向量的数量积和向量积.pptx

一、两向量的数量积1 定义两个向量a a和b b的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量a与b的数量积，记作ab,b,即数量积也称点积。力学意义：一物体在力F的作用下，沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为,如右图，则力对物体做的功为BSAF第1页/共16页2 性质：（1）aa=|a|a=|a|2 2（2）（3）表示两非零向量a a和b b的夹角，则有第2页/共16页3 运算律（1）交换律（2）分配律（3）结合律其中为常数。4 数量积的计算公式设向量则有第3页/共16页证明：则有两非零向量a a和b b的夹角的余弦坐标表示为 第4页/共16页此时，对于非零向量a，b，有5 向量在轴上的投影设A为空间一点，u轴已知，如图。Au过点A作与轴垂直的平面，平面与轴的交点A称为A在轴上的投影。A对于已知向量 ，u轴上的有向线段 的模称为向量 在轴u 上的投影，它是一个数量，记作BB第5页/共16页那么为向量 与轴u的夹角。用e表示u轴上的单位向量，则aee为向量a a在e e方向上的投影，那么有例1 已知a=1，1，-4，b=1，-2，2，求：（1）abb；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影。第6页/共16页解：（1）（2）所以（3）因为所以第7页/共16页例2 求证余弦定理为边CACA，CBCB的夹角。证明：如图所示的ABCABC，令ABC可得那么所以证毕第8页/共16页二、两向量的向量积二、两向量的向量积1 定义设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：（1）|c|=|a|b|sin，为向量a a和b b的夹角；（2），且向量a，b，c的方向满足右手定则，如图；那么向量c称为向量a和b的向量积，记作ab，即C=ab向量积又称为叉积。向量积模的几何意义是：以a，b为邻边的平行四边形的面积。abc第9页/共16页O为一根杠杆L的支点，LOPF有一个力F作用于其上点P处，F与 的夹角为，由力学规定，力F对支点O的力矩是一个向量M，Q它的模而M的方向垂直于 与F所决定的平面，M的指向是是按右手规则从 以不超过的角的转向F F来确定，因而实际上力学意义：力矩，如下图所示。第10页/共16页2 两向量积的性质（1）aa=o；（2）（3）若ao，bo，a，b的夹角为，则3 两向量的向量积的运算律（1）ab=-ba；（2）（a）b=a（b）=（ab（为常数）（3）（a+b）c=ac+bc第11页/共16页4 两向量的向量积的坐标表示设向量则有此时，对于非零向量a，b，有约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。第12页/共16页例3 设向量解：例4 设向量问ab与c是否平行？解：显然故ab/c.第13页/共16页例5 问向量是否共面？解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？）由于所以，=4-2-2=0因而a，b，c共面。第14页/共16页 例6 求以点A（1，2，3），B（3，4，5）和C（-1，-2，7）为顶点的三角形的面积S。解：根据向量积模的几何意义可知，所求三角形的面积等于而故所以第15页/共16页谢谢您的观看！第16页/共16页