《重修不定积分》PPT课件.ppt

1 原函数的定义：原函数的定义：第四章第四章 不定积分不定积分一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 如果在区间如果在区间I内，可导函数内，可导函数F(x)的的定定义义 在在区区间间I上上f(x)的的带带任任意意常常数数项项的的原原函函数数（原原函函数数的的全全体体）称称为为f(x)（或或 f(x)dx）在在I上上的不定积分，记的不定积分，记2 不定积分的定义：不定积分的定义：F(x)是是f(x)在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.3积分、微分之间的关系积分、微分之间的关系（性质）（性质）基基本本积积分分表表二、二、基本积分表基本积分表三、不定积分的性质三、不定积分的性质 性质性质1 性质性质2 四四 不定积分的计算不定积分的计算（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）例例1 解：原式解：原式 1、直接积分法：、直接积分法：对照积分表，变换被积函数。对照积分表，变换被积函数。变换技巧：对分式添项，拆项，对变换技巧：对分式添项，拆项，对三角函数进行三角变换。三角函数进行三角变换。例例3 3 求积分求积分解解例例2 解：原式解：原式例例4 4 求积分求积分解解例例5 例例6例例7 例例8 8 注注:(1):检验：求导验证。检验：求导验证。(2):基本方法基本方法:1)对照积分表，变换被积函数。对照积分表，变换被积函数。2)变换技巧：对分式添项，拆项，变换技巧：对分式添项，拆项，对三角函数进行三角变换。对三角函数进行三角变换。解：设解：设lnx=t，则，则x=et，原式变形为，原式变形为当当t 0时，时，当当t 0时，时，故故f(t)处处连续，于是有处处连续，于是有由此可得由此可得 C1=1+C2，令C2 =C2、第一类换元法（凑微法）、第一类换元法（凑微法）(1)例子例子 例例1 例例2例例3 一般一般 若若 则有则有（2）例）例1 例例2 一般一般例例2一般一般(3)例例1(4)例例1例例 2 求求一般一般（5）例）例1类似地类似地 例例2例例3例例4例例5 5 解解例例6 6 求求解解说明说明 1、当被积函数是三角函数相乘时，拆开、当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分奇次项去凑微分.（6）例）例1 法一法一 法二法二法三法三 类似地可得类似地可得 小结：（小结：（1）对一些常用的微分要熟悉，例如）对一些常用的微分要熟悉，例如（2）被积函数适当变形后再积分）被积函数适当变形后再积分（3）积分结果形式上可能不统一，特别是与三）积分结果形式上可能不统一，特别是与三角函数相关时。求导检验。角函数相关时。求导检验。（4）多练、多思）多练、多思 常用代换常用代换:3、第二类换元法（代入换元法）、第二类换元法（代入换元法）(1)(1)例例1 1 求求解解 令令例例2 2 求求解解 令令(2)例例1 求求 解：解：xat例例 2 求求解解令令(3)(3)例例1 1 求求解解 令令例例2 2 求求解解 令令(4)(4)例例1 1 求求解解Df=(，a)(a，+)令令x=u，则，则u（a，+）原式原式例例2 2 求求解解Df=(，3)(3，+)说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令为什么要讲上面三种情况？为什么要讲上面三种情况？通过配方，可化为上面三种通过配方，可化为上面三种情况之一。情况之一。例例4说明说明(2)(2)我们把一些结论作为基本积分表二我们把一些结论作为基本积分表二基基本本积积分分表表说明说明(3)(3)当分母当分母x的次数较高时的次数较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例1 求求 解：解：原式原式当当x 0时，原式时，原式 当当x 0时，有同样的结果时，有同样的结果.