向量数乘运算及其几何意义上课.pptx
知识回顾知识回顾BAbao.OO.C C C Ca+bbaABba+ba1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则:2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则:首尾相连首尾接起点相同连对角o.BAa-bab3.3.向量减法法则向量减法法则:共起点，连终点，方向指共起点，连终点，方向指向被减数向被减数第1页/共25页-a-a-aPQMNaaaABCOa已知非零向量a a，作a+a+aa+a+a和(-a)+(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a)第2页/共25页 当当当当0000时时时时,a,a,a,a的方向与的方向与的方向与的方向与a a a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当0000)(0)(0)(0)倍，倍，倍，倍，即有即有即有即有|b|=|a|,|b|=|a|,|b|=|a|,|b|=|a|,且且且且第9页/共25页四、向量共线定理四、向量共线定理四、向量共线定理四、向量共线定理 向量向量向量向量b b b b与与与与非零向量非零向量非零向量非零向量a a a a共线共线共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数一个实数一个实数，使得，使得，使得，使得 b=a.b=a.b=a.b=a.即：即：即：即：1.a向量为零向量时，若向量为零向量时，若b向量是零向量，向量是零向量，是取任何常数是取任何常数都成立；若都成立；若b向量不是零向量，向量不是零向量，取任何数都不对。取任何数都不对。2.b向量为零向量时，若向量为零向量时，若a向量是零向量，向量是零向量，是取任何常数是取任何常数都成立都成立(注意：这样注意：这样就不唯一了！就不唯一了！)；若；若a向量不是零向量不是零向量，向量，就只能取就只能取0了（此时了（此时唯一哦）。唯一哦）。第10页/共25页解：作图如右解：作图如右解：作图如右解：作图如右OABC依图猜想依图猜想依图猜想依图猜想:A:A:A:A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线 A A A A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线.abbbba例例2 2、已知任意两非零向量、已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3bOA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？AB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OA AC=2ABAC=2ABAC=2ABAC=2AB又又又又 AC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b=a+3b-(a+b)=2b=a+3b-(a+b)=2b=a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=b=a+2b-(a+b)=b=a+2b-(a+b)=b=a+2b-(a+b)=b又又又又 ABABABAB与与与与ACACACAC有公共点有公共点有公共点有公共点A A A A，第11页/共25页AEDCB解：解：解：解：=3 AC=3 AC=3(AB+BC)=3(AB+BC)AB+BC=ACAB+BC=AC =3 AB+3 BC=3 AB+3 BC又又 AE=AD+DEAE=AD+DE ACAC与与AE AE 共线共线如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BCDE=3BCDE=3BC，试证明，试证明，试证明，试证明ACACACAC与与与与AEAEAEAE共线。共线。共线。共线。摇身一变摇身一变例例3 3：又又又又 ACACACAC与与与与AEAEAEAE有公共点有公共点有公共点有公共点A A A A，A A A A、C C C C、E E E E三点共线三点共线三点共线三点共线.定理应用定理应用变式变式1 1：如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABAD=3AB、AE=3ACAE=3ACAE=3ACAE=3AC，试证明，试证明，试证明，试证明BCBCBCBC和和和和DEDEDEDE共线。共线。共线。共线。变式变式：如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BCDE=3BCDE=3BC，试判断试判断试判断试判断A A A A、C C C C、E E E E三点位置关系三点位置关系三点位置关系三点位置关系?结论：向量共线定理可用来解决向量共线定理可用来解决向量共线定理可用来解决向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。向量共线和三点共线问题。向量共线和三点共线问题。向量共线和三点共线问题。第12页/共25页判断下列各小题中的向量判断下列各小题中的向量a与与b是否共线是否共线.第13页/共25页 二、知识应用：二、知识应用：二、知识应用：二、知识应用：1.1.1.1.证明证明证明证明 向量共线；向量共线；向量共线；向量共线；2.2.2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理 a a a a 的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理向量共线定理向量共线定理 (a0)(a0)(a0)(a0)b=a b=a b=a b=a 向量向量向量向量a a a a与与与与b b b b共线共线共线共线第14页/共25页C.A.B.2.设 是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().D.1.下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个BC第15页/共25页3.在 中,设D为边的中点,求证:解：因为（）（）所以，所证等式成立所以，所证等式成立第16页/共25页E过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:第17页/共25页（C）分析分析:由 所以 在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,则 等于 4.4.5.5.ABCD第18页/共25页6.6.如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点中，点中，点MM是是是是ABAB中点，点中点，点中点，点中点，点N N在线段在线段在线段在线段BDBD上，且有上，且有上，且有上，且有BN=BDBN=BD，求证：，求证：，求证：，求证：MM、N N、C C三点共线。三点共线。三点共线。三点共线。提示：设提示：设提示：设提示：设AB =AB =a a BC =BC =b b则则则则MN=MN=a+a+b b MC=MC=a+a+b b第19页/共25页对于任意一个三角形，对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做三角形的三条高的交点叫做垂心垂心，三角形的三条中线的交点所为三角形的三条中线的交点所为重心重心，三角形的三条角平分线的交点叫三角形的三条角平分线的交点叫内心内心，三角形的三条中垂线的交点叫三角形的三条中垂线的交点叫外心外心 第20页/共25页思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ，与与 分别有什么关系？分别有什么关系？ABCDM第21页/共25页思考思考2 2：若存在实数若存在实数，使，使 ，则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？思考思考3 3：如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、的关系如何？的关系如何？A AB BP PO O第22页/共25页7 7:若若其中其中 ,是是已知向量已知向量,求求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记 ，3得 -得第23页/共25页例6:8 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设 请用 .ECODBA 分析分析:解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。解：解：因为A是BC的中点，所以 第24页/共25页谢谢您的观看！第25页/共25页
