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椭圆典型题型归纳最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除椭圆典型题型归纳椭圆典型题型归纳题型一题型一.定义及其应用定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆C:(x4)2 y2100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心M的轨迹方程；例 2.方程3(x1)2(y1)2 x2y2所表示的曲线是练习练习：1.方程(x3)2 y2(x3)2 y2 6对应的图形是（）A.直线 B.线段 C.椭圆 D.圆2.方程(x3)2 y2(x3)2 y210对应的图形是（）A.直线 B.线段 C.椭圆 D.圆3.方程x2(y3)2 x2(y3)210成立的充要条件是（）x2y2x2y2x2y21 B.1 C.1 D.A.25162591625x2y219254.如果方程x2(ym)2 x2(ym)2 m1表示椭圆，则m的取值范围是5.过椭圆9x24y21的一个焦点F1的直线与椭圆相交于A,B两点，则A,B两点与椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长等于；6.设圆(x1)2 y2 25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除题型二题型二.椭圆的方程椭圆的方程（一）由方程研究曲线（一）由方程研究曲线x2y21的曲线是到定点和的距离之和等于的点的例 1.方程1625轨迹；（二）分情况求椭圆的方程（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程（三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(3,2)，求椭圆的方程；例 4.求经过点(2,3)且与椭圆9x24y2 36有共同焦点的椭圆方程；x2y2注：一般地，与椭圆注：一般地，与椭圆221共焦点的椭圆可设其方程为共焦点的椭圆可设其方程为abx2y221(k b2)；2a kb k（四）定义法求轨迹方程；（四）定义法求轨迹方程；例 5.在ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c，且B(1,0),C(1,0)，求满足b a c且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；（五）相关点法求轨迹方程；精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除x2例 6.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆 y21上任一点，求AQ的中点M4的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 4交于A,B两点，点P是直线l上满足PA PB 1的点，求点P的轨迹方程；（七）列方程组求方程（七）列方程组求方程例 8.中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线y 3x2截得的弦的中点1的横坐标为，求此椭圆的方程；2题型三题型三.焦点三角形问题焦点三角形问题x2y251上一点P的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为例 1.已知椭圆16253F2、F1，求PF1、PF2及cosF1PF2；题型四题型四.椭圆的几何性质椭圆的几何性质x2y25例 1.已知P是椭圆221上的点，的纵坐标为，F1、F2分别为椭圆的两ab3个焦点，椭圆的半焦距为c，则PF1PF2的最大值与最小值之差为x2y2例 2.椭圆221(a b 0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内ab切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除x2y211的离心率为，则k；例 3.若椭圆k 142x2y2例 4.若P为椭圆221(a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且abPF1F2150，PF2F1 750，则椭圆的离心率为题型五题型五.求范围求范围x2y21表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围；例 1.方程2m(m1)2题型六题型六.椭圆的第二定义的应用椭圆的第二定义的应用例 1.方程2(x1)2(y1)2 x y2所表示的曲线是例 2.求经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为程；x2y251上有一点P，它到左准线的距离等于，那么P到右焦点例 3.椭圆25921的椭圆的左顶点的轨迹方2的距离为x2y21，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点例 4已知椭圆43M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1,F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。x2y21内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦例 5已知椭圆95点，点P是椭圆上一点求PA 3PF2的最小值及对应的点P的坐标2精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除题型七题型七.求离心率求离心率x2y2例 1.椭圆221(a b 0)的左焦点为F1(c,0)，A(a,0)，B(0,b)是两个ab顶点，如果F1到直线AB的距离为b，则椭圆的离心率e 7x2y2例 2.若P为椭圆221(a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且abPF1F2，PF2F1 2，则椭圆的离心率为例 3.F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1 PQ，且PF1 PQ，则椭圆的离心率为；题型八题型八.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用x2y21上的点P到直线x2y 7 0的距离最大时，点P的坐标例1.椭圆43例 2.方程x2sin y2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围；题型九题型九.直线与椭圆的关系直线与椭圆的关系（1 1）直线与椭圆的位置关系）直线与椭圆的位置关系例 1.当m为何值时，直线l:y xm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离？精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除例 2.曲线2x2 y2 2a2（a 0）与连结A(1,1)，B(2,3)的线段没有公共点，求a的取值范围。例 3.过点P(3,0)作直线l与椭圆3x24y212相交于A,B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设l的方程为y 0 k(x 3)，则要求l的斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不BPOxyA存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为x my 3，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，l：x my 3SAOB11|OP|y1|OP|y2|3(|y1|y2|)3(y1 y2)22把x my 3代入椭圆方程得：3(m2y2 2 3my 3)4y212 0，即(3m2 4)y2 6 3my 3 0，y1 y26 3m3，y y 123m2 43m2 4108m2121|y1 y2|144x2 482222(3m 4)3m 43m 4精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除4 9m2 34 33m214 33m21223m 43m 4(3m21)34 3m3m21 33m2133m214 3 22 3S 32 3，此时3m21 2m 63令直线的倾角为，则tan 36 266。2即OAB面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为例 4.求直线xcos ysin 2和椭圆x23y2 6有公共点时，的取值范围(0)。（二）弦长问题（二）弦长问题例 1.已知椭圆x2 2y212，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为 1的直线被椭圆截得的弦长为4 13，求点A的坐标。3分析：分析：若直线y kxb与圆锥曲线f(x,y)0相交于两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则弦PQ的长度的计算公式为|PQ|1 k2|x1 x2|11|y1 y2|，2k而|x1 x2|(x1 x2)24x1x2，因此只要把直线y kxb的方程代入圆锥曲线f(x,y)0方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除解：设A(x0,0)（x0 0），则直线l的方程为y x x0，设直线l与椭圆相交 y x x0223x 4x x 2x12 0，于P(x1,y1)、Q(x2,y2)，由2，可得002x 2y 122x124x，则x1 x20，x1 x2033216x08x 4822|x1 x2|(x1 x2)4x1x2036 2x09332224 144 14221 x2|x1 x2|，即2 36 2x0333x02 4，又x0 0，x0 2，A(2,0)；例 2.椭圆ax2by21与直线x y 1相交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|2 2，O为坐标原点，OC的斜率为x2y21的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A,B两例 3.椭圆45202，求a,b的值。2点，若ABF2的面积是 20，求直线方程。（三）弦所在直线方程（三）弦所在直线方程x2y21，过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰例 1.已知椭圆164好是P；精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除例 2.已知一直线与椭圆4x29y2 36相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程；例 3.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e 2,过点C(1,0)的直3线l与椭圆E相交于A,B两点，且 C 分有向线段AB的比为 2.（1）用直线l的斜率k(k 0)表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆 E 的方程c2x2y2解：（1）设椭圆E的方程为221，由e，a2=3b2a3ab故椭圆方程x23y2 3b2；设A(x1,y1),B(x2,y2)，由于点C(1,0)分有向线段AB的比为 2x1 2x2 1x11 2(x21)3，即y 2yy 2y2211 03x23y23b2由消去 y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0y k(x1)由直线 l 与椭圆 E相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点 36k4 4(3k21)(3k2 2b2)06k2x1 x2 23k 13k23b2x1x23k21而SOAB11333|y1 y2|2y2 y2|y2|k(x21)|k|x21|22222精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除由得:x21（2）因SOAB23k21，代入得：SOAB3|k|(k 0).3k213|k|333,3k213|k|122 3|k|3,SOAB取得最大值3当且仅当k 此时x1 x2 1，又x12x2 1，x1 1,x2 2；31将x1,x2及k2代入得 3b2=5，椭圆方程x23y2 53x2y21上的三点，F为椭圆的左例 4.已知A(x1,y1),B(1,y0),C(x2,y2)是椭圆43焦点，且AF,BF,CF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题四）关于直线对称问题x2y21，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点例 1.已知椭圆43关于直线y 4xm对称；例 2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于 6，离心率e 2 2，试问3是否存在直线l，使l与椭圆交于不同两点A,B，且线段AB恰被直线x 分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。精品好资料-如有侵权请联系网站删除1平2最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除题型十题型十.最值问题最值问题x2y21的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求例 1若P(2,3)，F2为椭圆2516MP MF2的最大值和最小值。分析：欲求MP MF2的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义F1M1F2M2oMF2 2a MF1,F1为椭圆的左焦点。解：MP MF2 MP 2a MF1，连接PF1，延长PF1交椭圆于点 M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知 PF1 MP MF1 PF1当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为2a 10,PF1 2，所以(MP MF2)max12,(MP MF2)min8；x2y2结论结论 1 1：设椭圆：设椭圆221的左右焦点分别为的左右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为椭圆内一点，为椭圆内一点，abM(x,y)为椭圆上任意一点，则为椭圆上任意一点，则MP MF2的最大值为的最大值为2a PF1,最小值为最小值为2a PF1；x2y21的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求例 2P(2,6),F2为椭圆2516MP MF2的最大值和最小值。分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使MP MF2值最小，求最大值方法同例 1。解：MP MF2 MP 2a MF1，连接PF1并延长交椭圆于点 M1，精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除则 M 在 M1处时MP MF1取最大值PF1；MP MF2最大值是 10+37，最小值是41。x2y2结论结论 2 2 设椭圆设椭圆221的左右焦点分别为的左右焦点分别为F1,F2，P(x0,y0)为椭圆外一点，为椭圆外一点，abM(x,y)为椭圆上任意一点，则为椭圆上任意一点，则MP MF2的最大值为的最大值为2a PF1，最小值为，最小值为PF2;2.二次函数法x2y2例 3求定点A(a,0)到椭圆221上的点之间的最短距离。ab分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为x,y的函数求最小值。解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，112PA (xa)2 y2(xa)21x2(x2a)21a222由椭圆方程知x的取值范围是 2,2（1）若a 2，则x 2a时，PAmin1a222,则x 2时PAmin a222,则PAmin a22（2）若a（3）若a x2y2结论结论 3 3：椭圆：椭圆221上的点上的点M(x,y)到定点到定点 A(m,0)A(m,0)或或 B(0,n)B(0,n)距离的最值问距离的最值问ab题，可以用两点间距离公式表示题，可以用两点间距离公式表示MAMA或或MBMB，通过动点在椭圆上消去，通过动点在椭圆上消去 y y或或 x,x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.3.三角函数法三角函数法精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除x2例 4求椭圆2 y21上的点M(x,y)到直线l:x2y 4的距离的最值；4解：三角换元d x2y 45x 2cosx22 y21令R4y sin252sin()24则d 2cos2sin45当sin()1时dmin4时,dmax4 5 2 10；当sin()1544 5 2 10 x2y2结论结论 4 4：若椭圆：若椭圆221上的点到非坐标轴上的定点的上的点到非坐标轴上的定点的5ab距离求最值时距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.4.判别式法判别式法例 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m:x2y c 0将x 2yc代入椭圆方程整理得8y24cy c24 0，由=0解得c 2 2,c 2 2时直线m:x 2y 2 2 0与椭圆切于点P，则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，所以dmin4 5 2 10；5c 2 2时直线m:x 2y 2 2 0与椭圆切于点 Q，则 Q到直线 l 的距离为最大值，且最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离，所以dmax4 5 2 10。5精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除结论结论 5 5：椭圆上的点到定直线：椭圆上的点到定直线 l l 距离的最值问题距离的最值问题,可转化为与可转化为与 l l 平行的直线平行的直线 mm与与椭圆相切的问题椭圆相切的问题,利用判别式求出直线利用判别式求出直线 mm方程，再利用平行线间的距离公式求出方程，再利用平行线间的距离公式求出最值最值。x2y21的右焦点，点M在该椭圆上例 5.已知定点A(2,3)，点F为椭圆1612移动时，求AM 2 MF的最小值，并求此时点M的坐标；（第二定义的应用）x2y21的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标例 3已知F1、F2分别为椭圆10064为(2,6)，P为椭圆上的一个动点，试分别求：5PF2的最小值；（2）PM PF2的取值范围344解：（1），此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点；3（1）PM（2）由椭圆的定义知PF1 PF2 20，故PM PF2 PM 20 PF1，PM PF1 MF110，故PM PF230（当且仅当P为有向线段MF1的延长线与椭圆的交点时取“=”）；PF1 PM MF110，故PM PF2 20(PF1 PM)10;（当且仅当P为有向线段MF1的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知，PM PF2的取值范围为10,30;题型十一题型十一.轨迹问题轨迹问题例 1到两定点(2,1)，(2,2)的距离之和为定值 5的点的轨迹是 ()A椭圆双曲线直线线段精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除例 2已知点A(3,0)，点P在圆x2 y21的上半圆周上(即 y0)，AOP的平分线交PA于 Q，求点 Q的轨迹方程。例 3.已知圆C:(x3)2 y2100及点A(3,0)，P是圆 C 上任一点，线段PA的垂直平分线 l 与 PC 相交于 Q点，求 Q点的轨迹方程。题型十二题型十二.椭圆与数形结合椭圆与数形结合例 1关于x的方程22x2kx2k 0有两个不相等的实数解，求实数值范围.例 2求函数2t 4 6t的最值。精品好资料-如有侵权请联系网站删除k的取
