（浙江专版）2019年高考数学一轮复习 专题4.4 三角函数图象与性质（讲）.doc

1第第 0404 节节 三角函数图象与性质三角函数图象与性质【考纲解读考纲解读】考 点考纲内容5 年统计分析预测三角函数的图象和性质理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2013 浙江文 3；2015 浙江文 11，理11； 2016 浙江文 3，理 5；2017 浙江 18；2018 浙江 5.1.1.“五点法”作图；2,.三角函数的性质；3.往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.4.4.备考重点：备考重点：(1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象；(2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单知识清单】1 1正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）正弦函数sinyx,余弦函数cosyx,正切函数tanyx的图象与性质性质sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkkZ值域1,11,1R最值当22xkkZ 时，max1y；当22xkkZ 时，当2xkkZ时，max1y；当2xkkZ时，min1y 既无最大值，也无最小值2min1y 周期性22奇偶性sinsinxx ,奇函数coscosxx偶函数tantanxx 奇函数单调性在2,222kkkZ上是增函数；在32,222kkkZ上是减函数在2,2kkkZ上是增函数；在2,2kkkZ上是减函数在,22kkkZ上是增函数对称性对称中心,0kkZ对称轴2xkkZ ，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kkZ对称轴xkkZ，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kkZ无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.（2） （五点法） ，先列表，令30, ,222x，求出对应的五个x的值和五个y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到sinyAxh在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数sinyAxh的图像.2 2三角函数的定义域与值域三角函数的定义域与值域（1）定义域：sinyx,cosyx的定义域为R,tanyx的定义域为,2x xkkZ.（2）值域：sinyx,cosyx的值域为1,1,tanyx的值域为R.3（3）最值：sinyx：当22xkkZ 时，max1y；当22xkkZ 时，min1y cosyx：当2xkkZ时，max1y；当2xkkZ时，min1y tanyx：既无最大值，也无最小值3.3.三角函数的单调性三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间：xysin的递增区间是 2222kk，)(Zk ，递减区间是 23222kk，)(Zk ；xycos的递增区间是kk22，)(Zk ，递减区间是kk22，)(Zk ，xytan的递增区间是 22kk，)(Zk ，（2）复合函数的单调性设 yf u， ,ug xxa b um n都是单调函数，则 yfg x在, a b上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数， “里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表 yf u ug x yfg x增增增增减减减增减减减增4 4 . .三角函数的对称性三角函数的对称性（1）对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0) kkZ；cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)kkZ；4tanyx对称中心为,02kkZ.（2）对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin)yAx（的图象有无穷多条对称轴，可由方程2xkkZ解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由xkkZ，解得kxkZ ，即其对称中心为,0kkZ （3）相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距离也为 ,函数的对称轴一定经过图象的最高点或T 2T 2最低点5.5.三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意x，如果有()fx=( )f x，则函数是偶函数，如果有()fx=-( )f x，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2）奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）( )f x为偶函数( )(|)f xfx（4）若奇函数( )f x的定义域包含0，则(0)0f（5）sinyx为奇函数，cosyx为偶函数，tanyx为奇函数.6.6.三角函数的周期性三角函数的周期性（1）周期函数的定义一般地，对于函数( )f x，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都有()( )f xTf x ，那么函数( )f x就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期（2）最小正周期：对于一个周期函数( )f x，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做( )f x的最小正周期 （3）sinyx,cosyx周期为2,tanyx周期为.【重点难点突破重点难点突破】 考点 1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质5【1-1】 【2018 年全国卷理】函数在的零点个数为_【答案】【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数.详解：，由题可知，或，解得,或，故有 3 个零点.【1-2】 【2017 课标 3，理 6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线 x=8 3对称Cf(x+)的一个零点为 x=6Df(x)在(2,)单调递减【答案】D【解析】【领悟技法】用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为sinyAxh0,0A或cosyAxh0,0A的形式；求出周期2T ；求出振幅A；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点【触类旁通】6【变式一】 【2018 届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考】函数 f（x）=Asin（x+）（A0，0，| ）的图象如图，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得 ，再根据最大值求 .详解：因为，所以因为，所以因为|因此，选 B.【变式二】 【江西省赣州市 2018 年 5 月高考适应性考试】若函数在区间上有两个零点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C7考点考点 2 2 三角函数的定义域与值域三角函数的定义域与值域【 2-1】函数1 2lg(2sin1)ycosxx的定义域是_【答案】522,.36xkxkkZ【解析】(1)由题意得1 20, 210,cosx sinx ，即1,2 1,2cosxsinx ，分别由三角函数线得522,33 522,66kxkkxk ，522,.36kxkkZ【2-2】 【2018 年北京卷文】已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为 ，求的最小值.【答案】 （）.（）.【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.详解：（），8所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为 ，即在上的最大值为 1.所以，即.所以的最小值为.【领悟技法】1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用 sin x和 cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(3)把 sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用 sin x±cos x和 sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【触类旁通】【变式一】函数2cos1yx的定义域是（ ）A. 2,233kkkZB. 22,233kkkZC. 2,266kkkZD. 222,233kkkZ【答案】D【解析】由2cos1x0 得1cos2x,222233kxk ，kZ.故选 D.【变式二】 【2017 新课标 2】函数（）的最大值是_【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则 ，由可得，当时，函数取得最大值 19考点考点 3 3 三角函数的单调性三角函数的单调性【3-1】 【2018 届福建省漳州市 5 月测试】已知函数（，） ，满足，且对任意，都有当 取最小值时，函数的单调递减区间为（ ）A. ，Z B. ，ZC. ，Z D. ，Z【答案】A【解析】分析：由，可得关于对称，对任意，可得时，取得最小值，即可求解解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数的单调递减区间.那么，函数，当时，取得最小值，即函数，10令，得，所以，函数的单调递减区间为：，,故选 A.点睛：的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；若,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.【3-2】已知函数sin(0)3yx的最小正周期为2 3，则该函数的单调增区间为( )A. 272,31836kkkZB. 252,318318kkkZC. 252,312312kkkZD. 22,3336kkkZ【答案】B【解析】由于函数sin(0)3yx的最小正周期为22 3 ，3，令232232kxk，求得252 318318kkx，可得函数的增区间为252,318318kkkZ，故选 B.【领悟技法】1. 求形如sinyAx或cosyAx (其中 A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体” ；A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sinyx (xR)，cosyx (xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)2. 如何确定函数sin()(0)yAxA当0时函数的单调性对于函数sin()yAx求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提11出来，转化为sin()yAx 的形式，然后求其单调递增区间，应把x放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数sin()yAx (或cos()yAx，或tan()yAx)的单调区间的步骤：(1)将化为正(2)将x看成一个整体，由三角函数的单调性求解4特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“kZ”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域【触类旁通】【变式一】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，解得：，所以，令，解得，故单调递减区间为，故选 D【变式二】 【2018 届河南省南阳市第一中学第十五次考试】已知函数，若，则上具有单调性，那么 的取值共有（ ）A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个【答案】D12考点考点 4 4 三角函数的对称性三角函数的对称性【4-1】 【2018 年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则 的值是_【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以【4-2】若函数（）的图象关于点对称，则_【答案】【解析】根据题意可得 又，故 .【领悟技法】先化成sin)yAxB（的形式再求解其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By 的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入13的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心【触类旁通】【变式一】下列坐标所表示的点不是函数tan()26xy的图象的对称中心的是 （ ）A03， B503， C203， D403，【答案】C【解析】tanyx的对称中心为,02k，所以tan()26xy的对称中心可以表示为2623xkxk，经检验 C 选项不满足条件，故选 C【变式二】 【2018 届新疆乌鲁木齐地区 5 月训练】函数图像的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：逆用两角和余弦公式公式进行化简，结合三角函数的对称性建立方程进行求解即可详解：y=cosxsinx=（cosxsinx）=cos（x+ ） ，由 x+ =k，得 x= +k，kZ，即函数的对称轴为 x= +k，kZ，当 k=0 时，对称轴为 x= ，故选：D考点考点 5 5 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性【5-1】函数 是 （ ）A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数【答案】B【解析】为偶函数本题选择 B 选项.14【5-2】 【2018 届辽宁省丹东市测试（二） 】设，若，则函数A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】分析：由可得，将其代入化简得到，所以函数为偶函数【领悟技法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()fx；最后比较()fx和( )f x的关系，如果有()fx=( )f x，则函数是偶函数，如果有()fx=-( )f x，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()fx的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()fx的奇偶性，常见的结论如下：15(1)若sin()yAx为偶函数，则有()2kkZ;若为奇函数则有()kkZ；(2)若cos()yAx为偶函数，则有()kkZ;若为奇函数则有()2kkZ；(3)若tan()yAx为奇函数则有()kkZ.【触类旁通】下列四个函数中，既是0,2上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）A. tanyx B. sinyx C. cosyx D. cosyx【答案】B【解析】以为周期的函数有tanyx、 sinyx 、 cosyx，是偶函数的有sinyx 、 cosyx，在0,2上是增函数的只有sinyx，应选答案 B考点考点 6 6 三角函数的周期性三角函数的周期性【6-1】 【2018 年全国卷文】函数的最小正周期为A. B. C. D. 【答案】C【6-2】 【2017 天津，文理】设函数( )2sin()f xx，xR，其中0，| .若5()28f，()08f，且( )f x的最小正周期大于2，则16（A）2 3，12（B）2 3，12 （C）1 3，24 （D）1 3，24【答案】A 【领悟技法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x取定义域内的每一个值时，都有()( )f xTf x.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：( )sin()f xAx和( )cos()f xAx的最小正周期都是2 |T ，( )tan()f xAx的周期为T .要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如xyxysin,sin2的周期都是, 但sinyxcosx的周期为2，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626yxyx，| tan|yx的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()yAxh或cos()yAxh的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T ，正切函数的最小正周期公式是T ；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.【触类旁通】17【变式一】 【2017 课标 II，文 3】函数( )sin(2)3f xx 的最小正周期为（ ）A.4 B.2 C. D. 2 【答案】C【变式二】设函数( )sin()f xAx（, ,A 是常数，0,0A）.若( )f x在区间,6 2 上具有单调性，且2()()()236fff ，则( )f x的最小正周期为 .【答案】【易错试题常警惕易错试题常警惕】易错典例：求函数tan23yx的单调递减区间.易错分析：解答本题易直接由：2232kxk，得出错误结论，原因是忽略复合函数的单调性,再一点易忽略kZ这个条件.正确解析：把函数tan23yx变为tan 23yx ,18由2,232kxkkZ，得52,66kxkkZ，即5,212212kkxkZ,故函数tan23yx的单调减区间为5,212212kkkZ.温馨提醒：(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解答此类问题关键是将三角函数变形为sin()yAx处理(2)在解答本题时，存在两个典型错误一是忽略复合函数的单调性，直接由：2232kxk，得出错误结论；二是易忽略对字母k的限止,在解答此类问题时，一定要注意对字母k的限止.【学科素养提升之思想方法篇学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休.“数“与“形“反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】 【2018 届浙江省杭州市第二中学 6 月热身】已知函数的部分图像如图.（）求函数的解析式.19（）求函数在区间上的最值，并求出相应的 值.【答案】(1).(2) 时，时，.【解析】分析：（）从图像可以得到，故，再利用得出 的大小.（）利用（）中的结论，可先计算当时的取值范围，再利用的性质求在相应范围上的最值.详解：（1）由图像可知，又，故.周期，又，.（2），.当时，.当时，.所以，.