（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文.doc

1第第 2 2 讲讲 圆锥曲线圆锥曲线考情考向分析 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab>0)，x2 a2y2 b2椭圆上任取点P，取焦点F(c,0)，(x0，y0)则PF中点M，(x0c 2，y02)根据条件可得Error!联立两式解得x04，y04c，代入椭圆方程解得a3，b3，22由此可得椭圆方程为1.x2 18y2 9同理，当F在y轴上时，椭圆方程为1.y2 18x2 9(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C：(x1)2y24 的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y2 垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为( )A1 B2 C1 D8答案 A解析 因为圆C：(x1)2y24 的圆心为C(1,0)，所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y24x，由Error!解得A(1,2)抛物线C2：x28y的焦点为F(0,2)，准线方程为y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值 1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练 1 (1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C：1 共焦点y2 6x2 2且渐近线方程为y±x的双曲线的标准方程为( )3Ax21 B.y21y2 3x2 3Cy21 D.x21x2 3y2 3答案 D解析 1 的焦点坐标为(0，±2)，y2 6x2 2双曲线的焦点为(0，±2)，可得c2，a2b2由渐近线方程为y±x，得 ，3a b3a，b1，3双曲线的标准方程为x21，故选 D.y2 3(2)如图，过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线方程为( )3Ay29x By26x Cy23x Dy2x3答案 C解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.设a，则由已知得2a，|BF|BC|由抛物线定义，得a，故BCD30°，|BD|在 RtACE中，|AF|3，33a，|AC|2|AE|，|AE|AC|33a6，从而得a1，3a3.|FC|p ，|FG|1 2|FC|3 2因此抛物线方程为y23x，故选 C.热点二 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e .c a1(ba)2(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e .c a1(ba)22双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为y±x.注意离心率e与渐近线的斜率的x2 a2y2 b2b a关系例 2 (1)(2018·永州模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F2，O为坐标原点，x2 a2y2 b2M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|OF2|3|OM|，则椭圆C的离心率为( )4A. B. C. D.1041065553答案 A解析 因为|OA|OF2|3|OM|，所以F1AF290°.设|AF1|m，|AF2|n，如图所示，由题意可得RtAF1F2RtOMF2，所以 ，|AF1| |AF2|OM| |OF2|1 3则mn2a，m2n24c2，n3m，解得m2，n29m26b2，2b2 3所以6b24c2，即c2，2b2 35a2c23解得e ，故选 A.c a104(2)(2018·全国)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的x2 a2y2 b22渐近线的距离为( )A. B2 C. D223 222答案 D解析 由题意，得e ，c2a2b2，得a2b2.c a2又因为a>0，b>0，所以ab，渐近线方程为x±y0，所以点(4,0)到渐近线的距离为2.422思维升华 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围5跟踪演练 2 (1)(2018·全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160°，则C的离心率为( )A1 B2 C. D.13233123答案 D解析 在 RtPF1F2中，PF2F160°，设椭圆的方程为1(a>b>0)，且焦距x2 a2y2 b2|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|，3由椭圆的定义可知，2a1，2c2，3得a，c1，所以离心率e 1.1 32c a21 33(2)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的焦距为 2c，直线l过点且与双曲线C的x2 a2y2 b2(2 3a，0)一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|c，则双曲线C的渐近线方程为( )4 23Ay±x By±x23Cy±2x Dy±4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为yx，则直线l的斜率kl ，b aa b直线l的方程为y，a b(x2 3a)整理可得axbya20.2 3焦点(c,0)到直线l的距离d，|ac2 3a2|a2b2|ac2 3a2| c则弦长为 22c，c2d2c2(ac23a2)2 c24 23整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得0.(e1)(e2)(e23e2)6又双曲线的离心率e>1，则e 2，c a所以 ，b ac2a2 a2(c a)213所以双曲线C的渐近线方程为y±x.3方法二 圆心到直线l的距离为 ，c2(2 23c)2c 3 ，c23ac2a20，|ac2 3a2| cc 3c2a，ba，渐近线方程为y±x.33热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例 3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1x2 a2y2 b2的直线交椭圆于A，B两点(1)若直线AB与椭圆的长轴垂直，|AB|a，求椭圆的离心率；1 2(2)若直线AB的斜率为 1，|AB|，求椭圆的短轴与长轴的比值2a3 a2b2解 (1)由题意可知，直线AB的方程为xc，|AB|a，2b2 a1 2即a24b2，故e .c aa2b2 a21b2a232(2)设F1(c,0)，则直线AB的方程为yxc，联立Error!消去y，得(a2b2)x22a2cxa2c2a2b20，4a4c24a2(a2b2)(c2b2)8a2b4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，2a2c a2b2a2c2b2a2b2|AB|x1x2|117··2x1x224x1x228a2b4a2b2，4ab2 a2b22a3 a2b2a22b2， ，b2 a21 2，即椭圆的短轴与长轴之比为.2b 2a2222思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解跟踪演练 3 如图所示，抛物线y24x的焦点为F，动点T(1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)；(2)若m>0 且|NF|TF|，求m的值及点N的坐标(1)证明 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，动点T(1，m)在准线上，则kTF .m 2当m0 时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上；当m0 时，由条件知kPQ ，2 m所以直线PQ的方程为y (x1)2 m联立Error!消去y，得x2(2m2)x10，(2m2)24m2(4m2)>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可知x1x22m2，y1y2 (x1x22)2m.2 m所以弦PQ的中点N，又T(1，m)，(2m2 2，m)8所以kNT0，则NT平行于x轴综上可知，线段NT平行于x轴(或在x轴上)(2)解 已知|NF|TF|，在TFN中，tanNTF1，得NTF45°，|NF| |TF|设A是准线与x轴的交点，则TFA是等腰直角三角形，所以|TA|AF|2，又动点T(1，m)，其中m>0，则m2.因为NTF45°，所以kPQtan 45°1，又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为yx1.由m2，得T(1,2)，由(1)知线段NT平行于x轴，设N(x0，y0)，则y02，代入yx1，得x03，所以N(3,2)综上可知，m2，N(3,2)真题体验1(2017·北京)若双曲线x21 的离心率为，则实数m_.y2 m3答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a1，b2m，c，1m故双曲线的离心率e ，c a1m31m3，解得m2.2(2017·全国改编)若双曲线C：1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x2)x2 a2y2 b22y24 所截得的弦长为 2，则双曲线C的离心率为_答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为yx，b a圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为.22123由点到直线的距离公式，得，解得b23a2.|2b|a2b239所以双曲线C的离心率e 2.c ac2 a21b2a23(2017·全国改编)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在3x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为_答案 23解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式，可得直线MF的方程为y(x1)3联立方程组Error!解得Error!或Error!点M在x轴的上方，M(3,2)3MNl，N(1,2)3|NF|4，11202 32|MF|MN|3(1)4.MNF是边长为 4 的等边三角形点M到直线NF的距离为 2.34(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a>0，b>0)的右支与焦点为Fx2 a2y2 b2的抛物线x22py(p>0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案 y±x22解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!消去x，得a2y22pb2ya2b20，y1y2.2pb2 a2又|AF|BF|4|OF|，y1 y2 4× ，即y1y2p，p 2p 2p 2p，即 ， ，2pb2 a2b2 a21 2b a2210双曲线的渐近线方程为y±x.22押题预测1已知F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的x2 a2y2 b2垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为( )AF21 3F2BA. B. C. D262523押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案 A解析 由F2(c,0)到渐近线yx的距离为db，即b，则3b.b abca2b2|AF2|BF2|在AF2O中，c，tanF2OA ，tanAOB，化简可得|OA|a，|OF2|b a4b a2 ×b a1(ba)2a22b2，即c2a2b2a2，即e ，故选 A.3 2c a622已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为 ，且点在该椭圆上x2 a2y2 b21 2(1，3 2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为，求圆6 27心在原点O且与直线l相切的圆的方程押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解 (1)由题意可得e ，c a1 2又a2b2c2，所以b2a2.3 4因为椭圆C经过点，(1，3 2)所以1，1 a29 4 3 4a211解得a24，所以b23，故椭圆C的方程为1.x2 4y2 3(2)由(1)知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1，由Error!消去x，得(43t2)y26ty90，显然>0 恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，6t 43t29 43t2所以|y1y2|y1y224y1y2 ，36t243t2236 43t212t2143t2所以SAOB ·|F1O|·|y1y2|1 2，6t2143t26 27化简得 18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)2 12 217 18又圆O的半径r，|0t× 01|1t211t2所以r，故圆O的方程为x2y2 .221 2A 组 专题通关1(2018·合肥模拟)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴y2 a2x2 b2的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点若M为AF的中点，且|6，则双AF曲线C的方程为( )A.1 B.1y2 2x2 8y2 8x2 2Cy21 D.x21x2 4y2 4答案 C解析 设M为双曲线虚轴的右端点，12由题意，可得F(0，c)，M(b,0)，则A(2b，c)，由题意可得Error!解得a1，b2，所以双曲线C的方程为y21.x2 42(2018·潍坊模拟)设P为双曲线1 右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左、x2 a2y2 b2右焦点，c，e分别表示该双曲线的半焦距和离心率若·0，直线PF2交y轴于点PF1PF2A，则AF1P的内切圆的半径为( )Aa Bb Cc De答案 A解析 根据题意·0，可知AF1P是直角三角形，根据直角三角形的内切圆的半径PF1PF2公式以及双曲线的定义可知2r|PF1|PA|AF1|PF1|PA|AF2|PF1|(|AF2|PA|)|PF1|PF2|2a，求得ra，故选 A.3(2018·天津)已知双曲线1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的x2 a2y2 b2直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为( )A.1 B.1x2 3y2 9x2 9y2 3C.1 D.1x2 4y2 12x2 12y2 4答案 A解析 设双曲线的右焦点为F(c,0)将xc代入1，得1，x2 a2y2 b2c2 a2y2 b2y±.b2 a不妨设A，B.(c，b2 a)(c，b2 a)双曲线的一条渐近线方程为yx，即bxay0，b a则d1 (cb)，|b·ca·b2 a|b2a2|bcb2| cb c13d2 (cb)，|b·ca·b2 a|b2a2|bcb2| cb cd1d2 ·2c2b6，b3.b c 2，c2a2b2，a23，c a双曲线的方程为1.x2 3y2 9故选 A.4(2018·全国)设F1，F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原x2 a2y2 b2点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为( )6A. B2 C. D.532答案 C解析 如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P，连接PF2，由题意可知，四边形PF1PF2为平行四边形，且PPF2是直角三角形因为|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，6所以|F2P|ab，2所以ca，所以e .a2b23c a35(2018·全国)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90°，则k_.答案 2解析 方法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!yy4(x1x2)，k.2 12 2y1y2 x1x24 y1y2设AB的中点为M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1 的垂线，垂足为A，B，则|MM| |AB| (|AF|BF|)1 21 214 (|AA|BB|)1 2M(x0，y0)为AB的中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.2k24 k2由M(1,1)，得(1x1,1y1)，AM(1x2,1y2)BM由AMB90°，得·0，AMBM(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，2k24 k2(12k24 k21)(2k24 k22)整理得 10，解得k2.4 k24 k6(2018·北京)已知椭圆M：1(a>b>0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条x2 a2y2 b2x2 m2y2 n2渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_答案 1 23解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y±x，则 tan 60°，n mn m3双曲线N的离心率e1满足e14，e12.2 1n2 m2由Error!得x2.a2b2 3a2b2如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|2xc，4x2c2.a2b2，得 3a46a2b2b40，4a2b2 3a2b2320，解得23.6b2 a2(b2 a2)b2 a2315椭圆M的离心率e2满足e142.2 2b2 a23e21.3方法二 双曲线N的渐近线方程为y±x，n m则 tan 60°.n m3又c12m，双曲线N的离心率为2.m2n2c1 m如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为 1，则|FC|2c22，即c21.又E为椭圆M上一点，则|EF|EC|2a，即 12a，3a.1 32椭圆M的离心率为1.c2 a21 337(2018·衡阳模拟)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2pxy2p20 交于C，D两点，若|AB|3|CD|，则直3 4线l的斜率为_答案 ±22解析 由题意得F，由x2pxy2p20，配方得2y2p2，(p 2，0)3 4(xp 2)所以直线l过圆心，可得|CD|2p，(p 2，0)若直线l的斜率不存在，则l：x ，|AB|2p，|CD|2p，不符合题意，p 2直线l的斜率存在可设直线l的方程为yk，(xp 2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error!16化为x2x0，(p2p k2)p2 4所以x1x2p，2p k2所以|AB|x1x2p2p，2p k2由|AB|3|CD|，所以 2p6p，2p k2可得k2 ，所以k±.1 2228(2018·郑州模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且离心率为 ，x2 a2y2 b21 2ABC的三个顶点都在椭圆C上，设ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为 0.O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为 1，则_.1 k11 k21 k3答案 4 3解析 由题意可得c1， ，c a1 2所以a2，b，3椭圆C：1，x2 4y2 3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，(x3，y3)1，1，x2 1 4y2 1 3x2 2 4y2 2 3两式作差得，(x2x1)(x2x1)4(y2y1)(y2y1)3则，kOD，(x2x1)(y2y1)4(y2y1)3(x2x1)1 k14 3同理可得kOM，kOE，1 k34 31 k24 3所以 .1 k11 k21 k34 3(kODkOEkOM)4 39(2018·全国)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k>0)17设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.2k24 k2所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).4k24 k2由题意知8，解得k1(舍去)或k1.4k24 k2因此l的方程为xy10.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.10(2018·天津)设椭圆1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率x2 a2y2 b2为，|AB|.5313(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(kx1>0，点Q的坐标为(x1，y1)由BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，可得|PM|2|PQ|，从而x2x12x1(x1)，即x25x1.由题意求得直线AB的方程为 2x3y6，由方程组Error!消去y，可得x2.6 3k2由方程组Error!消去y，可得x1 .69k24由x25x1，可得5(3k2)，两边平方，9k2418整理得 18k225k80，解得k 或k .8 91 2当k 时，x29a>时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a时，截口曲线 2为抛物线；与PH夹角>a>0 时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线AMAB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选 D.12双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与C的左支相交于M，N两点，若MNF2的一个内角为 60°，则C的离心率为_19答案 312解析 画出图形如图所示，设双曲线方程为1(a>0，b>0)x2 a2y2 b2由题意得MNF2是等边三角形，点M，N关于x轴对称，且|F1M|F1N|2c，MF1N120°.点M的横坐标为c2c·cos 60°2c，纵坐标为 2c·sin 60°c，3故点M(2c，c)3又点M在双曲线1(a>0，b>0)上，x2 a2y2 b21，即1，4c2 a23c2 b24c2 a23c2 c2a2整理得 4c48c2a2a40，4e48e210，解得e2，8 ±4884 ± 2 34e，3 ± 12又e>1，故e.31213已知直线MN过椭圆y21 的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点Ox2 2与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则_.|PQ|2 |MN|答案 22解析 方法一 特殊化，设MNx轴，则|MN|，|PQ|24，2.2b2 a222|PQ|2 |MN|422方法二 由题意知F(1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|，|PQ|2b2，2b2 a2则2；|PQ|2 |MN|2当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，20则MN的方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程Error!整理得(2k21)x24k2x2k220，8k28>0.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，4k2 2k212k22 2k21则|MN|.1k2 x1x224x1x22 2k212k21直线PQ的方程为ykx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则Error!解得x2，y2，2 12k22k2 12k2则|OP|2xy，2 32 321k212k2又|PQ|2|OP|，所以|PQ|24|OP|2，81k212k2所以2.|PQ|2 |MN|2综上，2.|PQ|2 |MN|214(2017·天津)已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为F(c,0)，右顶点为A，点E的坐x2 a2y2 b2标为(0，c)，EFA的面积为.b2 2(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段AE上，|FQ|，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，3c 2PMQN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为 3c.求直线FP的斜率；求椭圆的方程解 (1)设椭圆的离心率为e.由已知可得 (ca)c.1 2b2 2又由b2a2c2，可得 2c2aca20，即 2e2e10，解得e1 或e .1 2又因为 00)，则直线FP的斜率为 .1 m由(1)知a2c，可得直线AE的方程为 1，x 2cy c即x2y2c0，与直线FP的方程联立，可得x，y，2m2cm23c m2即点Q的坐标为.(2m2cm2，3c m2)由已知|FQ|，3c 2有222，2m2cm2c(3c m2)(3c 2)整理得 3m24m0，所以m (m0 舍去)，4 3即直线FP的斜率为 .3 4由a2c，可得bc，3故椭圆方程可以表示为1.x2 4c2y2 3c2由得直线FP的方程为 3x4y3c0，与椭圆方程联立得Error!消去y，整理得 7x26cx13c20，解得x(舍去)或xc.13c 7因此可得点P，(c，3c 2)进而可得|FP|，cc2(3c2)25c 2所以|PQ|FP|FQ|c.5c 23c 2由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP，所以|QN|FQ|·tanQFN× ，3c 23 49c 822所以FQN的面积为 |FQ|QN|.1 227c2 32同理FPM的面积等于.75c2 32由四边形PQNM的面积为 3c，得3c，75c2 3227c2 32整理得c22c.又由c>0，得c2.所以椭圆的方程为1.x216y212