m a 6 分ammam1|ma|am111 m ama7 分111119 分(ma)a m 2 mamamm1 1 2|m|22|m|410 分mm-.word.zl-