专题一(二阶常微分方程解法).pdf
二阶微分方程：二阶微分方程：f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)，2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(p4q0)两个相等实根(p4q0)一对共轭复根(p4q0)222(*)式的通解yc1er1xc2er2xy(c1c2x)er1xyex(c1cos xc2sin x)r1i，r2i4qp2p，22二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)exPl(x)cos xPn(x)sin x 型二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是ypyqyf(x)（1）其中p,q是常数。方程（1）的通解为对应的齐次方程ypyqy0（2）的通解 Y 和方程（1）的一个特解y*之和。即yYy*.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解y*的方法。1下面我们只介绍当方程（1）中的f(x)为如下两种常见形式时求其特解y*的方法。xf(x)ePm(x)型一、一、由于方程（1）右端函数f(x)是指数函数ex与m次多项式Pm(x)的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：xy eQ(x)(Q(x)是某个次数待定的多项式)方程（1）的特解应为yyexQ(x)exQ(x)ex2Q(x)2Q(x)Q(x)代入方程（1），得ex Q(x)(2 p)Q(x)(2pq)Q(x)exPm(x)消去ex，得Q(x)(2 p)Q(x)(2p q)Q(x)Pm(x)（3）讨论102r pr q 0的根。、如果不是特征方程2p q 0即P(x)是一个m次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q(x)必为一个m次由于m多项式，设为Qm(x)b0 xmb1xm1bm1x bmb将之代入（3），比较恒等式两端x的同次幂的系数，就得到以0得到特解,b1,bm1,bm为未知数的m 1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m 1个待定的系数，并y exQm(x)2202r pr q 0的单根。、如果是特征方程2p q 0，但2 p 0即欲使（3）式的两端恒等，那么Q(x)必是一个m次多项式。因此，可令Q(x)xQm(x)b并且用同样的方法来确定Q(x)的系数030、如果是特征方程r2,b1,bm1,bm。pr q 0的二重根。2p q 0，且2 p 0。即欲使（3）式的两端恒等，那么Q(x)必是一个m次多项式2Q(x)x Qm(x)因此，可令b并且用同样的方法来确定Q(x)的系数0综上所述，我们有结论,b1,bm1,bm。xf(x)ePm(x)，则方程（1）的特解形式为如果其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，k的取值应满足条件y xkQm(x)ex0不是特征方程的根k 1是特征方程的单根2是特征方程的二重根2xy 5y 6y xe例例 1 1 求的通解。2解解 特征方程为r 5r 6 0特征根为r1 2,r2 32x3xY C eC e12齐次方程的通解为因为 2是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为2xy x(b x b)e013则y*2b0 x2(2b0 2b1)x b1e2x2y*4b0 x (8b0 4b1)x 2b0 4b1e2x将上述三式代入原方程，得2x2x(2b x 2b b)e xe001，比较恒等式两端的系数，得2b012b0b1 0解得b0 12，b1 11y*x(x 1)e2x2因此所以方程的通解为y c1e2x c2e3x1 x(x 1)e2x2xf(x)e Pl(x)cosx Pn(x)sinx型二、二、xpl(x)cosx pn(x)sinx，这种形式得到非齐次方e由于方程（1）右端函数为程的特解y*的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论(1)(2)y xkex Rm(x)cosx Rm(x)sinx(2)(1)R(x)是两个m次多项式，m maxl,n，R(x)其中，m、m0若i不是特征方程的根k 1若i是特征方程的根且例例 2 2 求方程y解解 特征方程ry xcos2 x的通解。21 04特征根r1,2 i齐次方程的通解为Y C1cosx C2sin x这里 0,2,m 1，由于i 2i不是特征方程的根，所以设方程的特解为y(ax b)cos2x (cx d)sin2x代入原方程，得比较两端同类项的系数，得(3ax 3b 4C)cos2x (3Cx 3d 4a)sin 2x xcos2x3a 13b 4C 03C 03d 4a 014a ,b 0,C 0,d 39解得14y xcos2x sin2x39于是所以非齐次方程的通解为14y c1cosx c2sin x xcos2x sin2x395
