空间向量及空间角练习题.pdf
.-课时作业课时作业(二十二十)学业水平层次一、选择题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为 150，则l1与l2所成的角为()A30B150C30或 150D以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且0，异面直线所成角的 X 围为.应选 A.2【答案】A2已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()522522A.B6666522522C.D2222【解析】AB(2，2，1)，CD(2，3，3)，522cosAB，CD，66322|AB|CD|522直线AB、CD所成角的余弦值为.66-可修编.ABCD5.-【答案】A3正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30B45C60D90【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PAAB1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是AD(0,1,0)取PD中点为E，0，1，1则E，220，1，1AE，22易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，2cosAD，AE，2平面PAB与平面PCD的夹角为 45.【答案】B4(2014XX 师大附中高二检测)如图 3229，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1A1B E的余弦值为()-可修编.-图 32293333ABC.D.3232【解析】设AD1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E(1,1,0)，A1B(0,2，2)，设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则A1Em0，A1Bm0，xy0，yx，所以所以取x1，则y2y2z0，yz，z1，所以平面A1BE的一个法向量为m(1,1,1)，又DA平面A1B1B，所以DA(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以 cos m，3DA，又二面角B1A1B E为锐二面角，所33|m|DA|3以二面角B1A1B E的余弦值为，故选 C.3【答案】C二、填空题5棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、mDA1BB1的中点，则异面直线AM与所成角的余弦值是_-可修编.-【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，1，1，11，1，1M，C(0,1,0)，N，220，1，11，0，1AM，22cosAM，125222，552故异面直线AM与所成角的余弦值为.52【答案】56(2014XX 高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)、B(2,1，6)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_【解析】设平面xOz的法向量为n(0，t,0)(t0)，AB(1,3，3t6)，所以 cosn，AB，因为n，AB4|t|n|AB|0，所以 sinn，AB3t7214.4|t|nAB-可修编.-7【答案】47已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)1，1，10，1，2所以A(1,0,0)，E，F，330，1，11，0，1所以AE，EF，33n2AE0，则n2EF0，即1xz0.31yz0，3取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)n1n2311所以 cosn1，n2.|n1|n2|11所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos-可修编.-311222，sin，所以 tan.111132【答案】3三、解答题8.如图 3230所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CACBCDBD2，ABAD2.图 323 0(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值【解】(1)证明：连结OC，由题意知BODO，ABAD，AOBD.又BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO3，又AC2，AO2CO2AC2，AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，-可修编.-则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，3，0)，A(0,0,1)，13E，0，22BA(1,0,1)，CD(1，3，0)，2cosBA，CD.4|BA|CD|2异面直线AB与CD所成角的余弦值为.49四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PD2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，BACDPDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)AC(a，a,0)，DP(0,0，h)，DB(a，a,0)，ACDP0，ACDB0，-可修编.-ACDP，ACDB，又DPDBD，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)当PD2AB且E为PB的中点时，P(0,0，2a)，112Ea，a，a，222aa设ACBDO，O，0，连结22OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角，1122EAa，a，a，EO0，0，a，22222cosAEO，2|EA|EO|AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小为 45.能力提升层次1已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，EAEOE是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A60B90C45D以上都不对-可修编.-【解析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以A1E(0,1，1)，D1E(1,1，1)，EA(0，1，1)设平面A1ED1的一个法向量为n(x，y，z)，nA1E0，则nD1E0yz0，xyz0.令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，cosn，EA1.22|n|EA|所以n，EA180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为 90.【答案】B2在空间中，已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，nEA2a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为 45，则a_.【解析】平面xOy的法向量为n(0,0,1)，设平面的法向3x4y0，量为u(x，y，z)，则3xaz0，aa，1即 3x4yaz，取z1，则u.34-可修编.-而 cosn，u1a2a291162，212又a0，a.512【答案】53.三棱柱ABC A1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图 323155A.B.53253C.D.55【解析】不妨设CACC12CB2，则AB1(2,2,1)，C1B(0，2,1)，所以 cosAB1，C1B|AB1|C1B|202295115.5AB1C1B因为直线BC1与直线AB1夹角为锐角，所以所求角的余弦值为-可修编.-5.5【答案】A4.如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点图 3232(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B(2,0，4)，C1D(1，1，4).因为 cosA1B，C1D|A1B|C1D|A1BC1D310，10201818310所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.10(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为AD(1,1,0)，-可修编.-AC1(0,2,4)，所以n1AD0，n1AC10，即xy0 且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.n1n222由|cos|，|n|n|291315得 sin.35因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.3-可修编.
