塑性力学 应力和应变.pptx
3.1 3.1 应力分析应力分析一、应力张量及其分解一、应力张量及其分解(1)一点的应力状态一点的应力状态通过一点P 的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：第1页/共33页(2)应力张量应力张量一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，称为应力张量。上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法定义：写法：采用张量下标记号的应力写法把坐标轴把坐标轴x、y、z分别分别用用x1、x2、x3表示，表示，或简记为或简记为xj(j=1,2,3),第2页/共33页(3)斜截面上的应力与应力张量的关系斜截面上的应力与应力张量的关系在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。N是单位向量，其方向作弦为则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量 之间的关系采用张量下标记号，可简写成说明：说明：i）重复出现的下标叫做求和下标求和下标，相当于 这称为求和约定；ii）不重复出现的下标i叫做自由下标自由下标，可取i=1,2,3；第3页/共33页(4)应力张量的分解应力张量的分解1.静水“压力”：l在静水压力作用下，应力在静水压力作用下，应力应变间服从弹性规律，且不会屈应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形。服、不会产生塑性变形。应力不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分反映静水“压力”：2.平均正应力：第4页/共33页3.应力张量的分解：应力张量可作如下分解：用张量符号表示：其中：或第5页/共33页应力球张量应力球张量单位球张量应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力 而没有剪应力的状态。应力偏张量应力偏张量应力偏张量与单元体的体积变形有关第6页/共33页说明：说明：材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的由应力偏张量引起的。应力张量的这种分解在塑性力。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。学中有重要意义。第7页/共33页二、主应力和应力不变量二、主应力和应力不变量（1）主应力）主应力1.一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向 若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；（2）应力主向）应力主向主应力 所在的平面 称为主平面；主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；根据主平面的定义，根据主平面的定义，S SN N与与N N重合。若重合。若S SN N的大小为的大小为 ，则它在各，则它在各坐标轴上的投影为坐标轴上的投影为代入（代入（3-33-3）式）式第8页/共33页应有 或即 将这个行列式展开得到其中第9页/共33页2.应力张量的不变量应力张量的不变量当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 均将改变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量应力张量的三个不变量。可以证明方程（可以证明方程（3-93-9）有三个实根，即三个主应力）有三个实根，即三个主应力当用主应力来表示不变量时当用主应力来表示不变量时第10页/共33页n应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为（称为主偏应力主偏应力）为：）为：应力偏张量也有三个不变量：第11页/共33页其中应力偏张量的第二不变量其中应力偏张量的第二不变量 今后用得最多。今后用得最多。再介绍它的其他几个表达式：再介绍它的其他几个表达式：在第四章中将看到，在屈服条件中起重要作用。至于 可以注意它有这样的特点：不管 的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有 。这暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。说明：说明：第12页/共33页三、等斜面上的应力三、等斜面上的应力n等斜面等斜面：通过某点做平面通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴该平面的法线与三个应力主轴夹角相等夹角相等n八面体面：八面体面：满足（满足（3-203-20）式的面共有八个，构成）式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。一个八面体，如图所示。等斜面常也被叫做八面体面等斜面常也被叫做八面体面。若八面体面上的应力向量用若八面体面上的应力向量用F F8 8表示，则按（表示，则按（3-33-3）式有）式有设在这一点取设在这一点取 坐标轴与三个应力主轴一致，坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为则等斜面法线的三个方向余弦为第13页/共33页八面体面素上的正应力为八面体面素上的正应力为八面体面素上的剪应力为八面体面素上的剪应力为说明：说明：八面体面上的应力向量可分解为两个分量：八面体面上的应力向量可分解为两个分量：i)i)垂直于八面体面的分量，即正应力垂直于八面体面的分量，即正应力，它与应力球张，它与应力球张量有关，或者说与量有关，或者说与有关；有关；ii)ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力沿八面体面某一切向的分量，即剪应力，与应力，与应力偏张量的第二不变量偏张量的第二不变量有关。有关。第14页/共33页四、等效应力四、等效应力1.定义：定义：如果假定如果假定相等的两个应力状态的力学效应相同，那么相等的两个应力状态的力学效应相同，那么对一般应力状态可以定义：对一般应力状态可以定义：在塑性力学中称为应力强度应力强度或等效应力等效应力注意：这里的注意：这里的“强度强度”或或“等效等效”都是在都是在 意义下衡量的意义下衡量的2.等效应力等效应力 的特点的特点l与空间坐标轴的选取无关；与空间坐标轴的选取无关；l各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；数值不变，即与应力球张量无关；l 全反号时全反号时 的数值不变。的数值不变。第15页/共33页3.空间空间空间指的是以空间指的是以的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应力）状态的距离或差别的大小。力）状态的距离或差别的大小。联系到（联系到（3-17）式）式，不难看出不难看出 代表代表 空间的中的广义距离空间的中的广义距离4.等效剪应力等效剪应力联系到（联系到（3-19）式）式，可知可知或或也可以定义也可以定义,剪应力强度剪应力强度或或等效剪应力等效剪应力:第16页/共33页5.八面体剪应力、等效应力八面体剪应力、等效应力 和等效剪应力之间的换算和等效剪应力之间的换算关系为：关系为：说明：说明：这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效等效”（在在 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的状态的“强度强度”作出定量的描述和比较。作出定量的描述和比较。第17页/共33页五五、三向三向MohrMohr圆和圆和LodeLode应力参数应力参数在在平面上平面上三点中的任意两点为直径端点，三点中的任意两点为直径端点，可作出三个可作出三个MohrMohr圆，如图圆，如图3-3.3-3.其半径为：其半径为：称为主剪应力称为主剪应力最大剪应力最大剪应力1.三向三向Mohr圆圆第18页/共33页2.Lode应力参数应力参数 分析分析 由图由图3-4可见，若在已知应力状态上可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三叠加一个静水压力，其效果仅使三个个 Mohr圆一起沿圆一起沿 轴平移一个距离轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变并不改变Mohr圆的大小圆的大小。结论结论 轴的位置与屈服及塑性变形无关，轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是决定屈服与塑性变形的只是MohrMohr圆圆本身的大小。本身的大小。第19页/共33页l若将若将 轴平移到轴平移到 ，并使，并使则：则：移轴后的三向移轴后的三向Mohr圆正是描述应力圆正是描述应力偏张量的三向偏张量的三向Mohr圆，如图所示。圆，如图所示。lM点是点是P1P2线段的中点线段的中点Lode在在1925年引进的参数年引进的参数第20页/共33页lLode应力参数应力参数当当P2点由点由P3移向移向P1时，时，的变化范围是：的变化范围是：下面三个特殊情况是常用到的：下面三个特殊情况是常用到的：i i)单向拉伸：单向拉伸：ii)ii)纯剪切：纯剪切：iii)iii)单向压缩：单向压缩：只由只由P1、P2、P3三点的相对位置决定而与三点的相对位置决定而与 坐标原点坐标原点的选择无关，故的选择无关，故 是描述应力偏张量的一个特征值。是描述应力偏张量的一个特征值。综上所述，综上所述，综上所述，综上所述，OOOOOOOO 表示了一点应力状态的球张量部分；而以表示了一点应力状态的球张量部分；而以表示了一点应力状态的球张量部分；而以表示了一点应力状态的球张量部分；而以O O O O 为坐标原点的三向为坐标原点的三向为坐标原点的三向为坐标原点的三向MohrMohrMohrMohr圆（由圆（由圆（由圆（由 和和和和 所确定）则表示所确定）则表示所确定）则表示所确定）则表示了应力的偏张量部分了应力的偏张量部分了应力的偏张量部分了应力的偏张量部分。第21页/共33页六六、应力空间和主应力空间应力空间和主应力空间1.应力空间应力空间一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。成一个六维应力空间来描述应力状态。l l一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。2.主主 应力空间应力空间（Haigh-WestergaardHaigh-Westergaard空间）空间）它是以它是以为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中的一个点，就确定了用主应力的一个点，就确定了用主应力所表示的一个应力状所表示的一个应力状态。态。第22页/共33页2.主主 应力空间的性质应力空间的性质l lL L直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。其方程为其方程为 显然，显然，L直直线上的点代表物体中承受静水应线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。将不产生塑性变形。l l平面：主应力空间中过原点而与平面：主应力空间中过原点而与L L直线垂直的平面。直线垂直的平面。其方程为其方程为 由于由于 平面上任一点的平均正平面上任一点的平均正应力为零，所以应力为零，所以 平面上的点对应于只有应力偏张平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态量、不引起体积变形的应力状态。第23页/共33页l l主应力空间中任意一点主应力空间中任意一点P P所确定的向量所确定的向量总可以分解为：总可以分解为：这样任意应力状态就被分解为两部分，这样任意应力状态就被分解为两部分，分别与应力球张量和应力偏张量部分分别与应力球张量和应力偏张量部分对应。对应。小结小结n物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力 球张量和应力偏张量两个部分。球张量和应力偏张量两个部分。n塑性变形只与应力偏张量有关。塑性变形只与应力偏张量有关。n三向三向Mohr应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何 形象和数学工具。形象和数学工具。第24页/共33页这样取这样取的目的是使的目的是使构成一个二阶对称张量，构成一个二阶对称张量，即即应变张量。应变张量。3.2 3.2 应变分析应变分析一、位移与应变的关系一、位移与应变的关系1.Cauchy公式公式其中其中与工程剪应变相差一半，即与工程剪应变相差一半，即 第25页/共33页张量记法张量记法:以以记记,以以记记。记号约定：记号约定：以下标之间的逗号表示微商以下标之间的逗号表示微商如如Cauchy公式的张量形式：公式的张量形式：（3-293-29）（3-293-29）式是在小变形条件建立的。）式是在小变形条件建立的。第26页/共33页二二、应变张量的分解应变张量的分解应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即（3-313-31）应变球张量应变球张量 它与弹性的体积改变部分有关；其中称其中称为平均正应变为平均正应变应变偏张量应变偏张量 只反映变形中形状改变的那部分。第27页/共33页二二、应变张量的不变量应变张量的不变量l l应变偏张量的三个不变量用应变偏张量的三个不变量用表示表示：其中其中分别是主应变和应变偏张量的主值。分别是主应变和应变偏张量的主值。第28页/共33页l l应变偏张量的分解：应变偏张量的分解：第29页/共33页三、等效应变和三、等效应变和LodeLode应变参数应变参数l l等斜面（八面体面）上的正应变和剪应变：等斜面（八面体面）上的正应变和剪应变：l l等效应变等效应变和等效剪应变和等效剪应变第30页/共33页l lLodeLode应变参数应变参数三个特殊情况为：三个特殊情况为：i)i)单向拉伸：单向拉伸：则则=-1.=-1.ii)ii)纯剪切：纯剪切：则则=0.=0.iii)iii)单向压缩：单向压缩：则则=1.=1.在一般情况下在一般情况下的变化范围是的变化范围是第31页/共33页四、应变率张量和应变增量张量四、应变率张量和应变增量张量l l应用小变形的应用小变形的CauchyCauchy公式求得相应的应变：公式求得相应的应变：应变率张量应变率张量这样定义的这样定义的，不论，不论大小都成立，但要求是对每一瞬时大小都成立，但要求是对每一瞬时状态进行计算，而不是按初始位置计算的状态进行计算，而不是按初始位置计算的.应变率张量应变率张量2.2.应变增量张量应变增量张量第32页/共33页谢谢您的观看！第33页/共33页
