高等数学下知识点总结-高等数学下知识点总结.pdf

-.高等数学（下）知识点高等数学（下）知识点主要公式总结主要公式总结第八章第八章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1 1、二次曲面二次曲面1 1）x2y22 z椭圆锥面：椭圆锥面：a2b2222xyzxyz 1旋转椭球面：旋转椭球面：222 1椭球面：椭球面：222aacabc2222 2）3 3）x2y2z2x2y2z222 1双叶双曲面：双叶双曲面：222 1单叶双曲面：单叶双曲面：2abcabc4 4）x2y2x2y22 z双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）2 z椭圆抛物面：椭圆抛物面：22abab5 5）x2y2x2y22 1双曲柱面：双曲柱面：22 1椭圆柱面：椭圆柱面：2abab2x ay抛物柱面：抛物柱面：6 6）（二）（二）平面及其方程平面及其方程1 1、点法式方程：点法式方程：A(x x0)B(y y0)C(z z0)0n法向量：法向量：(A,B,C)，过点，过点(x0,y0,z0)2 2、一般式方程：一般式方程：Ax By Cz D 03 3、xyz 1截距式方程：截距式方程：abc,B,C)n两平面的夹角：两平面的夹角：n1(A，1112(A2,B2,C2)，A1A2 B1B2C1C2A B C A B C212121222222cos1 2A1A2 B1B2C1C2 0；1/24 4、点点A1B1C1A2B2C2P0(x0,y0,z0)到平面到平面Ax By Cz D 0的距离：的距离：A B C222d Ax0 By0Cz0 D（三）（三）空间直线及其方程空间直线及其方程-可修编.-.1 1、A1x B1y C1z D1 0一般式方程：一般式方程：A2x B2y C2z D2 0对称式（点向式）方程：对称式（点向式）方程：2 2、x x0y y0z z0mnp方向向量：方向向量：s3 3、(m,n,p)，过点，过点(x0,y0,z0)两直线的夹角：两直线的夹角：s1(m1,n1,p1)，s2(m2,n2,p2)，cosm1m2 n1n2 p1p2m n p m n p212121222222L1 L2m1m2 n1n2 p1p2 0；L1/L24 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，m1n1p1m2n2p2sinAm Bn CpA B Cm n p222222L/Am BnCp 0；L ABCmnp第九章第九章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1 1、2 2、连续：连续：(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0)偏导数：偏导数：fx(x0,y0)lim3 3、方向导数：方向导数：x0f(x0 x,y0)f(x0,y0)f(x0,y0 y)f(x0,y0)f(x,y)lim；y00 y0yx f f fcoscosl x y4 4、其中其中,为为l的方向角。的方向角。梯度：梯度：z f(x,y)，则，则gradf(x0,y0)fx(x0,y0)ify(x0,y0)j。全微分：设全微分：设5 5、z f(x,y)，则，则dz zzdxdyxy（一）（一）性质性质1 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：-可修编.-.1 12 2偏导数连续偏导数连续充分条件充分条件函数可微函数可微偏导数存在偏导数存在必要条件必要条件4 43 3定义定义2 2函数连续函数连续2 2、1 1）若若微分法微分法复合函数求导：链式法则复合函数求导：链式法则z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y)，则，则zz uz vxu xv x，zz uz vyu yv y（二）（二）应用应用1 1）求函数求函数z f(x,y)的极值解方程组的极值解方程组fx0求出所有驻点，对于每一个驻点求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令，令fy0A fxx(x0,y0)，B fxy(x0,y0)，C fyy(x0,y0)，若若若若若若2 2、1 1）几何应用几何应用曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面AC B20，A 0，函数有极小值，若，函数有极小值，若AC B2 0，A 0，函数有极大值；，函数有极大值；AC B20，函数没有极值；，函数没有极值；AC B20，不定。，不定。x x(t)曲线曲线:y y(t)，则，则上一点上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为（对应参数为t0）处的）处的z z(t)x x0y y0z z0切线方程为：切线方程为：x(t0)y(t0)z(t0)法平面方程为：法平面方程为：2 2）曲面曲面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线x(t0)(x x0)y(t0)(y y0)z(t0)(z z0)0:F(x,y,z)0，则，则上一点上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：处的切平面方程为：-可修编.-.Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(z z0)0 x x0y y0z z0法线方程为：法线方程为：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)第十章第十章重积分重积分（一）（一）二重积分二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积：几何意义：曲顶柱体的体积1 1、2 2、1 1）定义：定义：f(f(x,y)d limD0k1nk,k)k计算：计算：直角坐标直角坐标b2(x)1(x)y 2(x)D(x,y)，f(x,y)dxdy adx1(x)f(x,y)d ya x bDd2(y)1(y)x 2(y)D(x,y)，f(x,y)dxdy cdy1(y)f(x,y)d xc y dD2 2）极坐标极坐标2()1()2()D(,)，f(x,y)dxdy d1()f(cos,sin)dD（二）（二）三重积分三重积分1 1、2 2、1 1）定义：定义：f(x,y,z)dv limf(k,k,k)vk0k1n计算：计算：直角坐标直角坐标f(x,y,z)dv dxdyDz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz-“先一后二先一后二”2 2）f(x,y,z)dv dzabDZf(x,y,z)dxdy-“先二后一先二后一”柱面坐标柱面坐标x cosy sinz z3 3）球面坐标球面坐标，f(x,y,z)d v f(cos,sin,z)dddzx r sincosy r sinsinz r cos-可修编.-.曲面曲面f(x,y,z)d v f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd（三）（三）应用应用S:z f(x,y),(x,y)D的面积：的面积：DA1(z2z2)()dxd yx y第十一章第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（一）（一）对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1 1、2 2、定义：定义：计算：计算：Lf(x,y)ds limf(i,i)si0i1n设设x(t),(t)，其中，其中(t),(t)在在,f(x,y)在曲线弧在曲线弧L上有定义且连续，上有定义且连续，L的参数方程为的参数方程为y(t),上具有一阶连续导数，且上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则，则Lf(x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dt ,()（二）（二）对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1 1、定定义义：设设L L为为xoy面面内内从从A A到到nB B的的一一条有条有 向向光滑光滑 弧弧，函，函 数数nP(x,y)k，Q(x,y)在在L L上上有有界界，定，定 义义.LP(x,y)dx limP(k,k)xk0k1，Q(Q(x,y)d y limL0k 1,k)yk向量形式：向量形式：2 2、LF dr P(x,y)dxQ(x,y)dyL计算：计算：设设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧在有向光滑弧L上有定义且连续上有定义且连续,L的参数方程为的参数方程为x(t),22(t:)，其中，其中(t),(t)在在,上具有一阶连续导数，且上具有一阶连续导数，且(t)(t)0，则，则y(t),LP(x,y)dx Q(x,y)d y P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt3 3、两类曲线积分之间的关系：两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为设平面有向曲线弧为x(t)L：，L上点上点(x,y)处的切向量的方向角为：处的切向量的方向角为：,y(t)，cos则则(t)(t)，cos2(t)2(t)2(t)2(t)LLPdxQdy(PcosQcos)ds.-可修编.-.（三）（三）格林公式格林公式1 1、格林公式：设区域格林公式：设区域D D是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线L L围成，函数围成，函数P(x,y),Q(x,y)在在D D上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,QP则有则有xydxdy PdxQdyDL2 2、G为一个单连通区域，函数为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在在G上具有连续一阶偏导数，上具有连续一阶偏导数，则则QPxy曲线积分曲线积分PdxQdy在在G内与路径无关内与路径无关L（四）（四）对面积的曲面积分对面积的曲面积分1 1、设设定义：定义：为光滑曲面，函数为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在是定义在上的一个有界函数，上的一个有界函数，定义定义2 2、f(x,y,z)dS limf(i,i,i)Si0i1n计算：“计算：“一单二投三代入一单二投三代入”:z z(x,y)，(x,y)Dxy，则，则f(x,y,z)dS 定义：定义：Dx yfx,y,z(x,y)1 zx(x,y)zy(x,y)dxdy22（五）（五）对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分1 1、设设为为 有有 向向 光光 滑滑 曲曲 面面，函函 数数nP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是是 定定 义义 在在上上 的的 有有 界界 函函 数数，定定 义义R(x,y,z)d xdy limR(i,i,i)(Si)xy同理，同理，0i1P(x,y,z)d ydz limP(i,i,i)(Si)yz；Q(x,y,z)d zdx limR(i,i,i)(Si)zx0i1nn0i12 2、性质：性质：1 1）12，则，则Pdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzdx Rdxdy12Pdydz Qdzdx Rdxdy计算：“计算：“一投二代三定号一投二代三定号”:z z(x,y)，(x,y)DxyDx y，z z(x,y)在在Dxy上上 具具 有有 一一 阶阶 连连 续续 偏偏 导导 数数，R(x,y,z)在在上上 连连 续续，则则R(x,y,z)dxdy ，Rx,y,z(x,y)dxdy,为上侧取“为上侧取“+”为下侧取“为下侧取“-”.-可修编.-.3 3、两类曲面积分之间的关系：两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy PcosQcos RcosdS其中其中,为有向曲面为有向曲面在点在点(x,y,z)处的法向量的方向角。处的法向量的方向角。（六）（六）高斯公式高斯公式1 1、高斯公式：高斯公式：设空间闭区域设空间闭区域由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面所围成所围成,的方向取外侧的方向取外侧,函数函数P,Q,R在在上有连续的一阶偏导数上有连续的一阶偏导数,则有则有PQRxyzdxd ydz Pd ydz Qdzdx Rdxd y或或PQRxyzdxd ydz PcosQcos RcosdS2 2、通量与散度通量与散度通量：向量场通量：向量场A(P,Q,R)通过曲面通过曲面指定侧的通量为：指定侧的通量为：Pdydz Qdzdx Rdxdy散度：散度：divAPQRxyz（七）（七）斯托克斯公式斯托克斯公式1 1、斯斯 托托 克克 斯斯 公公 式式：设设 光光 滑滑 曲曲 面面的的 边边 界界是是 分分 段段 光光 滑滑 曲曲 线线,的的 侧侧 与与P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有则有RQPRyzd ydz zxdzdxQPxydxd y PdxQd y Rdz为便于记忆为便于记忆,斯托克斯公式还可写作斯托克斯公式还可写作:d ydzdzdxdxd yxyzPdxQd y RdzPQR2 2、环流量与旋度环流量与旋度环流量：向量场环流量：向量场A(P,Q,R)沿着有向闭曲线沿着有向闭曲线的环流量为的环流量为PdxQd y Rdz旋度：旋度：rot ARQPRQPyz,zx,xy第十二章第十二章无穷级数无穷级数（一）（一）常数项级数常数项级数1 1、定义：定义：1 1）无穷级数：）无穷级数：un u1u2u3unn1-可修编.的的 正正 向向 符符 合合 右右 手手 法法 则则,-.部分和：部分和：Snuk u1u2u3un，k1nn正项级数：正项级数：un1，un 0交错级数：交错级数：(1)n1nun，un 02 2）级数收敛：若）级数收敛：若limSnnS存在，则称级数存在，则称级数un1n收敛，否则称级数收敛，否则称级数un1n发散发散3 3）条件收敛：）条件收敛：un1nn收敛，而收敛，而un1n发散；发散；绝对收敛：绝对收敛：2 2、1 1）2 2）un1收敛。收敛。性质：性质：改变有限项不影响级数的收敛性；改变有限项不影响级数的收敛性；级数级数a，bnn1n收敛，则收敛，则n1(an1nbn)收敛；收敛；3 3）级数级数an1n收敛，则任意加括号后仍然收敛；收敛，则任意加括号后仍然收敛；4 4）3 3、必要条件：级数必要条件：级数un1n收敛收敛limun 0.（注意：不是充分条件！（注意：不是充分条件！n）审敛法审敛法正项级数：正项级数：1 1）un1n，un 0S存在；存在；定义：定义：limSnn2 2）un1n收敛收敛S有界；有界；n3 3）比较审敛法：比较审敛法：un1n，vn1n为正项级数，且为正项级数，且un vn(n 1,2,3,)发散，则发散，则若若vn1n收敛，则收敛，则un1n收敛；若收敛；若un1nvn1n发散发散.4 4）比较法的推论：比较法的推论：u，v为正项级数，为正项级数，若存在正整数若存在正整数m，当，当n m时，时，unnnn1n1 kvn，而而vn收敛，收敛，则则un收收n1n1敛；若存在正整数敛；若存在正整数m，当，当n m时，时，un kvn，而，而vn发散，则发散，则un发散发散.n1n1-可修编.-.5 5）unl(0 l )，而，而vn比较法的极限形式：比较法的极限形式：un，vn为正项级数，若为正项级数，若limnvn1n1n1n收敛，则收敛，则un1n收敛；若收敛；若unun，而，而vnlim 0或或limnvnvn1nn发散，则发散，则un1n发散发散.6 6）比值法：比值法：un为正项级数，为正项级数，设设limn1un1l 1l 1 l，则当则当时，时，级数级数un收敛；收敛；则当则当时，时，级数级数un发散；发散；当当l 1nun1n1n时，级数时，级数un1n可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.7 7）根值法：根值法：un1n为正项级数，设为正项级数，设limnnunl，则当，则当l 1时，级数时，级数un收敛；则当收敛；则当l 1时，级数时，级数un发散；当发散；当l 1n1n1时，级数时，级数8 8）un1n可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.极限审敛法：极限审敛法：un1n为正项级数，若为正项级数，若limnun 0或或limnun，则级数，则级数un发散；若存在发散；若存在p 1，使得，使得nnn1limn unl(0 l )，则级数，则级数un收敛收敛.pnn1交错级数：交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：任意项级数：任意项级数：(1)nun，unn1 0满足：满足：un1 un(n 1,2,3,)，且，且limun0，则级数，则级数(1)nun收敛。收敛。nn1un1n绝对收敛，则绝对收敛，则un1n收敛。收敛。p 1收敛，收敛，q 11收敛，收敛，；p p-级数：级数：aqpn1nn0p 1q 1发散，发散，发散，发散，n常见典型级数：几何级数：常见典型级数：几何级数：（二）（二）函数项级数函数项级数1 1、2 2、定义：函数项级数定义：函数项级数幂级数：幂级数：un1n(x)，收敛域，收敛半径，和函数；，收敛域，收敛半径，和函数；a xnn0n3 3、收敛半径的求法：收敛半径的求法：liman1，则收敛半径，则收敛半径nan 1,0 R 0,04 4、泰勒级数泰勒级数f(x)n0f(n)(x0)(x x0)nn!f(n1)()limRn(x)lim(x x0)n10nn(n1)!展开步骤：展开步骤：（直接展开法）（直接展开法）-可修编.-.1 1）2 2）求出求出求出求出f(n)(x),n 1,2,3,；f(n)(x0),n 0,1,2,；3 3）写出写出n0f(n)(x0)(x x0)n；n!4 4）(n1)f()验证验证limRn(x)lim(x x0)n1 0是否成立。是否成立。nn(n1)!间接展开法：间接展开法：（利用已知函数的展开式）（利用已知函数的展开式）1 1）ex1nx,x(,)；n0n!2 2）sin x(1)n0n11x2n1,x(,)；(2n1)!3 3）cosx(1)n1n012nx,x(,)；(2n)!14 4）xn,x(1,1)；1 xn05 5）1(1)nxn,x(1,1)1 xn06 6）ln(1 x)(1)nn1x,x(1,1n0n117 7）(1)nx2n,x(1,1)21 xn08 8）(1 x)5 5、1 1）m1m(m1)(mn1)nx,x(1,1)n!n1傅里叶级数傅里叶级数定义：定义：1,sin正交系：正交系：零。零。傅里叶级数：傅里叶级数：x,cosx,sin2x,cos2x,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间,上积分为上积分为a0f(x)(ancosnxbnsinnx)2n11a nf(x)cosnxdx(n 0,1,2,)系数：系数：1b f(x)sinnxdx(n 1,2,3,)n2 2）收敛定理：收敛定理：(展开定理展开定理)的周期函数的周期函数,并满足狄利克雷并满足狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)条件条件:设设f f(x x)是周期为是周期为 2 21)1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点,则则f f(x x)的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,且有且有-可修编.-.af(x),x为连续点为连续点02ancosnx bnsinnxn1f(x)f(x)2,x为间断点为间断点3 3）傅里叶展开：傅里叶展开：a1nf(x)cosnxdx(n 0,1,2,)求出系数：求出系数：；bn1f(x)sinnxdx(n 1,2,3,)写出傅里叶级数写出傅里叶级数f(x)a02(ancosnxbnsinnx)；n1根据收敛定理判定收敛性。根据收敛定理判定收敛性。-可修编.