新课标高中数学必修一至必修五知识点总结.pdf

WORD 格式-可编辑高中数学常用公式及结论大全必修 1(新课标)1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素|元素的特征 ，例如 x|x5,且 xN 2、常用数集及其表示方法（1）自然数集 N（又称非负整数集）：0、1、2、3、（2）正整数集 N*或 N+：1、2、3、（3）整数集 Z：-2、-1、0、1、（4）有理数集 Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集 R：全体实数的集合（6）空集：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于，不属于例如：a 是集合 A 的元素，就说a 属于 A，记作 a A4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（1）子集的概念作 A如果集合 A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如图 1)，记B或 BA.若集合 P 中存在元素不是集合记作P QQ 的元素，那么 P 不包含于 Q，BA或(图 1)A,B（2）真子集的概念若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集(如图 2).AB或 BA.BA（3）集合相等：若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合(图 2)A 等于集合 B,记作 A=B.AB,BAAB5、重要结论（1）传递性：若AB，BC，则A C（2）空 集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有n个元素的集合 ,它的子集个数共有不计空集)；非空的真子集有2n个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个(即2n 2 个.7、集合的运算：交集、并集、补集（1）一般地，由所有属于A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集AB记作 A B（读作 A交 B），即 A B=x|x A，且 x B1-WORD 格式-可编辑（2）一般地，对于给定的两个集合（3）若 A 是全集 U 的子集，由A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合U 中不属于 A 的元素构成的集合，,叫做 A,B 的并集记作 A B（读作 A 并 B），即 A B=x|x A，或 x BA B叫做 A 在 U 中的补集，记作CUACU A,x|xU,且 x A注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。CU AA8、映射观点下的函数概念如果 A，B 都是非空的数集，那么 A 到 B 的映射 f：A B 就叫做 A 到 B 的函数，记作 y=f(x)，其中 xA，y B.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域，象的集合 C（C的值域.函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数”，有时简记作函数 f(x).B）叫做函数 y=f(x)9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如y2 x 1x2x03x010、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）1,则 x 1x1偶次方根的被开方数大于或等于零；如:y分式的分母不为零；对数的底数大于且不等于；对数的真数大于；如:y05x,则 5 x00如:y loga(x2),则 a 0 且 a 1如:yloga(x2),则 x 2如:y(m1)x,则m指数为的底不能为零；11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足f(x)（2）偶函数满足f(x)1 0f(x)，奇函数的图象关于原点对称；f(x)，偶函数的图象关于 y 轴对称；若奇函数在原点有定义 ,则f(0)注：具有奇偶性的函数 ,其定义域关于原点对称 ;0根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则 f(x)在该区间上是增函数，图象从左到右上升；当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则 f(x)在该区间上是减函数，图象从左到右下降。函数 f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么说单调（增/减）区间13、一元二次方程ax2f(x)在该区间具有单调性，该区间叫做2bxcb0(a2a0)b24ac（1）求根公式 :x1,2（2）判别式：b4ac（3）0时方程有两个不等实根；:x1（4）根与系数的关系韦达定理0时方程有一个实根；bcx2，x1 x2aa0)；0时方程无实根。14、二次函数：一般式yax2bxc(a两根式 y a(x x1)(xx2)(a0)2-WORD 格式-可编辑y2（1）顶点坐标为(bb,4acb)；（2）对称轴方程为：x=；2 a4a2a0（3）当a0时，图象是开口向上的抛物线，在x=b4acb22a处取得最小值4a当时，图象是开口向下的抛物线，在x=b4acb2a02a处取得最大值4a（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。15、函数的零点使 f(x)0的实数 x0叫做函数的零点。例如x01是函数 f(x)x21的一个零点。注：函数 yf x有零点函数 y f x的图象与 x轴有交点方程 f x0 有实根16、函数零点的判定：如果函数 yf x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0。那么，函数 yf x在区间 a,b 内有零点，即存在ca,b,使得 f c0。17、分数指数幂（a0,m,nN，且n1）mn3mx113（1）anam31.如x2；(2)anmna)na；nm.如3x2；（3）(anxa（4）当n为奇数时，nan0a；当n为偶数时，n an|a|a,a.a,a018、有理指数幂的运算性质（a0,r,s Q）（1）arasars；（2）(ar)sars；（3）(ab)rar br19、指数函数yax（a0且 a 1），其中x是自变量，a叫做底数，定义域是Ra 10 a1yy图象1x01x（1）定义域：R0性（2）值域：（0，+）质（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1（4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数-x3WORD 格式-可编辑20、若 abN，则叫做以为底 N的对数。记作：logaNb（a0,a1，N0）其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。loga N注：指数式与对数式的互化公式：21、对数的性质babN(a0,a1,N0)（1）零和负数没有对数，即logaN中N00；（2）1 的对数等于0，即loga1底数的对数等于 1，即logaa 1；22、常用对数 lg N：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：log10 Nlg Nloge N自然对数 ln N：以 e(e=2.71828 )为底的对数叫做自然对数，记为：loga Nln N23、对数恒等式：aN24、对数的运算性质（a 0，a 1，M 0，N0）(1)loga(MN)loga Mloga N;(2)logaMNloga Mloga N;n(3)loga Mn loga M(nR)（注意公式的逆用）(a25、对数的换底公式logaNlogm Nlogm a0,且 a 1,m0,且 m 1,N0).推论或 loga b1；logb a logam bnn loga b.m26、对数函数 yloga x（a0，且 a1）：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是(0,)a1y0a1图像x01x01定义域：(0,)值域：R增函数性质过定点（1，0）减函数取值范围0 x1 时，y1 时，y00 x0 x1 时，y 0时，有x2ax2aa x a.小于取中间 xax2a2bxcxa或x0,(a0)的步骤：a.大于取两边(2)、解一元二次不等式ax2求判别式b24ac0两相异实根0一个实根0求一元二次方程的解：2画二次函数y ax没有实根bxc的图象结合图象写出解集ax2bxc0解集x x x2或 x x1x xb2aRax2bxc0解集x x1 x x2注：ax2bx c0(a0)解集为 Rax2bxc0对xR恒成立)0（3）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下（4）分式不等式：先移项通分，化一边为如解分式不等式0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。x 1x1：先移项x 1x再除变乘(2x10;通分(x1)xx0;1)x0，解出。87、线性规划：直线 AxByC 0（1）一条直线将平面分为三部分（如图）：AxC0By C0（2）不等式AxBy C0表示直线 Ax ByAxBy C0某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（大的为最大值。1，0）。（3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数z，最13-WORD 格式-可编辑88、充要条件选修 1-1q，则 p是 q充分条件，q是 p必要条件.q，且 qp，则 p是 q充要条件.（1）若p（2）若p注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然89、逻辑联结词。“p 或 q”记作：p q;“p 且 q”记作：p q;非 p 记作：p90、四种命题：原命题：若 p，则 q逆命题：若 q，则 p否命题：若 p，则 q逆否命题：若 q，则 p注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系；（2）p 是指命题 P 的否定，注意区别“否命题”。例如命题 P：“若a那么 P 的“否命题”是：“若a0，则 b0”，而p 是：“若 a0，则 b0，则 b0”。R,(x0”，91、全称命题：含有“任意”、“所有”等全称量词（记为）的命题，如 P：x）的命题，如q：1)20特称命题：含有“存在”、“有些”等存在量词（记为x2,2R x1注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如上述命题 p 和 q 的否定：p：1)20,(m Rm，q：x R,x192、椭圆定义：若 F1，F2是两定点，P 为动点，且PF1PF22a(a为常数)则 P 点的轨迹是椭圆。标准方程：焦点在 x 轴:x2a2y1(ab 0)；b2焦距：2c2焦点在 y 轴:y2a2x2b21(ab0)；长轴长=2a，短轴长=2b恒等式：a2-b2=c2离心率：eca93、双曲线定义：若F1，F2是两定点，PF1PF22a（a为常数），则动点 P 的轨迹是双曲线。图形：如图标准方程：焦点在 x 轴:x2a2焦点在 y 轴:2y2b221(a0,b0)y2ax2b1(a0,b0)实轴长=2a，虚轴长=2b，焦距：2c14-WORD 格式-可编辑恒等式：a2+b=c22离心率：eca渐近线方程：当焦点在 x 轴时，渐近线方程为yba x；当焦点在 y 轴时，渐近线方程为 yaxb等轴双曲线：当94、抛物线图形：ab时，双曲线称为等轴双曲线，可设为x2y2。定义：到定点F 距离与到定直线l的距离相等的点 M 的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH）。HMF(,0)pF2准线方程 y2焦点：2 px,(p0)y2F(x2 p x,(p 0)x22 p y,(p 0)x22 p y,(p 0)F(0,F(,0)pp,0)F(0,p)p)2p2准线方程：xp2p2yp2y2注意：几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离p22=p；295导数的几何意义：导数的物理意义：f/(x0)表示曲线 f(x)在 x x0处的切线的斜率f/(x0)表示运动物体在时刻xk；x0处的瞬时速度。96、几种常见函数的导数(1)C0（C 为常数）.cos x.1x；(a(2)(4)(3)(sin x)(5)(ln x)(xn)nxn 1(nQ).(cos x)sin x.x(e)aln a.(6)uv.)e;.x（7）()1x1xx297、导数的运算法则（1）(uv)uv.（2）(uv)u v（3）()uuv uvv2(v0).v98函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间（a,b）内，如果f (x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；f(x)在这个区间内单调递减。如果 f (x)0，那么函数 y注：若函数 yf(x)在这个区间内单调递增，则f (x)015-WORD 格式-可编辑若函数 y f(x)在这个区间内单调递减，则f (x)099、判别f(x0)是极大（小）值的方法极大值(1)求导 f(x)；（2）令f(x)=0，解方程，求出所有实根x0极小值（3）列表，判断每一个根x0左右两侧f (x)的正负情况：如果在 x0附近的左侧f(x)0，右侧 f(x)0，则f(x0)是极大值；如果在 x0附近的左侧f(x)0，右侧 f(x)0，则f(x0)是极小值.100、求函数在闭区间a,b上的最值的步骤：（1）求函数f(x)的所有极值；（2）求闭区间端点函数值f(a),f(b)；（3）将各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即f()，千万不能写成导数值f/(x)。x00（2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。选修 1-2101、复数zabi，其中a叫做实部，b叫做虚部(1)复数的相等abicdiac,bd.（a,b,c,dR）(2)当 a=0,b 0 时,z=bi 为纯虚数;(3)当 b=0 时,z=a 为实数;(4)复数 z 的共轭复数是z a bi(5)复数 zabi的模|z|=a2b2.(6)i2=-1,（-i）2=-1.(7)复数 zabi对应复平面上的点(a,b)，102、复数的四则运算法则(1)加：(abi)(c di)(ac)(bd)i;(2)减：(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(3)乘：(abi)(cdi)(acbi)(c di)bd)(bcad)i;类似多项式相乘(4)除：abi(a（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”c di(cdi)(cdi)103、常用不等式：（1）重要不等式 :若a,bR，则a2b22ab(当且仅当 a b 时取“=”号)（2）基本不等式 :若a0,b 0，则 ab2 ab(当且仅当 a b 时取“=”号)基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等当 ab为定值时，ab有最小值，简称“积定和最小”-）16WORD 格式-可编辑当 ab为定值时，ab有最大值，简称“和定积最大”104、推理：（1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊）（2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断）105、证明：（1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法）（2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。坐标系与参数方程106、极坐标系：其中|OM|点M(x,y)极径（1）如图，点 M 的极坐标为(,)y)极角极点 O（2）极坐标与直角坐标的互化公式：xx极轴xcos,ysin;2x2y2，tanyx107、参数方程形如xyf(t)g(t),(t 为参数)（*）参数方程是借助参数如 x yt，间接给出 x,y之间的关系,而普通方程是直接给出 x与y的关系，1 0（1）圆x2y222r2的参数方程是xyr cos,(为参数)r sin（2）椭圆xa2yb21的参数方程xa cos,(为参数,ab0)yb sin（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。消去参数的方法有：公式法：用公式sin2cos21等代入法：方程（*）中，由x加减消元法：方程（f(t)解出 th(x)，代入 y g(t)*）中，两式相加（减）消去参数t请同学们试着将圆的参数方程xar c o s,(为参数)，化为圆的标准方程ybr s in_，说说你用的是什么方法？提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解。17-WORD 格式-可编辑几何证明选讲108平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一腰推论：平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例109平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例110判定两个三角形相似的方法：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边111相似三角形的性质定理：1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比2）相似三角形周长的比等于相似比3）相似三角形面积的比等于相似比的平方112直角三角形的射影定理如图 Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则（1）CD2（3）ACCADBD（2）ACADAB；BC2BC ABBDABCDA2DB113圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角 114圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论 1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线115弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角1（2如图：12116与圆有关的定理：（1）相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线18-