数列求和的基本方法和技巧及大题.pdf
数列求和的基本方法和技巧一、分组法求和n1、已知an3n 12，求前n项和Sn.12、已知an n，求前n项和Sn.2n二、裂项法求和（1）an11111 11()（2）ann(n k)k nn kn(n 1)nn 1,12 3,1n n 1,的前 n 项和.1、求数列112.2、在数列an中，an212n，又bn，求数列bn的前 n 项的和.anan1n1n1n13、求和1111.12123123n4、已知在等差数列an中，a3 5,S416。（1）求an的通项公式；（2）记bn1，求bn的前n项和。anan1.三、错位相减法求和n1、已知an n3，求前n项和Sn.2、求数列2462n,2,3,n,前 n 项的和.2 222n3、已知an(2n 1)3，求前n项和Sn.四、倒序相加法求和1、求sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89的值22222五、利用常用求和公式求和1、已知log3x*2、设Sn123 n,nN,求f(n)123n，求x x x x 的前 n 项和.log23Sn的最大值.(n32)Sn13、求1111111111之和.n个1.数列大题专题训练1、设an是公比为正数的等比数列，a1 2,a3 a2 4.()求an的通项公式;()设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列an bn的前n项和Sn.2、设等差数列an满足a3 5，a10 9。（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。3、已知等差数列an中，a11，a33。（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值。.4、成等差数列的三个正数的和为15，且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的b、b、b。(I)求数列bn的通项公式；(II)数列bn的前 n 项和为S25、等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a3 9a2a6.n，求证：数列Sn5是等比数列。4（)求数列an的通项公式；（）设bn log3a1log3a2.log3an,求数列6、设等比数列an的前n项和为Sn,已知a2 6,6a1 a3 30,求an和Sn。.1 的前 n 项和.bn7、已知等比数列an的公比q 3，前 3 项和S3()求数列an的通项公式；133()若函数f(x)Asin(2x)(A 0,0)在x 6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式8、已知等差数列an满足a2 0，a6 a8 10。（I）求数列an的通项公式；a（II）求数列nn的前 n 项和12.参考答案1、解：()设 等比数列的公比为q,q 0，由已知得2q 2q4，即2，所以数列q 2或q 1（舍去）n12()Sn 2 n 2。n的通项公式为an 2；2、解：（）由an a1(n1)d及a3 5，a10 9得a1 9,d 2；所以数列an的通项公式为an112n22（）Sn10nn (n5)25，所以n 5时Sn取得最大值。3、解：（）由 a11，a33 得d 2，所以 an32n；（）Sk k k(k 1)35，解得 k7。4、解：(I)设成等差数列的三个正数分别为ad,a,ad；则ad aad 15 a 5；数列bn中的b、b、b依次为7d,10,18d，则(7d)(18d)100；n3得d 2或d 13（舍），于是b3 5,b410 bn 52(II)数列bn55552n1n2n24的前 n 项和Sn 52，即Sn 52 2552n244Sn4Sn154是公比为 2 的等比数列。因此数列Sn23225、解：（）设数列an的公比为 q，由a3 9a2a6得a3 9a4所以q 1。9由条件可知 a0,故q 1。31。3由2a13a21得2a13a2q 1，所以a1故数列an的通项式为 an=1。n3n)n(n1)2（）bn log3a1log3a2.log3an=(12故1211 2()bnn(n1)nn1.111111112n.2(1)().()b1b2bn223nn1n1所以数列12n的前 n 项和为bnn16、解：设等比数列an的公比为q，由题a1q 6,a13,a1 2,解得或2q 2,q 3.6a1a1q 30,所以如果a1 3,则an=a1qn1a1(1qn)32.Sn=32n31qn1如果a1 2,则an=a1qn1a1(1qn)23.Sn=3n11qn1131n2得a1，所以an 3；33()由()得a3 3，因为函数f(x)最大值为 3，所以A 3，7、解：()由q 3,S3又当x 6时函数f(x)取得最大值，所以sin(3)1，因为0，故6，所以函数f(x)的解析式为f(x)3sin(2x6)。8、解：（I）设等差数列an的公差为 d，由已知条件可得a1 d 0,2a112d 10,解得a11,故数列an的通项公式为an 2 n.5 分d 1.ana2的前n项和为SS a，即nn122n1an,故S11，2n1（II）设数列Sna1a2224anSna2a1.a 所以，当时，n 11n222anan1annn122111(24所以Sn.12n12n)1(1)2n12n2n12nann的前n项和S.12 分n2n12n1n2.综上，数列n1
