有限元分析理论基础.pdf
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的 节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其 导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理 或加权余量法，将微分方程离散求解。釆用不同的权函数和插值函数形 式，便构成不同的有限元方法。4 4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为 加权余量法。(Weighted residual method WRM)Weighted residual method WRM)是一种直接从所 需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。设问题的控制微分方程为：在 V V 域内在 S S 边界上式中：L L、B B分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f f、g g 为与未知函数 u u 无关的己知函数域值；u u为问题待求的未知函数厶()-八0(“)-&=0(5.1.1)(5.1.2)当弄!J用力u权余肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H一般兵升如下形式:仁 土CN=NCTM式中：c-彳寺定系数.也可称为广义坐标；(5.1.3)N：-取白完备函冬攵*S 线.性无关的基函孕攵由于 一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂 因u匕将式(5 1.3)代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃不誉斯兄，昔迅:|R=L(flb f在V域内在S边界上(B=B(gR14)城然&、尽反映了 r 式函竽攵与实解之问的偏差.它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。若在域内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数WB则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀WB1RBdS=0 V S(/=L2.L,)(51-5)不同的权函数幵；和jrR反映了不同的消除余眩的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组一经解得待定 系数.由式(5.1.3)即可得所需求解边值问题的进似解 由于试函数的不同 余址A和RB可冇如下三种T/r况.依”匕加权余竝法可分为：1.内部法试函数满尺边界条件，也即=B-g=此时消除氽呈的条件成为:1；%尺=0 72丄E)(5.16)2.边界法试函数满足控制r方程.也即R砂CO此时消除氽址的条件为:“詁/二(心L2LJI)3.混合法 s(5.1.7)试函数不测兄控制方程和边界条件.此时用式(5 1.5)来消除氽显、限元分析理论基础有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单 元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地 适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的 单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求 解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方 程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两 方面。非线性问题与线弹性问题的区别：1 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2 2）非线性问题不能采用叠加原理；3 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。有限元求解非线性问题可分为以下三类：1 1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时 应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从 理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力 与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可 用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实 际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。2 2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究 这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位 移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移 小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。3 3）非线性边界问题在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界 相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的 节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其 导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理 或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形 式，便构成不同的有限元方法。1 1加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为 加权余量法。(Weighted residual method WRM)Weighted residual method WRM)是一种直接从所 需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法O加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。设问题的控制微分方程为：在 V V 域内L(u)-f=O(5.1.1)(5.1.2)在 S S 边界上Bg-g=0式中：L L、B B分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f f、9 9 为与未知函数 U U 无关的己知函数域值；U U为问题待求的未知函数当牙!J用力口权余试法求近T以解日寸，甘先在求解喊上理立一个壬式函数 一般兵冇如帀形式:z?o=VCNt=AV(53)式中：G-钳定系数.她可称为广义坐标；N、-J队白完备函数共的线J生无关白勺基函数二由于R一 般只足彳寺求函掬;u的近似解.因D匕将式(5.1.3)代入式(5.1 1)芽口式(5.1 2)后将得不至U满足.若 2:、Ri=L(M_.f在V域内在S边界上RB=B(ft-g显然耳、為反映了试函数与為卖稱之川1白勺偏差，它T门分另州尔做内占卩才口边界余Tib,若在域內引入内部权函数 为，在边界S上引入边界权函数WB则可建立11个消除氽量的条件，一般可农示为：|r,r+|rs)Azs=o(/=L2,L,)p*ser不同的权函数；和%反映了不同的消除余-址的准贝!J。从上 式可以得到求解诗定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，由式(5.1 3)即可得所需求稱边值问題的近似解 由于试函数的不同.余壁&和 凫 可方如下三种侨况，依此加权余崔法可分为：1.内部法试函数满兄边界条件.她即&7衢甘Q此时消除余壁的条件成为：I：麻卩=02.边界法Q=1、2.L)(5.1.6)试函数满足控制方程，电卯 只=乂$7-/=0此时消除金量的条件为：曲阳洽=0(/=1.2XJi)(S-i-7)3.混合法试函数不濒叉控制方程和边界条件.此时用式(5.1.5)来消除余蚤混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构 分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)(1)试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数有幕 级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等 等。(2)(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数 低一阶的导数连续性。(3)(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具 有对称性，应充分利用它。显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的 不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最 小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。下而以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余蚤的五种基本 方法。对内部法来说，消除余蚤的统一格式是：0%亦=01.子域法(Siibdoinnin Method)(/=1,2.L屮)此法首先M各求解域丫划分成n个子域%,衣宓个子域内令权函数 等于1.而在子域之外取权函数为零，也艮P:卩(豐)”|0代外)如果在各个子域里分别选取试函数.那么它的求禅在形式上将类似于冇P艮元法O2.配点法(Collocation Method)子域法是令余呈在一个子域上的总和为冬。而配点法是使余豪在扌旨定的n个点上等于寺，这些点称为配点。0匕法的杈函数为：Wh=&P_P)ooo篦羽诚(犹拉克)函数，它的定义为:P、Pj分别代表求稱域内任一点和色己点。由于此法只在配点上偌证余量为零，因此不需耍作积分计算，所以是最简单的加权余蚤法3.最小二乘法(Least Square Method)本法立旌立无丫更在涎个求解域上余-处的平方和取极力、来建立消除余 量的条件。若记余泌平方和为1(C),即2(C)=f砖如=IRR,dV则极值条件为：2厂(箸)巳沙=由此可见，本法权函数为：昭=淫 0=L21,)4.伽辽金法Method)本法是使余涅与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数Wh=N(/=1,2,LJI)当式函数 田包含注个完备函数集时，用本法必可衣得耕确解5.矩法（Method of Moment）本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。但本法的权函数与伽辽金法又冇区别，它与f式函数夭关。消除余昼的条件是从岑开始的各阶夕巨为冬.因此对一维问题，W=兀N U=l,2,L.n）对二维丿诃题叫=“八o=12L卫）其余类推这五种基本方，去在待定系数尺够多（牙尔做高阶近似）时，其榜 皮彼此相近。但对低阶近似（口较刀寸忻况下.后三科的精皮 要高于前两种。基本方法芈例为说明上述基本棋念.以图所示等截面悬皆梁.淡満跨均布荷载作用，求悬臂端B的竖向位移心为例，说明基本方法的应用。图示采的扌空制方程为:怙=。其边界条件为：(x=0)若取试函 数为：c(x5+lx4-14/2.V3+26l3x2)(*)(x=0不难验证其萌足边界条件，也叩=0o而控制方程的内部余苛R?为:A;=E/C(120.V+24/)-7因此本问题屈内郃法。下而步别用基本方法进行求解。子域法解由于f式函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（芳于全域）即 可.消除余昼的条件为：呼(12O.Y+24/)-必二0由此可解得：qS4EI1代回（巧式可得:二W42 7忆点法解同上所述.只需选一个配点来建立消除余呈的条件若令:R】可得：=0G=Q11457/R峻用丄5752若令：iL=贝呵c-q、144512应）（恂方归助可见不同的色己点结果是不一样的。最小二乘法解此时消除余量的条件为:r為簧扛二EIc i,120%+24/I-Y YOperate Calc Geom ItemsOperate Calc Geom Items）;7.;7.模型中不应存在的缝 隙;8 8壳单元的法向;9 9节点坐标系;10.10.集中、体积载荷面力方向;1111 温度 场的分布和范围；1212 热膨胀分析的参考温度。
