第一讲-数列极限(数学分析).pdf
第一讲第一讲 数列极限数列极限一、上、下确界1、定义：1）设S R，若M R:xS,x M，则称 M 是数集 S 的一个上界，这时称 S 上有界；若LR:xS,x L，则称 L 是数集 S 的一个下界，这时称S 下有界；当S 既有上界又有下界时就称 S 为有界数集。2）设S R，若M R:xS,x M，且 0,xS:x M，则称 M 是数集 S的上确界，记M supS；若LR:xS,x L，且 0,xS:x L，则称 L是数集 S 的下确界，记L inf S。2、性质：1）（确界原理）设S R，S ，若 S 有上界，则S 有上确界；若S 有下界，则S 有下确界。2）当 S 无上界时，记supS ；当 S 无下界时，记inf S 。3）sup(AB)maxsup A,sup B;inf(AB)mininf A,inf B。4）supS inf(S);inf S sup(S)。5）sup(A B)sup AsupB;inf(A B)inf Ainf B。6）sup(A B)sup Ainf B。（武大 93）7）设f(x),g(x)是 D 上的有界函数，则inf f(D)inf g(D)inf f(x)g(x)sup f(D)inf g(D)xD supf(x)g(x)sup f(D)supg(D)xD3、应用研究1）设xn为一个正无穷大数列，E 为xn的一切项组成的数集，试证必存在自然数 p，使得xp inf E。（武大 94）二、数列极限1、定义：1）liman a 0,N N():n N,|ana|，称an为收敛数列；n2）liman M 0,N:n N,an M，称an为数列；n3）liman M 0,N:n N,an M，称an为数列；n4）liman M 0,N:n N,|an|M，称an为数列；n5）liman 0，称an为无穷小数列；n2、性质1）唯一性：若liman a,lim anb a b。nn2）有界性：若an为收敛数列，则an为有界数列。3）保号性：liman a 0 N,n N,an 0.n4）保不等式性：若liman a,lim bnb,anbn(n N0)a b.nn5）迫敛性：若an cnbn(n N0),lim an limbn c limcn c.nnn6）四则运算：若liman a,lim bnb,则nnlim(anbn)ab;lim(anbn)ab;limnnbnb(a 0)。naanxn xn1存 在，则yn yn17）Stolz 定 理：设yn为 严 格 增 的数 列，若limnlimxnx xn1 limn。ynnyn yn1n证明：aa2,b1b2an,bk 0,k 1,2,bna1a2b1b2an maxSn。（用归bn（1）Sn1,纳法证明）,n，则minSnacaacc,b 0,d 0 a(bd)b(ac),(ac)d (bd)c，bdbbddminSn1 min Snan1a1bn1b1anan1a1bnbn1b1anan1；bnbn1maxSn1 maxSnan1a1bn1b1anan1a1bnbn1b1anan1。bnbn1（2）设limn又xn xn1x xx x r 0,k,n k:|nn1r|，由（1）得|nkr|，yn yn1yn yn12yn yk2xnx rykyx xxx rykx xr k(1k)(nkr)，所以|nr|k|nkr|，又因为ynynynyn ykynynyn yklimxkrykx rykx 0 N k,n N:|k|，从而|nr|(n N)nynyn2yn3、极限存在条件：1）（Cauchy 收敛准则）an收敛的充要条件是 0,N:n,m N|anam|；an supan；若2）（单调有界收敛原理）若an单调增上有界，则an收敛，且limnnan单调减下有界，则an收敛，且limaninf an；nn3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列。sup(amak)04）an收敛的充要条件是limnm.kn4、子列：n1 n2,an称为an的子列：k1）an收敛的充要条件是an的任何子列都收敛；2）liman存在 lima2n,lim a2n1都存在，且lima2n lima2n1；nnnnnan A 0,满足an A至多有限项，满足an A有无穷多项，称 A3）limn为an的上极限；liman B 0,满足an B 至多有限项，满足an A有无nan liman。穷多项，称 B 为an的下极限；liman存在 limnnnan limsup xk;liman limsup xk；（1）limnnnknnknan limbn,liman limbn；（2）an bn(n n0)limnnnnan lim(an)；（3）limnn（4）nlimanlimbn lim(anbn)limanlimbnnnnn lim(anbn)limanlimbnnnn三、应用研究1、设an1证：令121lnn，证明liman存在。nn11bn12n1nlnn,n12n1nn1dxn1dxdx1 ln(1),nn1nxnnan1 an,bn1 bn，从而liman2ccxn、c3,0),x1,xn1,n 1,2,222，证明limxn存在并求其值。n2|c|c|2cxnc|c|c2x1 0。|c|,xn1 0，证明：显然xn，若xn 0，则|xn|,xn242222121222x2k1 x2k1(x2 x),x x(x2k1 x2k2k22k22kk1)x2k1 x2k1,x2k2 x2k2222cx2cx2nx2n1,x2nn1,n 1,2,由limx2k1 a,limx2kb，kk2222，从而cb2ca2得a,b，2222从而ab(b2a2),(ab)(ab2)0，ca2若ab2 0，由b，得a22a4c 0，则c 3，总之有a b 1，即2212lim xn 1.n3、yn1 yn(2 yn),0 y01，求证：lim（武大 00）yn1。n证 明：f(x)x(2 x)1(0 x 1)，y0 y1 y0(2 y0)1，若y0 yn1，则n1 yn1 yn y0，从 而lim yn(a)存 在，在yn1 yn(2 yn)取 极 限，得a a(2a),0 y0 a 1，所以a 1。4、设a1 3,a2 3,a3 3434433,，如果数列an收敛，计算其极限，并证明数列an收敛于上述极限。（武大 99）证明：由an1 311111),a2n2a2n 4()，可归纳证，a2n1a2n1 4(ana2na2n2a2n1a2n1nnnn3 an 5,a2n1 a2n1,a2n2 a2n,从而lima2n,lim a2n1都存在，得：令lima2n a,lim a2n1b，由a2n1 311,a2n2 3a2na2n1，取极限得11aba 3,b 3,3 a,b 5,ab a b，所以数列an收敛，且liman 4nbaab5、设数列an有一子列an收敛，且ana2n及ana2n1都有无穷个元，而kkka2n及a2n1都为单调数列，问an上否收敛为什么（武大 98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：2）由 1）知a2n及a2n1都收敛，又因为lima2n liman lima2n1，故an收敛。nknk6、设an 0，且an证明数列an中存在一子序列an是收敛的子序列。（武，k大 97）7、设an a(n )，令an maxan,0,a maxa,0，证明an a(n )。（武大96）8、设an无上界，证明存在子序列an，使得an(k )。（武大 95）kk9、设a 0,x12a,xn12 xn,n 1,2,证明极限lim（北大 02）xn存在并求极限.n证明：易知2 xn 2a，当x1 a时，xn单调增；当x1 a时，xn单调减，从而 极 限limxn存 在，令limxn x，在xn12 xn两 边 取 极 限 得nnx2 2 x x 2 x 1，再由2 xn 2a得limxn 2。na2n10、求极限lim.（北大 01）n1a2na2na2na2n12n2(a)0lim 0lim解：当a 1时，0，；当时，；a 12n2n2nnn1a1a1a22a2n1 lim1。当a 1时，limn1a2nn112na21 f(a)n11、设f(x)在点a右导，f(a)0，求极限lim.（北大 01）nf(a)n解：n1an,(a 0).（北大 98）12、limn13、证明：11n（1）（用bn1 an(n1)bna,b a 0）(1)为递减数列：n（2）111 ln(1),n 1,2（华东师大 00）n1nn14、设R中数列an，bn满足an1 bn qan,n 1,2,其中0 q 1,证明：（1）若bn有界，则an有界；（2）若bn收敛，则an收敛。（清华 01）：（1）n1证明设|bn|M,|a1|M，从由于而an1bnqanbnqbn1q2an1k0(q)kbnk(q)na1|an1|k0qkM qnM n1，1M。1q（2）设limbnb，|an1nbn1|k0(q)kbnk(q)na1k0(q)kb|1q|k0(q)k(bnkb)(q)n(a1b)|kn1(q)kb|k0(q)(bnkb)|km1(q)(bnkkkmn1n1qnb)(q)(a1b)|b|1qn|knm(q)nnkqmqn(bkb)|2M|b|1q1q15、（1）用语言证明：lim11。x1x（2）设函数f在点a可导，且f(a)0。求：1f(a)n。limnf(a)n（3）求极限1p 2p nplim，其中p 0。（清华 00）nn1 pn(e1)n（清华 99）16、求极限limn1n17、设limaa12a2nannn a，证明limnn2a2。（上海交大 04）证明 由 Stolz 公式lima12a2nan1)an1nn2 lim(nn(n1)2n2a2。18、设x(1 xn)n133 x,(x1 0为已知)求limxn.（南京大学 00）nn19、求limsin2n(n2n)。（浙大 01）20、试证：单调数列xn收敛到a的充要条件是存在子列xnk收敛到a。00）（武汉所
