第十九章四边形讲解.pdf

第十九章第十九章四四边边形形【知识概念图表】【知识概念图表】知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）（一）平行四边形（一）平行四边形定义及定义及平行四边形性质平行四边形性质表示法表示法平行四边形判定平行四边形判定及面积及面积其他定理其他定理方法指引方法指引平行四边形判定的常用方法有五种，关于“边”的有三条，关于“角”推推 论论：丙组对边分别平丙组对边分别平（1 1）定）定义义:丙组丙组对对 边边 分分别别 平平 行行平平的的 四四 边边行行形形 叫叫 做做四四平平 行行 四四边边边形。边形。形形对角相等；对角相等；（2 2）表）表示示：用用从从“”和和对对四四 个个 顶顶点点 的的 字字母母 来来 表表看看平平行行四四边边形形的的角角对角线互相平分；对角线互相平分；线线边形边形；半；半；的四边形是平行四的四边形是平行四三三 边边 的的 一一对角线互相平分对角线互相平分且且 等等 于于 第第第三边，并第三边，并四边形四边形；形形 的的 中中 位位线线 平平 行行 于于平平行行四四边边形形的的等的四边形是平行等的四边形是平行理理：三角：三角一组对边平行相一组对边平行相中中 位位 线线 定定对边相等；对边相等；看看四边形四边形；三三 角角 形形平平行行四四边边形形的的边边等的四边形是平行等的四边形是平行段相等；段相等；从从两组对边分别相两组对边分别相具具有有四四边边形形的的一一行的四边形是平行行的四边形是平行切性质外，还有：切性质外，还有：四边形；四边形；平平 行行 线线 间间的的 平平 行行 线线夹夹 在在 两两 条条的有一条，关于“对角线”的有一条，常用“顺口溜”帮助记忆，即：判定平行四边形，两个条件才能行，两组对边都平行，或证对边都相等，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线是个宝，互相平分也能行，对角相等也有用，两组对角才能成。反之，判定成性质，还是中心对称形，面积计算也简单，底边与高来相乘。示。示。平平行行四四边边形形是是从从中心对称图形，中心对称图形，两两角角条条对对角角线线的的交交点点看看四边形。四边形。就是对称中心。就是对称中心。高。高。等的四边形是平行等的四边形是平行积积=底底 两组对角分别相两组对角分别相边边 形形 的的 面面 平平 行行 四四方法指引方法指引矩形的判定口诀：任意一个四边形，三个直角（二）特殊的平行四边形（二）特殊的平行四边形1.1.矩形矩形定定义义矩形性质矩形性质矩形判定矩形判定其他定理及面积其他定理及面积成矩形，对角线等互平分，那它一定是矩形；已知平行四边形，一个有有一一个个角角是是直直直角三角形斜边直角三角形斜边(1)(1)定义：定义：有有一一个个角角是是直直角角的的平平行行四四边边矩矩形形叫叫做做矩矩形形形。形。矩矩形形的的四四个个角角都都是直角；是直角；从从直角叫矩形，两对角线角角的的平平行行四四边边形是矩形；形是矩形；角角看看有有三三个个角角是是直直角角的的四四边边形形是是矩形；矩形；矩形既是中心对矩形既是中心对上的中线等于斜边上的中线等于斜边若相等，理所当然为矩的一半；的一半；形。矩形的性质：除了具有称图形，称图形，也是轴对称也是轴对称平行四边形的一切性质图形，图形，对称中心是对对称中心是对外，还有自己特有的性角线的交点，角线的交点，对称轴对称轴从从是过对边中点的直是过对边中点的直矩矩形形的的对对角角线线相相等。等。对对角角线线看看对对角角线线相相等等的的线；线；平平行行四四边边形形是是矩形。矩形。矩矩形形面面积积=长长(2)(2)表表 示示法：法：“矩形”矩形”+“顶点字“顶点字母”母”。质。即四个角都是直角，对角线都相等，还具有“双对称性”。方法指引方法指引宽。宽。菱形的判定口诀：任意2.2.菱形菱形一个四边形，四边相等定定义义菱菱形形有有一一组组邻邻四四条条边边都都边边等等的的平平行行四四边边称图形，称图形，也是轴对称也是轴对称(1)(1)定义：定义：菱菱形形的的从从有有一一组组邻邻边边相相菱形既是中心对菱形既是中心对菱形性质菱形性质菱形判定菱形判定其他定理及面积其他定理及面积成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形。已知平行四边形，邻边相等叫菱形，两对角线边边相相等等的的平平行行四四边边四四条条边边都都相相等等形形叫叫做做菱菱的的四四边边形形是是菱菱形。形。形；形；(2)(2)表表 示示菱菱形形的的法：法：“菱形”菱形”对对角角线线互互+“顶点字“顶点字相垂直，相垂直，并并母”母”。且且每每一一条条对对角角线线平平分分一一组组对对角。角。角角线线看看直直的的平平行行四四边边角线长的积的一半，角线长的积的一半，形是菱形。形是菱形。即即 S=S=（ab）2（ab）2对对对对角角线线互互相相垂垂有：有：菱形面积等于对菱形面积等于对从从积计算方法外，积计算方法外，还特还特用平行四边形的面用平行四边形的面菱形面积除了可菱形面积除了可线；线；是对角线所在的直是对角线所在的直相等；相等；看看形是菱形；形是菱形；图形，图形，对称中心是对对称中心是对角线的交点，角线的交点，对称轴对称轴若垂直，顺理成章为菱形。菱形的性质：也是除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己特有的性质，即四条边都相等，对角线垂直，且每一条对角线平分一组对角。也具有“双对称性”，面积计算还特有一个公式，即两条对角线的长的积的一半。3.3.正方形正方形正方形正方形定定义义正方形性质正方形性质判定判定其他定理及面积其他定理及面积方法指引方法指引正方形是一个极其特殊的四边形，它包含了平正方形既是中心对称正方形既是中心对称图形，图形，也是轴对称图形，也是轴对称图形，对称中心是对角线的交对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所点，对称轴是对角线所(1)(1)定义：四定义：四条边都相等，条边都相等，正正方方四四个个角角都都是是直直角角的的四四边边正正方方形形的的四四个角都是直角，个角都是直角，有有 一一个个 角角 是是直直 角角 的的行四边形、矩形、菱形的所有性质，也同样具有“双对称性”，面积的计算也有两个公式。它的判定是比较原则性的，即只要能判定它既是一个矩形，又是一个菱形，就可判定它是一个正方形。常用的有两个，即有一个角是直角四条边都相等；四条边都相等；菱菱 形形 是是形形形形叫叫做做正正方方形；形；正正方方形形的的两两(2)(2)表表示示法法：条对角线相等，条对角线相等，“正方形”“正方形”+“顶顶 点点 字字并并且且互互相相垂垂直直平分，每条对角平分，每条对角正方形；正方形；在的直线以及过对边中在的直线以及过对边中点的直线；点的直线；有有 一一组组 邻邻 边边相相 等等 的的矩矩 形形 是是正方形面积等于边长正方形面积等于边长的平方，也等于两条对的平方，也等于两条对角线长的积的一半的。角线长的积的一半的。母”母”。线线平平分分一一组组对对角角。正方形。正方形。的菱形是正方形，以及有一组邻边相等的矩形是正方形。（三）梯形（三）梯形深度理解深度理解等腰等腰等腰梯形等腰梯形概概念念性质性质判定判定积计算积计算梯形梯形定理及面定理及面常见辅助线作法常见辅助线作法梯形其他梯形其他梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；在在 梯梯 形形 定定义：一义：一 组对组对边平行边平行，另，另一组对一组对 边不边不平行的平行的 四边四边形形 叫叫 做做 梯梯梯梯形。形。等腰梯等腰梯同同一一形在同一形在同一底底上上底上的两底上的两的的两两个个 角角 相相个个角角等；等；相相等等等腰梯等腰梯的的梯梯形的两条形的两条形形是是对角线相对角线相等等腰腰梯梯形形中中平移一腰：平移一腰：把梯形把梯形位线定理：位线定理：转化成了一个平行转化成了一个平行梯梯形形的的中中四边形和一个三角四边形和一个三角位位线线平平行行形；形；于两底，于两底，并并作两条高：作两条高：分成矩分成矩且且等等于于两两形和两个直角三角形和两个直角三角底底和和的的一一形；形；半半，即即 L=L=（a+ba+b）22平移一对角线：平移一对角线：使使梯梯形形面面积积=中位线中位线长长高高，延长两腰：延长两腰：构造具构造具即即：有公共角的两个相有公共角的两个相S=Lh，S=Lh，似三角形；似三角形；也也 等等 于于：过一腰中点作直过一腰中点作直两对角线转移到同两对角线转移到同记写梯形时，用“梯形”+“四个顶点字母”；用数学符号记写梯形时，常常要告诉哪两边平行，象告诉直角三角形一样，交待要具体，须告诉哪个角是直角。方法指引方法指引其实，梯形的面积公式：等腰等腰 梯形梯形形形定义：定义：两腰两腰相等的相等的 梯形梯形等腰梯等腰梯叫做等叫做等 腰梯腰梯形是轴对形是轴对等。等。梯梯形形；一个三角形中；一个三角形中；“（上底+下底）高对对形。形。称图形，称图形，角角线线直角直角 梯形梯形定义：定义：有一有一个角是个角是 直角直角的梯形的梯形 叫做叫做直角梯形。直角梯形。过上下底过上下底相相等等的中点的的中点的的的梯梯直线是它直线是它形形是是的的 对对 称称等等腰腰轴。轴。梯形。梯形。2”，这一个公式就涵盖了特殊四边形和三角形的面积公式，它们的内在联系是，当梯形的某一底缩小为 0 时，就是一个三角形，其面积公式不就是：“底高2”（上底（上底+下下线：线：构造两个全等三构造两个全等三底）底）高高角形。角形。2.2.（四）几种常见几何图形的重心（四）几种常见几何图形的重心1.1.线段的重心就是线段的中点；线段的重心就是线段的中点；2.2.平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点；平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点；3.3.三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；4.4.等腰三角形的重心在底边的中垂线上；等腰三角形的重心在底边的中垂线上；5 5正多边形的重心就正多边形的中心。正多边形的重心就正多边形的中心。吗？当两底变得一样长时，就变成了一个平行四边形，其面积公式不就是：“底高”吗？【易混易错剖析】【易混易错剖析】1.1.对于概念的内涵和外延把握不准，包含关系混淆不清，另外，对于每一个特殊的四边对于概念的内涵和外延把握不准，包含关系混淆不清，另外，对于每一个特殊的四边形的性质和判定把握不准确。形的性质和判定把握不准确。一是要重视各个概念的定义，因为那是它的本质属性（如下图），由定义我们可以弄清其包含关系，矩形、菱形都包含了正方形，正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形；而矩形和菱形又都是特殊的平行四边形，平行四边形包含有矩形和菱形及正方形；平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，包括梯形也是特殊的四边形；二是要抓好“对角线”这条纽带，从图中可以从对角线角度来厘清各概念的联系。（见下图）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形；三是我们必须要高度熟练各个特殊四边形的性质和判定，尤其是判定最容易混淆，有人总结有顺口溜可帮助记忆（见前面总结的概念图表）。有一个角是直角平行四边形矩形邻边相等正方形有一个角是直角且邻边相等邻边相等菱形有 一 个 角是直角两组对边分别平行四边形一组对边平行另一组对边不平行等腰梯形两腰相等梯形有一个角是直角相等矩形直角梯形垂直相等且互相平分四边形互相平分平行四边形垂直相等且互相垂直正方形相等菱形互相垂直平分互相垂直平分且相等典型示例：典型示例：选择：如图，点 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，当其对角线 AC 和 BD（）时，四边形 EFGH 是正方形。A.ACBDB.AC=BDC.ACBD 且 AC=BDD.以上都不对AEBOHDGF易混1图C常见错误：常见错误：选 A。解析点评：解析点评：本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定。多边形总是被对角线分割成一些三角形，四边形也不例外，每条对角线都能把它分成两个三角形，那么四边形的四边中点的连线就成了相应三角形的中位线，三角形的中位线是平行于第三边且等于第三边的一半的，所以 EFGH 的四条边中EH 与 FG 都平行且等于BD 的一半的，EF 与 HG 都平行且等于 AC 的一半的，这样，我们就轻易得到：EH 平行且等于 FG 的，或者 EF 平行且等于 HG 的，因而四边形 EFGH 就是平行四边形，要想使一个平行四边形成为矩形，需要有一个直角，考虑到它的边都与对角线AC、BD 有关，根据平行线的性质，只有当 ACBD 时，平行四边形EFGH 才会成为矩形。什么样的矩形才是正方形呢？有一组邻边相等的矩形就是正方形。由于EFGH 的四条边中 EH 与 FG 都等于 BD 的一半的，EF与 HG 都等于 AC 的一半的，所以只有当两条对角线AC 和 BD 相等时，才有四边形 EFGH的邻边相等，因而，当A CBD 且 AC=BD时，四边形EFGH 才是正方形。故正确答案应选 C。本题启示：本题启示：把四边形问题转化为三角形问题来加以解决是我们的一贯策略。见到三角形或者是四边形的边的中点，要马上想到以下定理：a三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；b 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；c等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，还是顶角的平分线等等。对于特殊四边形的判定和性质要相当熟练。平行四边形的判定方法共有哪几条？a 从边的角度去判定主要有三条：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；b 从角的角度去判定主要是：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；c 从对角线的角度去判定主要有：对角线互相平分的四边形是平行四边形等共有五条判定定理。那么平行四边形的性质都有哪些呢？a 边的方面：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的两组对边分别相等；b角的方面：平行四边形的两组对角分别相等；c 对角线方面：平行四边形的两条对角线互相平分。那么矩形都有哪些判定方法呢？主要有两条：a 从角的角度去判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；b 从对角线的角度去判定：对角线相等的平行四边形是矩形。那么矩形的性质又是什么呢？除了具备平行四边形所有性质外，还有：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。至于菱形的判定主要有三条：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。菱形的性质是除了具备平行四边形所有性质外，还具有：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。对于正方形，常用的判定有二：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。至于正方形的性质就更多，具备了平行四边形，矩形，菱形的所有性质，具体地说：正方形的四个角都是直角；四条边都相等，对边平行且相等；对角线互相平分、相等且互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。我们只有对定理熟练了，在使用时才会得心应手。其实诸如此类的问题还真的不少，注意连接任意四边形的四边中点得到的四边形就是平行四边形，那么根据需要再去思考看还需要什么条件就添加什么条件。如：顺次连结下列四边形各边的中点，所得的四边形为矩形的是（）A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、平行四边形顺次连结四边形各边中点得到一个菱形，则原四边形必是（）A、矩形 B、梯形 C、两条对角线互相垂直的四边形 D、两条对角线相等的四边形其中的正确答案应选C；的正确答案应选D；2.2.将四边形的内容与三角三边关系定理，与直角三角形性质，与等边三角形性质，分类将四边形的内容与三角三边关系定理，与直角三角形性质，与等边三角形性质，分类讨论问题等相结合时，往往由于缺乏技能而出现错误。讨论问题等相结合时，往往由于缺乏技能而出现错误。典型示例：典型示例：选择：平行四边形的一边长为5cm，则它的两条对角线长可以是（）A、4cm,6cm B、4cm,3cm C、2cm,12cm D、4cm,8cm填空：已知平行四边形一内角为60，与之相邻的两边为 2cm 和 3cm，则其面积为 _cm。填空：矩形ABCD的对角线交于点O一条边长为1，OAB是正三角形，则这个矩形的周长为_填空：已知梯形上、下底长分别为6，8，一腰长为7，则另一腰a的范围是_ _；常见错误：常见错误：选 A、B、C 的都有；没填结果的多，也有填6cm.只填一个答案的较多。填：22 3或只填：2填：1a13或2a15。解析点评：解析点评：如图，由于平行四边形的对角线是互相平分的，那么两条对角线长的一半与这条边长要能满足三角形三边关系定理才行。显然 A 两个量的一半分别是 2cm 和 3cm，那么与 5cm显然是有问题的，因为2+3=5，所以A 不对；B 两个量的一半分别是 2cm 和 1.5cm，同样与 5cm 也是不能满足三边关系定理的；C 两个量的一半分别是 1cm 和 6cm，与 5cm 显然2 3；3220也是有问题的，因为 6-5=1，不能满足三边关系定理；那么D 选项如何呢？两个量的一半分别是 2cm 和 4cm，它们与 5cm，显然较短的两边之和2+4=65，所以只有 D 才是正确的。本题启示：本题启示：四边形的问题往往要转化为三角形的问题加以解决，当然要善于联系平行四边形的相关性质。5图本题其实有两种情况，但是却只有一种结果。如图，从平行四边形的一个顶点向对边作垂线，构造直角三角形，由直角三角形的边角关系可得前一个图形的高为3cm，后一个图形的高为3 32cm，由三角形的面积计算公式可得：它们的面积都是3 3cm.因22而正确的答案应是3 3cm.本题启示：本题启示：要善于构造直角三角形，将特殊角转移在直角三角形中，利用解直角三角形的知识和平行四边形的面积计算公式求解。2cm6003cm3cm图6002cm本题要注意也是有两种可能性情况，由于长为 1 的边不确定，因而要分类讨论。如图，当 AB=1 时，因为四边形ABCD是矩形，所以ABC=900，又因为OAB是正三角形，BCBC，所以BC=3，又矩形的对边AB1ABAB0相等，所以其周长为：2 2 3；当 BC=1 时，同样的道理，可得tan30，BC1所以BAC=600，在RtABC 中，tan60 0所以AB 32 3，因而此时矩形的周长就为：2，综合上述两种情况可得：这个矩332 3。而不能只填一种情况。3形的周长就应该为：2 2 3或2本题启示：本题启示：在四边形中，当告诉的条件不够明确时，应该进行分类讨论。另外，要善于运用矩形的相关性质及解直角三角形的相关知识，使问题得到解决。ADAD1BOC图BO1C本题主要考查梯形中常用辅助线的作法及三角形三边关系定理。如图，只需要过上底的一端作一腰的平行线即可，将梯形分割成了一个平行四边形和一个三角形，显然这个三角形的一边为 7，另一边为 2，第三边为a，由三边关系定理得：5 a 9。6768图86=27a本题启示：本题启示：往往将梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题加以解决；在梯形中常常要作辅助线来创造条件解决问题，常用辅助线的作法有：a.平移一腰：把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形；b.作两条高：分成矩形和两个直角三角形；c.平移一对角线：使两对角线转移到同一个三角形中；d.延长两腰：构造具有公共角的两个相似三角形；e.过一腰中点作直线：构造两个全等三角形。3.3.图形变换与四边形结合的问题，学生往往不会作。图形变换与四边形结合的问题，学生往往不会作。由于学生对于图形变换和四边形的性质和判定理解得不是很透彻，往往不会解答或避其捷径而求远，走了弯路费了时间，解答过程还不理想。典型示例：典型示例：如图所示，已知RtABC中，ACB=90，ABC=60，将RtABC绕点 B 沿逆顺时针方向旋转60得到BDE，再将RtABC沿着 AC 所在直线翻转180得到ACF,连接AD求证：四边形 ADBF 是菱形；A00DEBC易混3图F常见错误：常见错误：证明：BDE 是由RtABC绕点 B 沿逆顺时针方向旋转60后得到的，又ACF 是由RtABC沿着 AC 所在直线翻转180后面而得到的，AF=AB=DB，四边形 ADBF 是平行四边形。又在RtABC中，ACB=90，ABC=60，BAC=30，BA=2BC，又 BC=CF，BF=2BC=BA=AF，ADBF 是菱形。解析点评：解析点评：本题主要考查图形变换及性质、菱形的判定、含30 度锐角的直角三角形的性质等知识点。题目给出了一个特殊的直角三角形，特殊就特殊在含有60 的锐角，因而也就有30000000的锐角，所以 30 的锐角所对的直角边就等于斜边的一半，就得到边与边之间有特殊的关系；另外，将这个直角三角形作了旋转和翻转，根据旋转和翻转的性质：图形旋转变换和对称变换前后其形状和大小完全一样即全等的性质，那些对应边就相等，对应角也相等，于是就得到了 BD=BA=AF，即一组对边相等，还得到了DBE=ABC=F=60，所以DBF+F=DBA+ABF+F=60+60+60=180,由同旁内角互补，两直线平行，得到 DBAF,而 BD=AF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，就得到四边形 ADBF 是平行四边形。那么要证明一个平行四边形是菱形还需要什么条件呢？结合图形观察，很明显就是要从边的角度去考虑才简单一些，找一组邻边相等，由于在BAC=30，所以 BA=2BC，又由轴对称的性质知道：BC=CF，所以 BF=2BC=BA，RtABC 中，而 BA=BD，所以就得到了：BF=BD，即一组邻边相等，因而平行四边形ADBF 就是菱形。上题错误原因是对于轴对称和旋转的性质使用上表达得较为含糊，另外对于平行四边形的判定及菱形的判定定理似乎不是很熟悉，因而，推理过程是错误的。本题正确的解答是：证明：BDE 是由RtABC绕点 B 沿逆顺时针方向旋转60后得到的，BA=BD，ABC=DBE，而ABC=60，ABC=DBE=60，又ACF 是由RtABC沿着 AC 所在直线翻转180后面而得到的，BA=AF，F=ABC=60，BC=CF，BD=AF，DBF+F=DBA+ABF+F=60+60+60=180,DBAF,而 BD=AF，四边形 ADBF 是平行四边形。在RtABC中，ACB=90，ABC=60，BAC=30，BA=2BC，又 BC=CF，BF=2BC=BA，而 BA=BD，BF=BD，又四边形 ADBF 是平行四边形，ADBF 是菱形。本题启示：本题启示：要正确理解图形变换的本质特性。图形变换是初中几何的重要内容，在初中所学的几种图形变换中，除了位似变换外，像轴对称变换，旋转变换（中心对称），平移变换等，0000000000000000都有共同的特性，那就是变换前后图形的形状和大小是完全相同的。也就是说除了位置发生了变化外，其形状和大小是没有变化的，因而这种变换也叫合同变换，或者说叫全等变换，既然是全等变换，就自然具备全等的性质，即变换前后，对应的线段相等，对应的角也相等弄清楚了这些，见到变换的内容，我们就会从容应对，泰然处之；对于直角三角形尤其是含有30 度锐角的直角三角形，我们要相当熟悉，对其性质要能了如指掌。见到含有 30 度锐角的直角三角形就要马上想到其对边是斜边的一半，要形成条件反射；特殊四边形的性质与判定也是非常重要的，必须要对于每一种特殊的四边形的性质与判定都要非常熟练。我们回顾一下：平行四边形的判定方法共有哪几条？从边的角度去判定主要有三条：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；从角的角度去判定主要是：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；从对角线的角度去判定主要有：对角线互相平分的四边形是平行四边形；共有五条判定定理；那么平行四边形的性质都有哪些呢？边的方面：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的两组对边分别相等；角的方面：平行四边形的两组对角分别相等；对角线方面：平行四边形的两条对角线互相平分；那么矩形都有哪些判定方法呢？主要有两条：从角的角度去判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；从对角线的角度去判定：对角线相等的平行四边形是矩形；那么矩形的性质又是什么呢？除了具备平行四边形所有性质外，还有：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；至于菱形的判定主要有三条：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的性质是除了具备平行四边形所有性质外，还具有：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；对于正方形，常用的判定有二：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；至于正方形的性质就更多，具备了平行四边形，矩形，菱形的所有性质，具体地说：正方形的四个角都是直角；四条边都相等，对边平行且相等；对角线互相平分、相等且互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；【考点命题突破】【考点命题突破】考点分析考点分析:必考点：必考点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法及其综合应用；常考点：常考点：等腰梯形的性质和判定方法，梯形的常规辅助线作法，梯形中位线的性质，梯形面积计算方法；少考点：少考点：四边形的不稳定性，线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及其物理意义。中考热点：中考热点：将平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质和判定方法与三角形全等及相似的知识结合出题，与直角三角形的性质及轴对称（折叠）、旋转等图形变换的知识结合出题，与操作性问题、探究性问题、方程思想等结合出题。考查方式：考查方式：常见有填空题、选择题和计算题以及证明题，多为中档难度试题，但也会见到与函数结合的压轴题。考点考点 1 1 平行四边形的判定、三角形中位线定理、勾股定理平行四边形的判定、三角形中位线定理、勾股定理综合运用综合运用（2011 安徽）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD的中点，则四边形 EFGH 的周长是（）A7B9C10D11解题思路：解题思路：本题告诉了 BDCD，BD=4，CD=3，我们马难点突破和易错警示难点突破和易错警示上意识到可由勾股定理得出 BC=5，题目还告诉了 E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，认真观察，不难发现 HG 是三角形 DBC 的中位线，EF 也是三角形 ABC的中位线，同时，GF、HE 也分别是三角形 DAC 和 DAB难点突破：难点突破：本题的关键是要能发现三角形的中位线。的中位线，因而EF HG 1BC 5，HE GF 1AD 3，222所以EFGH 的周长为 11.答案：答案：D D考点考点 2 2 矩形性质、轴对称性质及勾股定理及方程思想综合矩形性质、轴对称性质及勾股定理及方程思想综合运用运用（2011 四川宜宾）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF=3，则 AB 的长为（）A3B4C5D6ADFBCE（第 7 题图）难点突破：难点突破：利用勾股定理建立方程是我们的常用方法。往往选择哪一个直角三角形才便于建立方程却成了解决此解题思路：解题思路：本题是一个与矩形有关的折叠问题。即ABE与AFE 是关于直线 AE 对称的，因而ABEAFE，所以 BE=FE，AF=AB，DC=AB，AFE=B，又由矩形性质知：B=90，BC=AD，所以AFE=B=90，所以CFE=90，又 EF=3，所以 BE=FE=3，所以 EC=8-3=5，在RtEFC 中，由勾股定理得：CF=4，若设 AB=x，则 AF=DC=x，OOO在 RtADC 中，由勾股定理得：AD2 DC2 AC2，所以：类问题的关键。82 x2(x 4)2，解得 x=6.答案：答案：D考点考点 3 3 等腰梯形的判定、等腰三角形性质、全等三角形的等腰梯形的判定、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质的综合运用判定与性质、相似三角形的性质的综合运用（2011 广东茂名）如图，在等腰ABC 中，点D、E 分别是两腰 AC、BC 上的点，连接 AE、BD 相交于点 O，12(1)求证：ODOE；(2)求证：四边形 ABD 是等腰梯形；(3)若 AB3DE,DCE 的面积为2,求四边形ABED的面积易错警示：易错警示：要想直接证明 ODOE 有困难时，要换一下思路，采取间接方法去证明；解题思路：解题思路：本题第一问按常规思路就是要证 ODOE，就是要证ODE=OED，但似乎一时不易突破，所以我们再想用间接方法来证，即由可得 OAOB，如果能证出 BDAE，等量减等量差相等，就可得证。那么如何证 BDAE 呢？不要忘了题目告诉了：ABC 是等腰三角形，有 ACBC，所以有BADABE，又21，AB 公用，所以ABDBAE(ASA)，问题就得到了解决。第二问要证明四边形 ABD 是等腰梯形，首先要证明它是梯形，然后再找两边相等。由(1)知：ODOE，所任何一个概念的定义，既是最重要的性质，也是最基本的判1以OEDODE，所以OED(180DOE)，同2定，在没有更合适的理：11(180AOB)，又因为DOEAOB，所判定途径时，往往要2用定义去判定；相似三角形的面积的比是等于相似比的平方的，不要颠倒了比的前后项，更不能以1OED，所以 DEAB，找到了一组对边平行。又因为 AD、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，所以AD 与BE 不平行，即另一组对边不平行，所以由梯形定义知四边形 ABED 是梯形，又由(1)知ABDBAE，所以有 ADBE，即有两对边相等，所以梯形ABED 是等腰梯形基本上都是利用“梯形”和“等腰梯形”的定义来证明的。第三问由(2)可知：DEAB，因而由相似三角形判定可得：掉了“平方”DCE ACB，那 么 由 相 似 三 角 形 的 性 质 知：DCE的面积DE2，()ACB的面积AB即：2DE21()，所以ACB 的面积ACB的面积3DE9等于 18，所以四边形 ABED 的面积是等于ACB 的面积减去DCE 的面积的，即S四边形ABED SACB SDCE18 2 16.答案：(1)证明：如图，ABC 是等腰三角形，ACBC，BADABE，又ABBA、21，ABDBAE(ASA)，BDAE，又，OAOB，BDOBAEOA，即：ODOE(2)证明：由(1)知：ODOE，OEDODE，OEDAD、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，AD 与 BE 不平行，四边形 ABED 是梯形，又由(1)知ABDBAE，ADBE梯形 ABED 是等腰梯形(3)解：由(2)可知：DEAB，DCEACB，1(180DOE)，21同理：1(180AOB)，2又DOEAOB，1OED，DEAB，DCE的面积DE2()，ACB的面积AB2DE21()，即：ACB的面积3DE9ACB 的面积等于 18，S四边形ABED SACB SDCE18 2 16.考点考点 4 4 梯形的性质，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形梯形的性质，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，解动态探究问题的方法等综合运用的判定，勾股定理，解动态探究问题的方法等综合运用（原创题）如图，四边形 ABCD 是直角梯形，ADBC，B=90，AB=8cm，AD=20cm，BC=26cm，直线EF 绕 AD 的中点 E 旋转，若旋转时，直线 EF 与底边 BC 的交点 F 在 BC 上的运动速度始终是 1cm/s，F 从点 C 出发，到达B 点时停止运动。请探究下列问题：运动多少秒后，四边形 DEFC 是平行四边形？并验证该平行四边形会不会是菱形？0请你判断在运动过程中，四边形DEFC 能成为等腰梯形吗？若能，计算出运动时间；若不能，说明理由。你能计算出四边形 DEFC 在由平行四边形向等腰梯形变化的过程中，直线 EF 绕 E 旋转在直角梯形 ABCD 上所扫过的面积吗？若能，请求出面积的大小。EBFCAD解题思路：解题思路：题目告诉了一个直角梯形，告诉了上下底和高，难点突破：难点突破：以及上底的中点，一个动点分别从下底的一端C 向 B 运动，速度是 1cm/s。第一问，问当运动多少秒后，四边形DEFC是平行四边形？并验证该平行四边形会不会是菱形？对于本题主要考查梯形的性质，勾股定理，矩形的判定，菱形的判这样的问题，我们通常要设运动时间，然后用未知数去表定，等腰梯形的判定，示相关的线段，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，解动态探究问题的方列出方程，求出未知数的值，若该数值符合问题情境，不与条件产生冲突，就说明在运动过程中是能形成平行四边形的，第二问的探究思路也是一样。具体的探究过程是：法等。题目难就难在是一个考查多个知识点的动态探究问题。第一问，设当运动时间为t 秒时，四边形DEFC 是平行四边要注意的是：形。则 CF=tcm，而点 E 为 AD 的中点，且 AD=20cm，所以DE=10cm，又 BC=26cm，所以 DE=10cm，BF=（26-t）cm，由平行四边形的对边平行且相等性质知：DE=CF，所以当t=10cm 时,解得：t=10s。即 CF=DE=10cm，所以 AE=10cm，BF=16cm。如图，作EGBC 于 G.则EGB=EGF=90，因为ADBC，B=90，所以A=180-B=90，所以A=B=EGB=90，所以四边形 EGBA 是矩形，所以 BG=AE=10cm，EG=AB=8cm，而 BF=16cm，所以 GF=BF-BG=6cm，在 RtEGF中，由勾股定理得：EF EG2GF2 826210cm，由于EF=FC=10cm，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以00000解动态探究问题，始终要保持清醒的头脑，要能动中取静，能抓住那些在运动过程中，始终不变的量和式子，往往这些量和式子才是解决问题的关键；要善于将等腰梯形进行分割转化，变成矩形和全等的两直角三角形，从而找到一些等量关系，为顺利解决问题创造条件；在探究性问题中，先假定能（存在），然后据此进行推导，求出相关的量之后，一定要看看它与问题情DEFC 是菱形。第二问，如图，假设经过x 秒后，四边形DEFC 能成为等腰梯形.则 EF=CD，CF=xcm，DE=10cm,作EGBC 于 G，DHBC 于 H。则EGF=DHC=DHG=90,所以 EGDH，而ADBC，所以EG=DH，GH=DE，所以RtEGFRtDHC（HL），所以 GF=HC，又在 RtDHC 中，由勾股01定理可得：HC=6cm，所以GF(CF DE)6cm，即2x 10 6，解得：x=22s。所以在运动过程中，当运动222 秒后，四边形 DEFC 就成为了等腰梯形。第三问，由于四边形 DEFC 在由平行四边形向等腰梯形变化的过程中，直线 EF 绕 E 旋转在直角梯形 ABCD 上所扫过的图形实质上是三角形，所以是能计算出这个图形的面积的。由（1）知：当四边形DEFC 是平行四边形时，CF=10cm，所以此时 BF=16cm；由（2）知：当四边形 DEFC 是等腰梯形时，CF=22cm，此时 BF=4cm，所以所扫过的三角形的底边长是12cm，而这条底上的高就是直角梯形的高，即：AB=8cm，因而：所扫过的三角形的面积就是：48cm.E2境是否有冲突，与其他条件是否有冲突，若有冲突，就是不合题意的，应当舍去，也就说明所探究的情况是不能（存在）的。若没有冲突，那么探究的结论就是存在AD的，这是解决存在性问题或者探究性问题BGF例 4（1）常用的思维方式；C方程思想是我们解决许多实际问题的重要工具，在几何探究问题中，我们也常常要用代数中方程（组）的思想方法来处理相关的几何计算问题，如用勾股定理，这也是代数中，列方程答案：答案：(1)解：设当运动时间为t 秒时，四边形DEFC 是平行四边形。则 CF=tcm，而点 E 为