正方形的判定6.doc.pdf

第 2课时正方形的判定证明：CD 平分 ACB，DE BC，DF AC，DE DF，DFC 90，DEC 90.又 ACB 90，四边形 CEDF 是矩形 DE DF，矩形 CEDF 是正方形方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形1掌握正方形的判定条件；(重点)2能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算 (难点)【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形 90，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，且 CF AE.(1)试判断四边形形？并说明理由；如图，在四边形 ABFC 中，ACBEF 交 BC 于点 D，一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现 4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形这种检验对吗？BECF是什么四边(2)当 A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4条线段，发现它们是相等的按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形的意见怎样？呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定你你认为应该如何检验，才能又快又准确解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形EC，BF FC.又 CF AE，可证 BE EC BF FC.根据“四边相等的四边形是菱形”，四边形 BECF 是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当 ABC 45时，EBF 90，有菱形为正方形根据“直角三角形中两个角锐角互余”得 A 45.如图，在 Rt ABC 中，ACB 90，CD 为 ACB 的平分线，DE BC 于点E，DF AC 于点 F.求证：四边形正方形解：(1)四边形 BECF 是菱形理由如下：EF 垂直平分 BC，BF FC，BE EC，3 1.ACB 90，3 490，1 2 90，2 4，ECAE，BE AE.CF AE，BE EC CF BF，四边形 BECF 是菱形；(2)当 A 45时，菱形 BECF 是正方CEDF是解析：要证四边形 CEDF 是正方形，则要先证明四边形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可形证明如下：A 45，ACB 90，方法总结：此题考查了正方形的判定与 3 45，EBF 2 3 90，菱形BECF是正方形方法总结：正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1 或判定定理 2进行判定探究点二：正方形的判定的应用【类型一】正方形的性质和判定的综合应用如图，点 E，F，P，Q 分别是正方形 ABCD的四条边上的点，并且AF BP CQ DE.求证：(1)EF FP PQ QE；(2)四边形 EFPQ 是正方形解析：(1)证明 APF DFE CEQ BQP，即可证得 EF FP PQ QE；(2)由 EF FP PQ QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由 APF BQP，易得 FPQ 90，即可证得四边形 EFPQ 是正方形证明：(1)四边形ABCD是正方形，A B C D 90，AB BCCD AD.AF BP CQ DE，DF CE BQ AP.在 APF 和 DFE和 CEQ 和AF DE CQ BP，BQP 中，A D C B，AP DF CE BQ，APF DFE CEQ BQP(SAS)，EF FP PQ QE；(2)EF FP PQ QE，四 边 形EFPQ是菱形 APF BQP，AFP BPQ.AFP APF 90，APF BPQ 90，FPQ 90，四边形EFPQ是正方形性质以及全等三角形的判定与性质注意解题的关键是证得 APF DFE CEQ BQP.【类型二】与正方形的判定有关的综合应用题如图，ABC 中，点 O是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN BC，设 MN交 BCA 的平分线于点 E，交 BCA 的外角 ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.(1)求证：ECF 90；(2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF为 正 方 形，ABC应 该 满 足 条 件：_(直接添加条件，无需证明)解析：(1)由 CE、CF 分别平分 BCO和 GCO，可推出 BCE OCE，GCF OCF，则 ECF 1 180 90；(2)由2MNBC，可得 BCE OEC，GCF OFC，可推出 OEC OCE，OFC OCF，得出 EO CO FO，点 O运动到AC 的中点时，则 EO CO FO AO，这时四边形 AECF 是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点 O 运动到 AC 的中点时，且 ABC满足 ACB 为直角时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，因而四边形 AECF 是正方形(1)证明：CE平分 BCO，CF 平分 GCO，OCE BCE，OCF 1 GCF，ECF 2 180 90；(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形理由如下：MN BC，OEC BCE，OFC GCF.又 OCE BCE，OCF GCF，OCE OEC，OCF OFC，EOCO，FO CO，OE OF.又当点 O运动到 AC 的中点时，AO CO，四边形AECF是平行四边形 ECF 90，四边形 AECF 是矩形(3)ACB 90.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线从中发现与正方形有关联的条件求解三、板书设计1正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形2正方形性质和判定的应用本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯