全国高中数学联赛山东赛区预赛详解.pdf
全全国国高高中中数数学学联联赛赛山山东东赛赛区区预预赛赛详详解解 Modified by JACK on the afternoon of December 26,202020182018 年全国高中数学联赛山东赛区预赛年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解试题详解一、填空题（本大题共 10个小题，每小题 8 分，共 80 分）1若复数z满足z 1 z 32i 2 2，则z的最小值是解析：设A1,0,B3,2，复数z对应的点记为 Z，则AB 2 2，故点 Z的轨迹是线段 AB，数形结合知，zmin OA 13已知x表示不超过实数x的最大整数，则函数fx2sin x cosxsinx cosx的值域为解析：fx2sin x cosxsin x cosxsin2x2sinx 4cos2x 2sinx 2sin2x 12sinx，244422t 11,0,1,2t1,0,1，令t sinx，则1 t 1,42于是fx 2t 12t2,1,0,1,2，t122101011012212t 1212102200012t11111fx12112函数fx2sin x cosxsinx cosx的值域为2,1,1,22已知在正四棱锥 S-ABCD中，二面角 A-SB-D的正弦值为6，3则异面直线 SA 与 BC所成的角为解析：设 AC 与 BD交于点 O，依题意知，SO面 ABCD，AOBD，AO面 SBD，AOSB，AO面 SBD，作 OESB于 E，则 AESB，AEO就是二面角 A-SB-D的平面角，DOACESOA6，sinAEO AE3B设 ABa，SAb，则在SAB中求得AE 又 OA形，a212b a，b42，代入式得：a b，故正四棱锥 S-ABCD 的侧面都是等边三角2由于 ADBC，故异面直线 SA 与 BC所成的角为SAD604已知在ABC中，BAC的平分线交 BC 于 D，且有AD 若 AB8，则 AD1AC tAB，43t BDC，解析：由于、三点共线，4作 DEAB交 AC 于 E，作 DFAC 交 AB 于 F，则四边形 AFDE是菱形，AF AEFBDC3AB 6,AD 3AF 6 345甲乙两人轮流掷一枚均匀硬币，只出现正面朝上或朝下两种等可能的结果规定先掷出正面朝上者赢，前一场的输者，下一场先掷已知第一场甲先掷，则甲赢得第n场的概率为_解析：依题意知第n场先掷的人若赢，则前面的n1场皆为正面朝下，且第n场先掷的人正面朝上，故其概率为122n1112n1，22111故每一场先掷的人赢的概率为35222122n12，3212设甲赢得第n场的概率为pn，则p1,pnpn11 pn1n 2，333n1111111pn pn1，pnnN*232263x2y26若直线6x 5y 28 0交椭圆221a2,b2N*,a b于 A、C 两点，ab设 B(0，b)为此椭圆的上顶点，ABC的重心为此椭圆的右焦点 F2，则此椭圆的方程为_解析：设 A(x1，x2)，B(y1，y2)，依题意可得：x1 x20y y2b c,1 0，x1 x2 0 3c,y1 y2 b，33代入直线方程得：6x15y128 0,6x25y228 0，y2 y16，两式相加可得：18c5b 56，两式相减可得：x2 x15x12y12x22y22代入椭圆方程得：221,221，ababb2y2 y1y2 y16b两式作差得：2，2a25bc，ax2 x1x2 x115c228联立，消去c得：6a5b28 28，a 2 22,b 5，62222又a25b565bN*，bN*，且b是偶数，b 2或b 4，36检验知当b 4时，a2N*符合题意，这时a2 20，x2y21因此椭圆的方程为20167对任意实数a,b，maxa b,a b,1b的最小值为_解析：maxa b,a b,1ba b a b 21b4a ba b2 2b411a 0,b 时等号成立，当且仅当228已知a b是方程x2ax b 0的一个根，其中a,bZ，则b的最大可能值为_解析：依题意可得：a baa bb 0，即2a23abb2b 0，22由于a,bZ，3b8b b b 8b必是完全平方数，2222设b 8b mmZ，则b4mb4m16，且b4m,b4m的奇偶性相同，b4m 8 b4m 4 b4m 2 b4m 4,，b4m 2b4m 4b4m 8b4m 4解得：b 9,8,1,0，因此b的最大可能值为 99已知集合 A，B 满足AB 1,2,3,10,AB ，若 A中的元素个数不是 A中的元素，且 B 中的元素个数不是 B中的元素，则集合 A的个数为_解析：设集合 A的元素个数为kk 1,2,依题意可得：k A,10k B,10k A，此时集合 A的个数为C102，其中k 5，集合 A的总个数为k1,9，则 B中元素个数为10k 个，0k9Ck5k18C8k1C84 28C84186k081_10已知fn是最接近n的整数，则f k k142018解析：设fk mk 1,2,4,2018，1先证fk惟一：否则设n m，2321143则n m 2m m mZ，与nN*矛盾，2216再求fk m的k的个数：1111由于m k m，且mm 4m3m，2222fk m的k有4m3m个，f2018：64 2018 74，6 f2018 7，44442134m m m m 12mm 11785，m16fk 7k 1786,1787,k12018,2018，值为 7 的共有 233 个，61116 7 1323328234m3m23346fkm1m7677二、解答题（本大题共 4个小题，前两个小题各 15分，后两个小题各 20 分，共 70 分）11已知Am,n,Bs,pm,n,s,pN*是曲线 C：y 3 x t上的两点，若满足O：x2 y2 4上的任意一点到 A、B的距离之比为定值kk 1，求t的值（本小题满分 15 分）解析：设Px,y是O上任意一点，PA k，即则PBx y 222k2s mk 12x 2k2p nk 12my 22n2k2s2 p2k 12 0，因此点 P 的轨迹是一个圆，此圆必是O：x2 y2 4，2k2s mk 122 0,22k2p nk 122m 0,n2k2s2 p2k 12 4，4 4，k2把m k s,n kmp代入n2k2s2 p2k2122 4得：s p s,pN*，s p 1,k2 2,m 2,n 2，故A2,2,B1,1在曲线 C 上，2 3 2t4t，解得：1 31t312已知数列an满足：a13,0 an3n 2,sin an11sin3annN*，3求证：sinan1nN*（本小题满分 15分）n1131sina 证明：当n 1时，sina1，当n 2,3,4时，n3n21设fx x 当0 x 43x0 x 1，则f x14x2，3112时，f x14x 0，fx在0,上递增22下面用数学归纳法证明结论：由知当n 1,2,3,4时结论成立，假设当n kk 4时结论成立，即有sinak1，k143143k 4sinasin3a sina sin a 则当n k 1时，k1kkk33k3k k3k k213k 419k 24k 161故要证sinak1，只需证，即证，3k 13k kk 19kk 19k224k 161即证，即证15k28k 16，由于k 4，上式成立，39kk 1故sinak11成立，即当n k 1时，结论成立，k 11都成立n综上，对一切nN*，sinan22213已知实数a,b,c满足a b c 0，试求f mina b,b c,c a的最大值（本小题满分 20 分）解析：不妨设a b c，令a b s,c bts,t 0，222则b sb2bt，即3b 2s tb s t 0，222222222 4s t4 3s t 0，s st t 23，22不妨设s t，则f t 121s st t2，32当且仅当s t 2，即a 2,b 0,c 2等号成立，因此f的最大值是214（本小题满分 20分）证明对所有的正整数n 4，存在一个集合 S 满足如下条件：S 由都小于2n1的n个正整数组成；对 S 的任意两个不同的非空子集 A、B都有 A中元素之和不等于 B 中元素之和证明：当n 4时，取S 3,5,6,7，则集合 S 满足上面两个条件；34当n 5时，取S 3,2,2,2n2,2n13,2n12,2n11，则集合 S 满足条件，只需证明集合 S 满足条件：记a 2n13,b 2n1 2,c 2n11，fX表示集合 X中的所有元素之和，设 A、B是 S 的任意两个不同的非空子集，则只需证明fA fB，不妨设AB ，那么对mN*，都有124当a,b,c AB时，都有fA fB，又323242m1 2m1 2m，2n2 2n15，当a,b,c中恰有一个属于AB时，都有fA fB，故fA fB；类似地讨论当a,b,c中恰有 2个或 3同时个属于AB时，都有fA fB；综上所述，当n 4时，满足条件的集合 S 都存在
