(江苏专用)2022版高考数学二轮复习专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明高考热点追踪(六)学案.pdf

江苏专用江苏专用 20222022 版高考数学二版高考数学二轮复习专题六概率、轮复习专题六概率、统计、统计、复数、复数、算法、算法、推理与证明高考热点追踪推理与证明高考热点追踪六学案文苏教版六学案文苏教版高考热点追踪高考热点追踪(六六)“交融在本质“交融在本质高考对复数要求不高，但仍是常考内容纵高考对复数要求不高，但仍是常考内容纵观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识交融观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识交融在一起，这些试题从形式上看很“新，但是不在一起，这些试题从形式上看很“新，但是不是很难呢？我们如何去分析解决呢？请同学们看是很难呢？我们如何去分析解决呢？请同学们看下面三个例题下面三个例题(2022南京模拟(2022南京模拟)O O为坐标原点，向量为坐标原点，向量3 3OZOZ1 1，OZOZ2 2分别对应复数分别对应复数z z1 1，z z2 2，且，且z z1 1(10(10a a5 52 2a a)i)i，z z2 2(2(2a a5)i(5)i(a aR)R)，假设，假设z z1 11 1a a2 2z z2 2是实数是实数(1)(1)求实数求实数a a的值；的值；1 1，2 2为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积(2)(2)求以求以OZOZOZOZ3 3【解】【解】(1)(1)因为因为z z1 1z z2 2(10(10a a2 2)i)ia a5 5 3 32 2 2 22 2 (2(2a a5)i5)i(a a2 2a a1 1a a a a5 51 1a a 15)i15)i 是实数，是实数，-2-2-所以所以a a2 2a a15150 0所以所以a a3 3，a a5(5(舍去舍去)故故a a3 33 3(2)(2)由由(1)(1)知，知，z z1 1 i i，z z2 21 1i i，8 8 3 3 1 1，1 1，OZOZ2 2(1 1，1)1)，所以所以OZOZ 8 8 2 273731 1|2 2|2 2，所以所以|OZOZ，|OZOZ8 83 3 1 18 8OZOZ1 1OZOZ2 2coscosOZOZ1 1，OZOZ2 21 1|OZOZ2 2|7373|OZOZ 2 28 85 51461461 1，OZOZ2 2所以所以 sinsinOZOZ252511111 1，1461461461467373 所以所以S S|OZOZ1 1|OZOZ2 2|sin|sin OZOZ1 1，OZOZ2 2 2 28 8111111111461468 81111所以平行四边形的面积为所以平行四边形的面积为8 8-3-3-名师点评名师点评 在复平面内，在复平面内，如果复数变量按如果复数变量按照某种条件变化，那么对应动点就构成具有某种照某种条件变化，那么对应动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形有机结合使复特征的点的集合或轨迹，这种数形有机结合使复数问题和向量问题构成了天然联系数问题和向量问题构成了天然联系a a，b b，c c，d dR R，对于复数，对于复数z za ab bi i，有有z z(4(4i)i)是纯虚数，是纯虚数，(z z2)(12)(14i)4i)是实数，是实数，且函数且函数f f(x x)axax3 3bxbx2 2cxcxd d在在x x0 0 处有极值处有极值2 2(1)(1)求求f f(x x)的单调区间；的单调区间；(2)(2)是否存在整数是否存在整数m m，使得方程，使得方程f f(x x)0 0 在区在区间间(m m，m m1)1)内有且仅有一个实数根假设存在，内有且仅有一个实数根假设存在，求出所有求出所有m m的值，假设不存在，请说明理由的值，假设不存在，请说明理由【解】【解】(1)(1)因为因为z z(4(4i)i)(4(4a ab b)(a a4 4b b)i)i 是纯虚数，是纯虚数，(z z2)(12)(14i)4i)(a a4 4b b2)2)(4(4a ab b8)i8)i是实数，且是实数，且a a，b bR R，4 4a ab b0 0，a a1 1，所以所以 a a4 4b b0，0，解得解得 b b4 4，4 4a ab b8 80 0，又因为又因为f f(x x)在在x x0 0处有极值处有极值2 2，所以所以f f(0)(0)0 0，f f(0)(0)2 2，得到得到c c0 0，d d2 2，-4-4-所以所以f f(x x)x x4 4x x2 2，8 8 那么那么f f(x x)3 3x x8 8x x3 3x x x x，3 3 2 23 32 28 88 8f f(x x)0)000 x x ，f f(x x)0)0 x x0 3 33 3 8 8 所以所以f f(x x)的单调递增区间是的单调递增区间是 0 0，单调递，单调递3 3 8 8 减区间是减区间是(，0)0)和和，3 3(2)(2)由由(1)(1)知：当知：当x x0 0 时，时，f f(x x)有极小值有极小值8 820220220200，而当，而当x x3 32727时，时，f f(x x)，当)，当x x时，时，f f(x x)，那么方程那么方程f f(x x)0 0 在在f f(x x)的三个单调区间的三个单调区间(8 8 8 8，0)0)，0 0，上必各有且仅有一个上必各有且仅有一个3 3 3 3 根根因为因为f f(1)(1)1010，f f(0)0(0)0)0)，观察：，观察：x xx x2 2f f1 1(x x)f f(x x)，x x2 2x xf f2 2(x x)f f(f f1 1(x x)，3 3x x4 4x x-8-8-x xf f3 3(x x)f f(f f2 2(x x)，7 7x x8 8x xf f4 4(x x)f f(f f3 3(x x)，1515x x1616根据以上事实，由归纳推理可得：根据以上事实，由归纳推理可得：当当n nN N*且且n n22 时，时，f fn n(x x)f f(f fn n1 1(x x)_【解析】【解析】观察知：四个等式等号右边的分观察知：四个等式等号右边的分母为母为x x2 2，3 3x x4 4，7 7x x8 8，1515x x1616，即，即(2(21)1)x x2 2，(4(41)1)x x4 4，(8(81)1)x x8 8，(16(161)1)x x1616，所以归纳出分母为所以归纳出分母为f fn n(x x)f f(f fn n1 1(x x)的分母为的分母为(2(2n n1)1)x x2 2n n，故当故当n nN N*且且n n22时，时，f fn n(x x)f f(f fn n1 1(x x)n nn n2 2 1 1x x2 2【答案】【答案】x xx x2 2 1 1x x2 2n nn n 名师点评名师点评 此题各式的分子相同，关键是此题各式的分子相同，关键是如何归纳分母特征如何归纳分母特征二、图形中的归纳推理二、图形中的归纳推理将正将正ABCABC分割成分割成n n(n n2，2，n nN N)个全个全等的小正三角形等的小正三角形(图图 1 1，图，图 2 2 分别给出了分别给出了n n2 2，3 3-9-9-2 2*的情形的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，在每个三角形的顶点各放置一个数，使使位于位于ABCABC的三边及平行于某边的任一直线上的的三边及平行于某边的任一直线上的数数(当数的个数不少于当数的个数不少于 3 3 时时)都分别依次成等差数都分别依次成等差数列，假设顶点列，假设顶点A A，B B，C C处的三个数互不相同且和处的三个数互不相同且和为为 1 1，记所有顶点上的数之和为记所有顶点上的数之和为f f(n n)，那么有那么有f f(2)(2)2 2，f f(3)(3)_，f f(n n)_【解析】【解析】当当n n3 3 时，如下图分别设各顶时，如下图分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知点的数用小写字母表示，即由条件知a ab bc c1 1，x x1 1x x2 2a ab b，y y1 1y y2 2b bc c，z z1 1z z2 2c ca a，x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 22(2(a ab bc c)2 2，2 2g gx x1 1y y2 2x x2 2z z1 1y y1 1z z2 2，6 6g gx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 22(2(a ab bc c)2 2，1 1即即g g 而而f f(3)(3)a ab bc cx x1 1x x2 2y y1 1y y2 23 3-10-10-1 11010z z1 1z z2 2g g1 12 2 3 33 3进一步可求得进一步可求得f f(4)(4)5 5由上知由上知f f(1)(1)中有中有 3 3个数相加，个数相加，f f(2)(2)中有中有 6 6 个数相加，个数相加，f f(3)(3)中有中有 1010 个个数相加数相加，f f(4)(4)中有中有 1515 个数相加，假设个数相加，假设f f(n n1)1)中有中有a an n1 1(n n1)1)个数相加，可得个数相加，可得f f(n n)中有中有(a an n1 1n n1)1)个数相加，且由个数相加，且由3 36 63 33 33 3f f(1)(1)1 1，f f(2)(2)f f(1)(1)，f f(3)(3)3 33 33 33 310104 45 5f f(2)(2)，f f(4)(4)5 5f f(3)(3)，3 33 33 3可得可得f f(n n)f f(n n1)1)所以所以f f(n n)f f(n n1)1)n n1 13 33 3，n n1 1f f(n n2)2)n n1 13 33 3 f f(1)(1)3 33 33 33 33 33 32 21 1 3 33 33 33 33 33 31 1(n n1)(1)(n n2)2)6 6n nn n1 1n nn n1 1n n1 1n nn n1 1-11-11-10101 1【答案】【答案】(n n1)(1)(n n2)2)3 36 6 名师点评名师点评 此题的归纳实际用了从特殊到此题的归纳实际用了从特殊到一般的数学思想方法一般的数学思想方法1 1a ai i1 1 复数复数(a a0)0)在复平面内对应的点在第在复平面内对应的点在第i i_象限象限1 1a ai i 解析解析(a a0)0)a ai i，对应的点对应的点(a a，i i1)1)在第四象限在第四象限 答案答案 四四2 2(2022南通市高三模拟(2022南通市高三模拟)电视台组织中学电视台组织中学生知识竞赛，共设有生知识竞赛，共设有 5 5 类试题，主题分别是：立类试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任选选 2 2 个主题作答，那么“立德树人主题被该队个主题作答，那么“立德树人主题被该队选中的概率是选中的概率是_ 解析解析 依次记依次记 5 5 类试题为类试题为A A，B B，C C，D D，E E，那么共有那么共有ABAB，ACAC，ADAD，AEAE，BCBC，BDBD，BEBE，CDCD，CECE，DEDE，共共 1010 个事件，个事件，其中其中 4 4 个事件中含有“立德树个事件中含有“立德树-12-12-4 42 2人主题，故所求概率人主题，故所求概率P P 10105 52 2 答案答案 5 53 3(2022南京调研(2022南京调研)某校为了解高三同学暑某校为了解高三同学暑假期间的学习情况，抽查了假期间的学习情况，抽查了 100100 名同学，统计他名同学，统计他们每天的平均学习时间，们每天的平均学习时间，绘成频率分布直方图绘成频率分布直方图(如如图图)，那么这，那么这 100100 名同学中学习时间在名同学中学习时间在 6 68 8 小时小时内的人数为内的人数为_ 解析解析 由直方图知，学习时间在由直方图知，学习时间在 6 68 8 小时小时内的频率为内的频率为 1 1(0(0 04040 0 12120 0 14140 0 05)205)20 03 3，所以所以 100100 名同学中学习时间在名同学中学习时间在 6 68 8 小时小时内的人数为内的人数为 0 0310031003030 答案答案 30 304 4(2022成都质检改编(2022成都质检改编)执行如下图的程序执行如下图的程序框图，那么输出框图，那么输出s s的值为的值为_-13-13-解析解析 第一次循环结束，得第一次循环结束，得s s0 02 22 2，k k22221 13 3；第二次循环结束，第二次循环结束，得得s s2 23 35 5，k k23231 15 5；第三次循环结束，得；第三次循环结束，得s s5 55 51010，k k25251 19 9；第四次循环结束，得；第四次循环结束，得s s10109 91919，k k29291 117101710，此时退出循环此时退出循环 故故输出输出s s的值为的值为 1919 答案答案 19 191 1221 1225 5 coscos，coscoscoscos，coscoscoscos3 32 25 55 54 47 77 7331 1coscos，根据这些结果，猜测出的一般结，根据这些结果，猜测出的一般结7 78 8论是论是_22n n1 1 答案答案 cos coscoscoscoscosn n2 2n n1 12 2n n1 12 2n n1 12 26 6(2(2022南通市高三模拟022南通市高三模拟)将一颗骰子连续将一颗骰子连续抛掷抛掷 2 2 次，向上的点数分别为次，向上的点数分别为m m，n n，那么点，那么点P P(m m，-14-14-1 1n n)在直线在直线y yx x下方的概率为下方的概率为_2 2 解析解析 点点P P(m m，n n)所有的结果有所有的结果有(1(1，1)1)，(1(1，2)2)，(1(1，3)3)，(1(1，4)4)，(1(1，5)5)，(1(1，6)6)，(2(2，1)1)，(2(2，2)2)，(2(2，3)3)，(2(2，4)4)，(2(2，5)5)，(2(2，6)6)，(3(3，1)1)，(3(3，2)2)，(3(3，3)3)，(3(3，4)4)，(3(3，5)5)，(3(3，6)6)，(4(4，1)1)，(4(4，2)2)，(4(4，3)3)，(4(4，4)4)，(4(4，5)5)，(4(4，6)6)，(5(5，1)1)，(5(5，2)2)，(5(5，3)3)，(5(5，4)4)，(5(5，5)5)，(5(5，6)6)，(6(6，1)1)，(6(6，2)2)，(6(6，3)3)，(6(6，4)4)，(6(6，1 15)5)，(6(6，6)6)，共，共3636 种，其中在直线种，其中在直线y yx x下方的下方的2 2情况有情况有(3(3，1)1)，(4(4，1)1)，(5(5，1)1)，(5(5，2)2)，(6(6，6 61 11)1)，(6(6，2)2)，共，共 6 6 种，那么所求概率为种，那么所求概率为 36366 61 1 答案答案 6 67 7(2022苏州质检(2022苏州质检)观察观察(x x2 2)2 2x x，(x x4 4)4 4x x，(cos(cosx x)sinsinx x，由归纳推理得：假，由归纳推理得：假设定义在设定义在 R R 上的函数上的函数f f(x x)满足满足f f(x x)f f(x x)，记记3 3g g(x x)为为f f(x x)的导函数，那么的导函数，那么g g(x x)_ 解析解析 由得偶函数的导函数为奇函数，故由得偶函数的导函数为奇函数，故g g(x x)g g(x x)-15-15-答案答案 g g(x x)8 8(2022江苏四星级学校联考(2022江苏四星级学校联考)设设A A，B B两两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己补课，一位教师给自己补课，假设假设A A，B B不选同一位教师，不选同一位教师，那么学生那么学生A A选择数学教师，学生选择数学教师，学生B B选择英语教师选择英语教师的概率为的概率为_ 解析解析 设两位数学教师用设两位数学教师用 1 1，2 2 表示，两位表示，两位英语教师用英语教师用 3 3，4 4 表示，表示，不妨让不妨让A A先选，先选，B B后选后选(不不重复重复)，那么他们所有的选择结果如下：，那么他们所有的选择结果如下：(1(1，2)2)，(1(1，3)3)，(1(1，4)4)，(2(2，1)1)，(2(2，3)3)，(2(2，4)4)，(3(3，1)1)，(3(3，2)2)，(3(3，4)4)，(4(4，1)1)，(4(4，2)2)，(4(4，3)3)，共共 1212 种情况，其中学生种情况，其中学生A A选择数学教师，学生选择数学教师，学生B B选择英语教师选择英语教师(数学在前，数学在前，英语在后英语在后)的结果有的结果有(1(1，3)3)，(1(1，4)4)，(2(2，3)3)，(2(2，4)4)共共 4 4 种情况，所以种情况，所以1 1所求概率为所求概率为P P 3 31 1 答案答案 3 39 9(2022泰州期末(2022泰州期末)数列数列 a an n 的前的前n n项和是项和是S Sn n，假设数列，假设数列 a an n 的各项按如下规律排列：的各项按如下规律排列：1 11 12 21 12 23 31 12 23 34 41 1，2 23 33 34 44 44 45 55 55 55 56 6-16-16-假设存在整数假设存在整数k k，使，使S Sk k1010510，此时最后一列数的分母为，此时最后一列数的分母为7 7，而，而10105 56 65 5 1010，故，故a ak k 7 77 75 5 答案答案 7 71010(2022泸州模拟(2022泸州模拟)学校餐厅每天供给学校餐厅每天供给500500名学生用餐，名学生用餐，每星期一有每星期一有A A、B B两种菜可供选择两种菜可供选择 调调查说明，但凡在这星期一选查说明，但凡在这星期一选A A菜的，下星期一会菜的，下星期一会有有 20%20%的可能改选的可能改选B B菜；而选菜；而选B B菜的，下星期一菜的，下星期一会有会有 30%30%的可能改选的可能改选A A菜用菜用a an n表示第表示第n n个星期个星期一选一选A A菜的人数，如果菜的人数，如果a a1 1428428，那么，那么a a6 6的值为的值为_4 43 3 解析解析 依题意有：依题意有：a an na an n1 1(500(500a an n1 1)5 510101 1*a an n1 1150(150(n n2，2，n nN N)，2 2-17-17-1 1即即a an n300300(a an n1 1300)(300)(n n2，2，n nN N*)，2 2 1 1 n n1 1a an n128128 300300 2 2 1 1 5 5因此因此a a6 6128128 300300304304 2 2 答案答案 304 3041111随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各1010 名同学，测量出他们的身高名同学，测量出他们的身高(单位：单位：cm)cm)，获得，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损污损(1)(1)假设甲班同学身高平均数为假设甲班同学身高平均数为 170 cm170 cm，求，求污损处的数据；污损处的数据；(2)(2)现从乙班这现从乙班这 1010 名同学中随机抽取名同学中随机抽取 2 2 名身名身高不低于高不低于 173 cm173 cm 的同学，求身高的同学，求身高 176 cm176 cm 的同学的同学被抽中的概率被抽中的概率 解解(1)(1)甲班同学身高的平均数甲班同学身高的平均数x x错误!170170解得解得a a179179，所以污损处是，所以污损处是 9 9-18-18-(2)(2)设“身高设“身高 176 cm176 cm 的同学被抽中的事件的同学被抽中的事件为为A A，从乙班从乙班 1010 名同学中抽取名同学中抽取 2 2 名身高不低于名身高不低于 173173cmcm 的同学有的同学有181181，173173，181181，176176，181181，178178，181181，179179，179179，173173，179179，176176，179179，178178，178178，173173，178178，176176，176176，173173，1010 个根本领件个根本领件而事件而事件A A含有含有 4 4 个根本领件，个根本领件，4 42 2所以所以P P(A A)10105 51212观察以下三角形数表，假设第观察以下三角形数表，假设第n n行的第行的第二个数为二个数为a an n(n n2，2，n nN N)*(1)(1)依次写出第六行的所有依次写出第六行的所有 6 6 个数字；个数字；(2)(2)归纳出归纳出a an n1 1与与a an n的关系式并求出的关系式并求出a an n的通项的通项公式公式 解解(1)(1)第六行的所有第六行的所有 6 6 个数字分别是个数字分别是 6 6，1616，2525，2525，1616，6 6(2)(2)依题意依题意a an n1 1a an nn n(n n2)，2)，a a2 22 2，a an na a2 2(a a3 3a a2 2)(a a4 4a a3 3)(a an na an n1 1)-19-19-2 2 2 2 3 3 (n n 1)1)2 2 n n2 2n n1 12 21 12 21 1所以所以a an nn nn n1(1(n n2)2)2 22 21313f f(x x)axaxbxbxc c，假设，假设a ac c0 0，f f(x x)5 5在在 1 1，11上的最大值为上的最大值为 2 2，最小值为最小值为 求证：求证：2 2 b b a a00 且且 22 a a b b 证明证明 假设假设a a0 0 或或 22 a a 2 2(1)(1)当当a a0 0 时，由时，由a ac c0 0，得得f f(x x)bxbx，显然，显然b b00由题意得由题意得f f(x x)bxbx在在 1 1，11上是单调函上是单调函数，数，所以所以f f(x x)的最大值为的最大值为|b b|，最小值为，最小值为|b b|5 51 1由条件，得由条件，得|b b|(|b b|)|)2 2 ，2 22 2这与这与|b b|(|b b|)|)0 0 相矛盾，相矛盾，所以所以a a00-20-20-b b(2)(2)当当 22 时，时，由二次函数的对称轴为由二次函数的对称轴为x x a a b b，2 2a a知知f f(x x)在在 1 1，11上是单调函数，故其最值上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得在区间的端点处取得f f1 1a ab bc c2 2，所以所以 5 5f f1 1a ab bc c，2 2 5 5 f f1 1a ab bc c，2 2或或 f f1 1a ab bc c2 2又又a ac c0 0，那么此时，那么此时b b无解，无解，b b 所以所以 22 a a b b 由由(1)(2)(1)(2)，得，得a a00 且且 22 a a 1414定义在定义在(0(0，)上的函数，)上的函数f f(x x)，如果，如果对任意对任意x x(0，(0，)，)，恒有恒有f f(kxkx)kfkf(x x)()(k k2，2，k kN N*)成立，那么称成立，那么称f f(x x)为为k k阶缩放函数阶缩放函数(1)(1)函数函数f f(x x)为二阶缩放函数，且当为二阶缩放函数，且当x x(1，(1，-21-21-22时，时，f f(x x)1 1loglog1 1x x，求，求f f(2(2 2)2)的值；的值；2 2(2)(2)函数函数f f(x x)为二阶缩放函数，且当为二阶缩放函数，且当x x(1，(1，22时，时，f f(x x)2 2x xx x，求证：函数，求证：函数y yf f(x x)x x在在(1(1，8)8)上无零点上无零点 解解 (1)(1)由由 2 2(1，(1，22得，得，f f(2)2)1 1loglog1 12 21 12 2，2 21 1由题中条件得由题中条件得f f(2(2 2)2)2 2f f(2)2)22 1 12 2(2)(2)证明：当证明：当x x(2(2，2 2i ii i1 12 2(i i0 0，1 1，2)2)时，时，x x2 2i i(1(1，22，依题意可得：依题意可得：x x 2 2f f(x x)2 2f f 2 2f f 2 2 x x i i 2 2 2 2f f 2 2 x x i i 2 2 2 2i i x x 2 2i i1 12 2 2 2i ii i 2 2x xx x2 2 2 2 x xx xx xx xx x0 0 或或x xi ii ii ii i1 12 2，0 0 与与 2 2 均不属于均不属于(2(2，2 2(i i0 0，1 1，2)2)，i ii i1 1当当x x(2(2，2 2(i i0 0，1 1，2)2)时，方程时，方程f f(x x)-22-22-方程方程f f(x x)x x0 0 2 2i i1 12 2x x0 0 无实数解无实数解注意到注意到(1(1，8)8)(2(2，2 2(2(2，2 2(2(2，2 2)，所以函数所以函数y yf f(x x)x x在在(1(1，8)8)上无零点上无零点0 01 11 12 22 23 3-23-23-