高中二年级数学椭圆专题详细解析.pdf
.专业.专注.朗培教育椭圆专题解析朗培教育椭圆专题解析1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.当PF1 PF2 2a F1F2时,P的轨迹为椭圆;当PF1 PF2 2a F1F2时,P的轨迹不存在;当PF1 PF2 2a F1F2时,P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0 e 1)的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性离心率x2y21(a b 0)a2b2y2x221(a b 0)2aba2 b2 c2(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)2c|x|a,|y|b(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)|y|a,|x|b(0,a),(0,a),(b,0),(b,0)关于 x 轴、y 轴和原点对称e a2x cc(0,1)aa2y c准线考点考点 1 1椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程题型题型 1:1:椭圆定义的运用椭圆定义的运用.word 完美格式.专业.专注.例 1 (湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是A4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能yPD解析按小球的运行路径分三种情况:(1)AC A,此时小球经过的路程为2(ac);(2)A B D B A,此时小球经过的路程为2(a+c);(3)A P B Q A此时小球经过的路程为4a,故选 D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为5，离心率e A.3CAOBxQ2的椭圆两焦点为 F1，F2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF2的周长为3（）B.6C.12D.24解析C.长半轴 a=3，ABF2的周长为 4a=12x2y22.已知P为椭圆1上的一点，M,N分别为圆(x3)2 y21和圆(x3)2 y2 4上的点，则2516PM PN的最小值为（）A 5B 7C 13D 15|PC|PD|10，PM PN的最小值为 10-1-2=7解析B.两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点，题型题型 2 2 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 24，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来.word 完美格式.专业.专注.x2y2x2y2解析设椭圆的方程为221或221(a b 0)，abbab c则a c 4(2 1)，a2 b2 c2x2y2x2y21或1.解之得：a 4 2，b=c4.则所求的椭圆的方程为32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系警示易漏焦点在 y 轴上的情况【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2 表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.x2y22解析(0,1).椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则2，即k0，0k0（*）2kmm21x1x22，x1x22k2k2.word 完美格式.专业.专注.x1x22x2AP3PBx13x22x1x23x22kmm21消去x2，得 3（x1x2）24x1x20，3（2）2420k2k2整理得 4k2m22m2k220m21122m222时，上式不成立；m时，k2，444m122m2112因3 k0 k20，1m或m2m22 成立，所以（*）成立11即所求m的取值范围为（1，）（，1）22【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】14.设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP（）2PA，且OQ AB 1，则P点的轨迹方程是323x 3y21x 0,y 0B.x23y21x 0,y 022323222C.3x y 1x 0,y 0D.3x y 1x 0,y 022A.解析33AB (x,3y),OQ(x,y)x23y21，选 A.222。一曲线 E 过点C，动点P在曲线E上运动，且保持215.如图，在 RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=|PA|+|PB|的值不变，直线l经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）设直线l的斜率为 k，若MBN为钝角，求k的取值范围。.word 完美格式.专业.专注.解：（1）以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则 A（1，0），B（1，0）由题设可得|PA|PB|CA|CB|2223 222()2 2 22222x2y2动点 P 的轨迹方程为221(a b 0)，ab则a 2,c 1.b a2c21x2 y21曲线 E 方程为2（2）直线 MN 的方程为y k(x 1),设M(x1,y1),设M(x1,y1,),N(x2,y2)y k(x 1)2222由2得(1 2k)x 4k x 2(k 1)02x 2y 2 0 8k28 0方程有两个不等的实数根4k22(k21)x1 x2,x1 x2222 2k1 2kBM (x11,y1),BN (x21,y2)BM BN (x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x11)(x11)(1 k2)x1x2(k21)(x1 x2)1 k22(k21)4k27k2122(1 k)(k 1)()1 k2221 2k1 2k1 2k2MBN 是钝角777k21BM BN 0即 k 0解得：又 M、B、N 三点不共线k 02771 2k综上所述，k 的取值范围是(77,0)(0,)77基础巩固训练基础巩固训练.word 完美格式.专业.专注.1.如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线AB1与 BF 交于 D,且BDB1 90,则椭圆的离心率为()A35 1D225 1bb22解析 B.()1 a c ac e 2ac3 1B25 1C2x222.设F1、F2为椭圆+y=1 的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为 1 时，PF1PF2的值为4A、0B、1C、2D、3解析 A.SF1PF23|yP|1，P 的纵坐标为32 63,)，PF1PF20，从而 P 的坐标为(333x2y23.椭圆1的一条弦被A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是369Ax2y 0B2x y 10 0C2x y 2 0Dx2y8 02x1y12x2y2y y21,1,两式相减得：x1 x24(y1 y2)10，解析 D.369369x1 x2y y21 x1 x2 8,y1 y2 4，1x1 x2234.在ABC中，A 90，tanB 若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率4e 1AB解析AB 4k,AC 3k,BC 5k,e AC BC25.已知F1,F2为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若PF1F2:PF2F1:F1PF21:2:3,则此椭圆的离心率为22_.解析3 1三角形三边的比是1:3:2 a2x2y2,0作圆6.在平面直角坐标系中，椭圆221(a b 0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点abc的两切线互相垂直，则离心率e=2a22a e 解析2c综合提高训练综合提高训练7、已知椭圆e x2a2y2b21(a b 0)与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率3求椭圆方程2 解析解析 直线直线l l的方程为的方程为：y 1x 12.word 完美格式.专业.专注.由已知由已知a2b23 a2 4b2a2x2y2211a2b由由得得：(b2a2)x2 a2x a2 a2b204y 1x 12 a4(4b2 a2)(a2 a2b2)0，即即a2 4 4b212y2x2故椭圆故椭圆E E方程为方程为1122由由得得：a2 2，b28.2x2y2已知A、B分别是椭圆221的左右两个焦点，O为坐标原点，点P(1,）在椭圆上，线段PB与y轴的2ab交点M为线段PB的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求解析（1）点M是线段PB的中点OM是PAB的中位线又OM ABPA ABsin Asin B的值。sinCc 111221a2b222a b c解得a2 2,b21,c21x2 y2=1椭圆的标准方程为2（2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a2 2，AB2c2在ABC 中，由正弦定理，CABBCACABsin Asin BsinC.word 完美格式.专业.专注.sin Asin BBC AC2 22AB2sinC9.已知长方形 ABCD,AB=22,BC=1.以 AB 的中点O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系xoy.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;()过点 P(0,2)的直线l交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线l,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.AO图 8yDCBx解析()由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为2,0,2,0,2,1.x2y2设椭圆的标准方程是221a b 0.ab则2a AC BC2 2 10222 21022 4 2 2a 2b2 a2c2 4 2 2.x2y2椭圆的标准方程是1.42()由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为y kx 2k 0.设 M,N 两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2.y kx 2联立方程:22x 2y 4消去y整理得,1 2k8kx 4 08k4,x x 有x1 x2 121 2k21 2k2若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则OM ON,所以x1x2 y1y2 0,所以,x1x2kx1 2kx2 2 0,即1 k2x22x x12 2kx1 x2 4 0.word 完美格式.专业.专注.41 k216k28 4k22 0,4 0所以,即得k 2,k 2.2221 2k1 2k1 2k所以直线l的方程为y 2x 2,或y 2x 2.所以存在过 P(0,2)的直线l:y 2x 2使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.x2y2参考例题：1、从椭圆221(a b 0)上一点P向x轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点F1,A为椭圆的右顶ab点，B是椭圆的上顶点,且AB OP(0).、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是x 2 5，求椭圆方程.解析、AB OP，ABOP，PF1OBOA,PF1FO1cbc，PF1BOOAaa2c2PF1b222222又P(c,y)221 PF12，b c,而a b ca 2c e.2abaa2 2 5 a2 2 5c,、x 2 5为准线方程，ca2 2 5c2x2y2a 101由b c所求椭圆方程为2105b 5a2b2c22、设F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若F1PF2关3，证明：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有PF221|PF2|2a(PF1|PF2|)4a解析由，得222222|PF|PF|FF|2|PF|PF|cos1212121|PF2|4c|PF1|PF2|PF33|PF1|PF2|4(a2c2)4b2，|PF1|PF2|4232b SF1PF2b，命题得证33.word 完美格式.
