二次函数专题复习解析.pdf
二次函数专题复习二次函数专题复习专题一：二次函数概念、图象与性质专题一：二次函数概念、图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点考点 1.1.二次函数概念二次函数概念1.已知二次函数 y=(m+1)xm23m22，则 m=_,抛物线解析式为_.考点考点 2.2.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数图象的对称轴和顶点坐标1.抛物线y 2x 3的开口，对称轴方程是，顶点坐标为。2.抛物线y y 2x x 4x x 3的顶点坐标是_(1，5)_,对称轴为_。3.抛物成 y=2(x1)(x+3)的对称轴是_.4.对于抛物线 y=x+222131016x，下列说法正确的是（）33A.开口向下，顶点坐标为（5，3）B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）考点考点 3.3.二次函数的平移二次函数的平移1.把抛物线y x向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，则平移后抛物线解析式（）A.y (x1)3 B.y (x1)3 C.y (x1)3 D.y (x1)32.把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式为y=x3x5，则()A.b=3,c=7 B.b=6,c=3 C.b=9,c=5 D.b=9,c=213.把抛物线y x+2x-3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的顶点坐标为。考点考点 4.4.二次函数的增减性与最值二次函数的增减性与最值1.已知二次函数y 22222222212x 2x，当 x_时，y 随 x 的增大而增大.22.已知函数y x 2xc的部分图象如上图所示,则 c=_,当 x_时,y随x的增大而减小.3.已知二次函数y A1,2,x22ax3（a为常数）图像上的三点：3,3xy，Bxy，Cxy，其 中，x121=a3，o o13x（第（第 7 7题）题）1x2 a1,x3 a2，则y1,y2,y3,的大小关系是 y1y2y。224.已知二次函数y (x1)(x3)，当 x_时，函数有最小值为_.考点考点 5.5.抛物线与抛物线与 a a、b b、c c 的关系的关系1.已知y ax bx的图象如图 1 所示，则y axb的图象一定过第（）象限.A一、二、三 B一、二、四 C二、三、四 D一、三、四2.小明从图 2 所示的二次函数y ax bxc的图象中，观察22yO图 1x1x 3y2x得出了下面五条信息：c 0；abc 0；abc 0；21012a3b 0；c4b 0，你认为其中正确信息的个数有（C C）A2 个B3 个C4 个D5 个图 223.在同一坐标系中，函数y mxm和y mx 2x 2（m是常数，且m 0）的图象可能是（）yO2yyyOxOxxOx4.已知函数y ax ax与y a(a 0)，则它们在同一坐标系中的大致图象是()x5.如图 3，已知正三角形 ABC 的边长为 1，E、F、G 分别是 AB、BC、CA 上的点，且 AEBFCG，设EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数的图象大致是（）AyyEyy3333G4444OxDOOBFOBCxAxCx图 36.在平面直角坐标系中，先将抛物线y x x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（C C）21Ay x x 2By x x27.如图所示是二次函数y 22y x x 2Dy x x2Cy2212x 2的图象在x轴上方的一部216分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）A4BC2D838.如图，平行于y轴的直线l被抛物线yx121x 1、yx2122所截当直线l向右平移 3 个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为6平方单位9.下列图形中，其中有一个阴影面积与其他三个阴影面积不相同的是（）210.如图 4，把抛物线y x与直线y 1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90后，再沿x轴向右平移 1 个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（D D），0)B点C1的坐标是(2，1)A点O1的坐标是(1OCAC四边形 OB1B1是矩形 D若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是 3专题二：二次函数与一元二次方程的关系专题二：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.1.在坐标系中，抛物线y x 1与x轴的交点的个数是（）A.32A（11，）BC（，11）A1O（图 4）O1B1xC1 B.2 C.1D.012 抛物线y 2x28x m与x轴只有一个公共点，则m的值为3.下列抛物线中，不与 x 轴相交的是（）。A、y=2x+x1；B、y=2x x1；C、y=2x x1；D、y=2x+x14.下列表格是二次函数y ax bxc的自变量22222x与函数值y的对应值，判断方程ax2bxc 0（a 0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x6.176.186.196.20y ax2bx c0.030.010.020.04A6 x 6.17B6.17 x 6.18 C6.18 x 6.19D6.19 x 6.20y25.已知二次函数y x 2x m的部分图象如图 1，则关于x的一元二2次方程x 2xm 0的解为x1 1x2 36.已知函数y ax bx c的图象如图 2 所示，那么关于x2yO图 113x 0的根的情况是（）的方程ax bx c 2 5=0A.无实数根B.有两个相等实数根20 x图 23C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根27.若抛物线 y=x-2x+c 与 y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是 x=1C.当 x=1 时，y 的最大值为-4 D.抛物线与 x 轴交点为（-1，0），（3，0）8.如图为二次函数 y=ax bxc 的图象，在下列说法中：ac0；方程 ax bxc=0 的根是 x1=1,x2=3 abc0当 x1 时，y 随 x 的增大而增大。正确的说法有_。(填序号)9.二次函数y ax bxc(a 0)的图象如图 4 所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax bxc 0的两个根2（2）写出不等式ax bxc 0的解集2222图 3y（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围3211O121 234x图 41（4）若方程ax2bx c k有两个不相等的实数根，求k的取值范围专题三：二次函数的规律探究专题三：二次函数的规律探究1.二次函数y 22x的图像如图所示，点A0位于坐标原点，3A1，A2，A3，A2009在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，B2009在二次函数y 22x第一象限的图像上，若A0B1A1,3A1B2A2，A2B3A3，A2008B2009A2009都为等边三角形，计算出A2008B2009A2009的边长为20092009 .专题四：二次函数解析式的确定专题四：二次函数解析式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点考点 1.1.根据实际问题模型确定二次函数表达式根据实际问题模型确定二次函数表达式墙如图 1，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）D的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：A米）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）(利用图形的面积公式求解.)解：依题意 AD=2C菜园B图 11112（30-x），所以由长方形的面积公式得y=x（30-x）=-x+15x.2222考点考点 2.2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax+bx+c（a0）；2.已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）+k（a0）；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0）.(1)已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点 B（2，-5），求该抛物线的表达式.解：(用顶点式求解)设抛物线的表达式为 y=a（x+1）+4，因为抛物线经过 B（2，-5），所以-5=a（2+1）+4，即 a=-1.所以抛物线的表达式为y=-（x+1）+4=-x-2x+3.(2)已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（-2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8）.求该抛物线的解析式；解：(用一般式求解,也可以用交点式求解）设这个抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a0）.12222224a 2b c 0,a 2,2由题意，得a b c 0,解得b 2,所以抛物线的解析式为y 2x 2x 4.4a 2b c 8,c 4.(本题选用交点式y a(x x1)(x x2)也较方便.)专题五：二次函数与实际问题专题五：二次函数与实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）设自变量与函数；（2）建立函数表达式；（3）确定自变量的取值范围；（4）根据顶点坐标公式或配方法求出最大(小)值.(在自变量的取值范围內)1.某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4 台（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？分析：首先利用利润=（销售单价-成本）销售量这个公式算术y 与 x 的关系；再解一元二次方程；最后利用二次函数的性质求出最大值即可.解：（1）根据题意，得y (2400 2000 x)84（2）由题意得:x 22，即y x 24x3200502522x 24x3200 4800252得x 300 x20000 0 解得x1100，x2 200要使百姓得到实惠，取x 200所以，每台冰箱应降价 200 元（3）对于y 22x 24x3200，当x 2524150时，2 225150y最大值(2400 2000150)84 25020 500050所以，每台冰箱的售价降价150 元时，商场的利润最大，最大利润是5000 元12.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1 所示），拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2 所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由E10m20m图 1yCF6mAO图 2Bx解：（1）根据题目条件，A0)(10，0)(0 6)，B，C的坐标分别是(10，设抛物线的解析式为y ax c，26 c，2将B，C的坐标代入y ax c，得0 100ac解得a yCHx3，c 650ADNOG B32x 6503（2）可设F(5，yF)，于是yF 526 4.550所以抛物线的表达式是y 从而支柱MN的长度是104.55.5米（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7，0)过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH 37263.06 350根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车专题六：二次函数与几何问题专题六：二次函数与几何问题1.如图所示，已知抛物y ax bx c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB 3,CB 2 3,CAO 30，求抛物线的解析式和它的顶点坐标.212.已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点 A(0，3)，与x轴分别交于 B(1，0)、C(5，0)两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长解析如图，设点M关于x轴对称的点为M，点A关于抛物线的对称轴对称的点为A，连结MA，则MA的长为MEEFFA的最小值3218yx3解：（1）抛物线的解析式为y x 255（2）线段OA的三等分点为D（0，1）或（0，2），直线DC的解析式为y 12x1或y x255AMPFA33（3）点M（0，）关于x轴对称的点为M（0，），22点A（0，3）关于抛物线的对称轴x 3对称的点为A15（6，3），连结MA，则MA2OMBECx3.如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;若点 M 是抛物线上一点，以B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。yCDMPAOBx5.抛物线y x mx n经过点0，3与4，32（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；（2）现有一半径为 1、圆心P在抛物线上运动的动圆，当坐标；（3）P与坐标轴相切时，求圆心P的P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y x2mx n使P与两坐标轴都相切（要说明平移方法）1O6.如图，矩形 ABCO是矩形 OABC(边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上)绕 B点逆时针旋转得到的O点在 x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)(1)如果二次函数 yax2bxc(a0)的图象经过 O、O两点且图象顶点 M 的纵坐标为1求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 P，使得POM 为直角三角形?若存在，请求出 P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边 CO所在直线的解析式1
