二次函数知识点总结及典型例题.pdf
.-二次函数知识点总结及典型例题二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么 y 叫做 x 的二次函数二次函数。2y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x 抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：一般式：y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)2b对称的曲线，这条曲线叫抛物线抛物线。2a（2）顶点式：顶点式：y a(x h)k(a,h,k是常数，a 0)2（3）当抛物线y ax bx c与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax2bx c 02有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax bx c a(x x1)(x x2)，二次函数y ax bx c可转化为两根式两根式y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这22样表示。三、抛物线三、抛物线y ax bx c中，中，a,b,c的作用的作用2（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.2（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线2bb，故：b 0时，对称轴为y轴所在直线；0（即a、b同号）时，2aab对称轴在y轴左侧；0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.ax （3）c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.2.可修编.-当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0，c）：2c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则四、二次函数的性质四、二次函数的性质1、二次函数的性质二次函数函数b 0.ay ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)a0yy0 xa0图像0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；性质b，顶点坐标是2a4ac b2b（，）；4a2ab（3）在对称轴的左侧，即当 x2a（2）对称轴是 x=时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=y 有最小值，b，顶点坐标是2a4ac b2b（，）；4a2ab（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x的增大而减小，简记左增右减；b2ay最小值b时，2a4ac b24a.可修编.-（4）抛物线有最高点，当 x=y 有最大值，y最大值b时，2a4ac b24a五、二次函数与一元二次方程的关系五、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。因此一元二次方程中的 b24ac，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。补充：补充：函数平移规律：函数平移规律：左加右减、上加下减左加右减、上加下减六、二次函数的最值六、二次函数的最值如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当4ac b2b。x 时，y最值4a2a如果自变量的取值围是x1 x x2，那么，首先要看b是否在自变量取值围2a4ac b2bx1 x x2，若在此围，则当 x=时，y最值；4a2a若不在此围，则需要考虑函数在x1 x x2围的增减性，2如果在此围，y 随 x 的增大而增大，则当x x2时，y最大 ax2 bx2 c，当x x1时，y最小 ax12 bx1 c；2如果在此围，y 随 x 的增大而减小，则当x x1时，y最大 ax1 bx1 c，当x x2时，2y最小 ax2 bx2 c。.可修编.-典型例题典型例题2x11x31.1.已知函数y，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则k 的值为（）2x51x3A0B12C2D32.2.如图为抛物线y ax bx c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）Aab=1Bab=1Cb2aDac03.3.二次函数y ax bx c的图象如图所示，则反比例函数y 同一坐标系中的大致图象是（）.2a与一次函数y bx c在x4.4.如图，已知二次函数y x bx c的图象经过点（1，0），（1，2），当y随x的增大而增大时，x的取值围是2y1y x2 bx c-1O1x（1,-2）25.5.在平面直角坐标系中，将抛物线y x 2x3绕着它与y轴的交点旋转 180，所得抛物线的解析式是（）Ay (x1)2By (x1)422.可修编.-Cy (x1)2Dy (x1)46.6.已知二次函数y ax bx c的图像如图，其对称轴x 1，给出下列 结果222b24acabc 02ab 0abc 0abc 0，则正确的结论是（）ABCD7抛物线y ax bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：2xy2014061624从上表可知，下列说法中正确的是（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；函数y ax bxc的最大值为 6；2抛物线的对称轴是x 1；在对称轴左侧，y随x增大而增大28.8.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（2，4），过点A作ABy轴，垂足为B，连结OA(1)求OAB的面积；(2)若抛物线y x22xc经过点A求c的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的部（不包括OAB 的边界），求m的取值围（直接写出答案即可）.可修编.-1239 9已知二次函数y=x+x的图像如图42（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由.可修编.-10.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是O的切线，ADCD于点D，tanCAD1，抛物线2y ax2bxc过A，B，C三点.（1）求证：CADCAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.可修编.-11.11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B(-1，2)，D(3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得PA=PC若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值。yNBMCEA图ODx.可修编.-1212如图，抛物线y=12x+bx2 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一 1，0）2求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值.可修编.-13.13.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为 1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C.（1）当n1 时，如果a=1，试求b的值；（2）当n2 时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为 1 的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，试求出当n=3 时a的值；直接写出a关于n的关系式.yyCDy=1.1 厘MNBOCBCxOAFEACOxABx图 1图 2图 3.可修编
