学高中数学数列数列在日常经济生活中的应用北师大版必修.pptx
-1-数列在日常经济生活中的应用1.等差数列和等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.2.数列应用题常见模型:(1)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+xr).(2)银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+r)x.(3)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x.第1页/共26页-2-(4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年利率,n为贷款年限,b为等额还款数,【做一做2-1】有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,则细菌将病毒全部杀死至少需要().A.6秒 B.7秒C.8秒 D.9秒解析:依题意,得1+21+22+2n-1100,整理得2n101.故n7,则所求为7秒钟.答案:B第2页/共26页-3-【做一做2-2】在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,表中()处由上到下依次填().A.13686B.14185C.14085D.14086答案:C第3页/共26页-4-题型一题型二题型三题型一 等差数列的应用【例1】某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)分析:由于总利润=第n档次的件数第n档次每件的利润,因此需要求出第n档次的件数及第n档次的利润的表达式.第4页/共26页-5-题型一题型二题型三解:设在相同的时间内,从低到高每档次产品生产的件数分别为a1,a2,a10(单位:件),对应每档次产品的利润分别为b1,b2,b10(单位:元),则an,bn均为等差数列,且a1=60,d=-3,b1=8,d=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864元.答:在相同的时间内,生产第9档次的产品可以获得最大利润.反思对于实际问题,通常需要建立适当的数学模型,本题即从实际问题中抽象出两个等差数列,进而利用二次函数的最值,获得结果.在建立模型时,一般要依据所求问题设定,常用的模型工具有方程、不等式、函数等.第5页/共26页-6-题型一题型二题型三【变式训练1】有一种零存整取的储蓄项目,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取,它的本利和公式如下:(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月存入100元,月利率为0.51%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月存入一笔金额,月利率是0.51%,希望到第12个月取得本利和2 000元,那么每月应存多少金额?第6页/共26页-7-题型一题型二题型三第7页/共26页-8-题型一题型二题型三题型二 等比数列的应用(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?分析:(1)n年内总投入组成等比数列,n年内总收入也组成等比数列.(2)当旅游业总收入超过总投入时,其组成数列的通项之差应大于0.第8页/共26页-9-题型一题型二题型三第9页/共26页-10-题型一题型二题型三第10页/共26页-11-题型一题型二题型三反思因为数列在现实生活中有着广泛的应用,所以数列应用题在数列中占有一定的地位.解决这类问题的基本步骤为:(1)仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型;(2)挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题,然后利用数列的有关知识进行解答,得出结果;第11页/共26页-12-题型一题型二题型三(3)检验结果,写出答案.在数列应用题中,如果增加(或减少)的量是一个固定量,那么该模型即为等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差,则可把应用问题抽象为数学中的等差数列问题,然后用等差数列知识对模型解析,最后再返回实际中去;如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比,解此类题型的思路同等差数列模型;如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑an与an+1的递推关系,或考虑前n项和Sn与Sn+1的递推关系.第12页/共26页-13-题型一题型二题型三【变式训练2】一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.试问这个热气球上升的高度能超过125 m吗?第13页/共26页-14-题型一题型二题型三题型三 等差数列与等比数列的综合应用【例3】某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(1)写出Tn与Tn-1(n2)的递推关系式;(2)求证:Tn=An+Bn,其中An是一个等比数列,Bn是一个等差数列.第14页/共26页-15-题型一题型二题型三分析在(1)中,根据题意直接写出递推公式;在(2)中,证明数列是等差和等比数列,可以采用通项公式法证明,求出An和Bn的通项公式,再进行证明.(1)解:由题意有,Tn=Tn-1(1+r)+an(n2).(2)证明:T1=a1,对n2反复使用上述关系式,得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+an-1(1+r)+an,在式两端同乘1+r,得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+an-1(1+r)2+an(1+r),第15页/共26页-16-题型一题型二题型三第16页/共26页-17-题型一题型二题型三反思由于应用题的题目较长,相关学科知识与数学知识互相渗透,知识面较广,极易造成阅读和理解上的困难,这就要求有较强的阅读理解能力,阅读理解及“审题”应分为“初读”和“熟读”两个层次,“初读”时要求一字一句地读,理解其含义,搞清题目的大概意思,“熟读”则应着重研究题目涉及哪几个量,这几个量有什么关系,是等差数列模型还是等比数列模型等.第17页/共26页-18-题型一题型二题型三【变式训练3】为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n);(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.第18页/共26页-19-题型一题型二题型三第19页/共26页-20-题型一题型二题型三第20页/共26页-21-123451某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个,2小时后分裂成8个,3小时后分裂成16个按此规律,6小时后细胞的个数是().A.63B.64C.127D.128解析:细胞分裂的个数依次构成等比数列,记为an,则a1=2,公比q=2,所以a7=a1q6=226=128.答案:D第21页/共26页-22-12345答案:A 第22页/共26页-23-123453某化工厂在国家积极财政政策的推动下,积极吸收外资,盘活工厂活力.从2014年1月起,到2016年12月止的36个月中,月产值不断递增且构成等比数列an,若逐月累计的产值Sn=a1+a2+an满足关系式Sn=101an-36,则该厂的年增长率为(提示:1.01121.126 8,精确到万分位)().A.12.66%B.12.68%C.12.69%D.12.70%解析:由题意,得Sn=101an-36,an+1=Sn+1-Sn=101an+1-101an,月增长率为1%,年增长率为(1+1%)12-112.68%.答案:B第23页/共26页-24-123454九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.第24页/共26页-25-123455有10台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.若同时投入工作至收割完毕需用24 h,但现在它们是每隔相同的时间顺次投入一台工作,每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍,求用这种收割方法收割完这片庄稼需用多长时间.分析:收割完这片庄稼需用时间就是第一台收割机工作的时间.该数列模型是等差数列.解:设an h表示第n台收割机工作的时间,由题意知数列an是等差数列,S10=240,解得a1=40,即用这种方法收割完这片庄稼共需40 h.第25页/共26页
