全等三角形做辅助线~倍长中线、截长补短教(学)案.pdf

全等三角形中常见的辅助线（一）全等三角形中常见的辅助线（一）适用学科适用学科适用区域适用区域知识点知识点教学目标教学目标教学重点教学重点教学难点教学难点数学人教版倍长中线法；截长补短法1.掌握倍长中线法的运用条件2.掌握截长补短法的运用条件适用年级适用年级初中二年级课时时长（分钟）课时时长（分钟）60对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学过程教学过程一、复习预习一、复习预习全等三角形的判定定理：1、SSS：三边对应相等的两个三角形全等2、SAS：两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、AAS：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、ASA：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等5、HL：在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等二、知识讲解二、知识讲解考点考点1 1遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”考点考点2 2截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目三、例题精析三、例题精析【例题【例题 1 1】【题干】【题干】已知：如图 3 所示，AD 为 ABC 的中线，求证：AB+AC2AD。ADBCE3【答案】【答案】证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 ECAD 是中线DC=DBDE=AD，CDE=BDA，DC=DBCDE BDACE=AB在AEC 中 CE+ACAE，CE=ABAB+ACAEDE=ADAE=2ADAB+ACAEAB+AC2AD【解析】【解析】分析：要证AB+AC2AD，由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。【例题【例题 2 2】【题干】【题干】已知：如图 1 所示，AD 为ABC 的中线，且1=2,3=4。求证：BE+CFEF。ANBE2134FCD图1【答案】证明：在 DA 上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC在 DEB 和 DNE 中DN=DB1=2DE=DEDEBDNE（SAS）BE=NE同理可得：CF=NF在 EFN 中，EN+FNEFBE+CFEF【解析】分析：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 EN，FN，EF 移到同个三角形中。四、课堂运用四、课堂运用【基础】【基础】1、ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围（A1AD4B3AD13C5AD13）D9AD13【答案】A【解析】解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM所以AB=CM又CM-ACAMCM+AC所以22*AD8所以1AD42、已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE【答案】过D作DFAC交BC于F，DFAC（已知），DFC=FCE，DFB=ACB（平行线的性质），AB=AC（已知），B=ACB（等边对等角），B=DFB（等量代换），BD=DF（等角对等边），BD=CE（已知），DF=CE（等量代换），DFC=FCE，DGF=CGE（已证），DFGECG（AAS），DG=GE（对应边相等）【解析】过D作DFAC交BC于F，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证GDFCEG即可.【巩固】【巩固】1、已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EFAEFBDC【答案】解：延长 AD 至 G，使得 AD=DG，连接 BG,GCABC 中,AD 是 BC 边上的中线BD=DCAD=DG四边形 ABGC 为平行四边形AC=BG,AC/BGAFEGBEAF/FE=GB/BEAC=BE,AC=BGBE=BGAF=FE【解析】延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF2、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ABDEC【答案】【答案】延长 AE 到 M，使 EM=AE，连结 DM易证DEM CEAC=MDE,DM=AC又 BD=DC=ACDM=BD,ADC=CAD又ADB=C+CAD，ADM=MDE+ADCADM=ADBADM ADBBAD=MAD即 AD 平分BAE【解析】【解析】因为 BD=DC=AC，所以 AC=1/2BC因为 E 是 DC 中点，所以 EC=1/2DC=1/2ACACE=BCA，所以BCAACE所以ABC=CAE因为 DC=AC，所以ADC=DACADC=ABC+BAD所以ABC+BAD=DAE+CAE所以BAD=DAE即 AD 平分BAE【拔高】【拔高】1、如图，已知在ABC 内，BAC 60，C 400，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且AP，BQ 分别是BAC，ABC0的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPA AB BQ QP PC C【答案】证明：做 PMBQ，与 QC 相交与 M。APB=180BAPABP=1803080=70且APM=180APBMPC=18070QBC=1807040=70APB=APM又AP 是 BAC 的角平分线，BAP=MAPAP 是公共边ABPAMP(角边角）AB=AM，BP=MP在 MPC 中，MCP=MPC=40MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在 QBC 中QBC=QCB=40BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP【解析】做辅助线 PM BQ，与 QC 相交与 M。首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论。2、如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+BDB BD DA AC C【答案】在 AB 上取点 N,使得 AN=ACCAE=EAN,AE=AE,CAEEANANE=ACE又 ACBDACE+BDE=180而ANE+ENB=180ENB=BDE，NBE=EBNBE=BEEBNEBDBD=BNAB=AN+BN=AC+BD【解析】根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论课程小结课程小结1)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目