2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数存在性问题》压轴题专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年人教版中考数学复习 二次函数存在性问题 压轴题专题提升训练（附答案）1如图，抛物线 yx2+x+1 与 y 轴交于点 A，对称轴交 x 轴于点 B，连 AB，点 P 在y 轴上，点 Q 在抛物线上，是否存在点 P 和 Q，使四边形 ABPQ 为矩形？若存在，求点Q 的坐标 2如图，在平面直角坐标系中，直线 l：yx与 x 轴交于点 A，经过点 A 的抛物线 yax23x+c 的对称轴是直线 x（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，点 P 是直线 m 上任意一点，PBx 轴于点 B，PCy 轴于点 C，若点 E 在线段 OB 上，点 F 在线段 OC 的延长线上，连接 PE，PF，且PEPF，求证 PEPF（3）若（2）中的点 P 坐标为（6，2），点 E 是 x 轴上的点，点 F 是 y 轴上的点，当 PEPF 时，抛物线上是否存在点 Q，使得四边形 PEQF 是矩形？如果存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由 3如图，抛物线 yx24x5 与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D（1）如图 1，点 E（m，n）为抛物线上一点，且 2m5，过点 E 作 EFx 轴，交抛物线的对称轴于点 F，作 EHx 轴于点 H，求四边形 EHDF 周长的最大值（2）如图 2，在 x 轴上是否存在一点 M，使得ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图 2，在 x 轴上是否存在一点 M，使得ACM 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由（4）如图 2，点 P 为抛物线对称轴上一点（P 在 x 轴上方），抛物线上是否存在点 Q，使得PBQ 是以线段 PB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由（5）如图 2，点 P 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 Q，使以点 P，B，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（6）如图 2，点 P 为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点 Q，使以点 P，B，C，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（7）如图 2，点 P 为抛物线对称轴上一点，平面直角坐标系中是否存在点 Q，使得四边形 PBCQ 是矩形？若存在，请直接写出点 P、点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 4如图，抛物线 yax2+bx+c 过点 A（1，0），点 B（3，0），与 y 轴负半轴交于点 C，且OC3OA，抛物线的顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 E（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式；（3）若点 P 是抛物线上一点，过点 P 作 PQx 轴交直线 BC 于点 Q，试探究是否存在以点 E，D，P，Q 为顶点的平行四边形若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 5如图，抛物线顶点 P（1，4），与 y 轴交于点 C（0，3），与 x 轴交于点 A，B（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线 yx+m 只有一个交点，求 m 的值；（3）Q 是抛物线上除点 P 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标；（4）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为D，E是否存在点 M、N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由 6如图，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于 C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 P 为对称轴上一动点，求APC 周长的最小值；（3）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为D，E是否存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的面积；如果不存在，请说明理由 7 在平面直角坐标系中，一次函数 yx+3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，若 M（m，y1），N（n，y2）是第一象限内抛物线上的两个动点，且 mn分别过点 M，N 作 MC，ND 垂直于 x 轴，分别交直线 AB 于点 C，D 如果四边形 MNDC 是平行四边形，求 m 与 n 之间的关系；在的前提下，求四边形 MNDC 的周长 L 的最大值；（3）如图 2，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 A，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APAABO？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由？8如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（1，0），B（5，0），与 y 轴相交于点C（0，4），抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 D，点 E 是 x 轴下方抛物线上的一个动点（点E，D，C 不在同一条直线上），分别过点 A，B 作直线 CE 的垂线，垂足分别为 M，N，连接 MD，ND（1）求抛物线的解析式；（2）延长 MD 交 BN 于点 F，求证：ADMBDF；求证：DMDN（3）当DMN 为等边三角形时，请直接写出直线 CE 与抛物线对称轴的交点坐标 9如图，抛物线 yax2+x+c（a0）与 x 轴相交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴相交于点 C（0，3），作直线 BC（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 在线段 BC 上，EM 垂直于 x 轴，交抛物线于点 N，求 EN 的最大值（3）在直线 BC 上方的抛物线上存在点 D，使DCB2ABC，直接写出点 D 的坐标；（4）若点 P 的坐标为（2，），点 F 的坐标为（0，），点 M 在抛物线上，点 N 在直线 BC 上当以 P，F，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 N 的坐标 10如图 1，已知抛物线 yax2+x+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且点 A 的坐标为（1，0）、点 C 的坐标为（0，3）（1）请写出该抛物线的函数表达式和点 B 的坐标；（2）如图 2，有两动点 D、E 在COB 的边上运动，运动速度均为每秒 5 个单位长度，它们分别从点 C 和点 B 同时出发，点 D 沿折线 COB 按 COB 方向向终点 B 运动，点E 沿线段 BC 按 BC 方向向终点 C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为 t 秒，请解答下列问题：当 t 为何值时，BDE 的面积等于；在点 D、E 运动过程中，该抛物线上存在点 F，使得依次连接 AD、DF、FE、EA 得到的四边形 ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标 11 已知：如图，抛物线 yax22ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4）与 x 轴交于点 A、B，点 A 的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的解析式（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ当CQE的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2，0）问：是否存在这样的直线 l，使得ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由（4）若点 M 是抛物线上一动点，点 N 是直线 yx 上一动点，请直接写出以点 M、N、C、O 为顶点的四边形是平行四边形时，点 N 的相应坐标（不需写出计算过程）12如图 1，抛物线 yax2+bx4a 经过 A（1，0）、C（0，4）两点，与 x 轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称点的坐标；（3）如图 2，点 P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使PBC 面积最大的点 P？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图 3，若抛物线的对称轴 EF（E 为抛物线顶点）与直线 BC 相交于点 F，M 为直线 BC 上的任意一点，过点 M 作 MNEF 交抛物线于点 N，以 E，F，M，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 N 的坐标；若不能，请说明理由 13如图，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴点 A、B，连接 AC、BC，tanABC1，tanBAC3（1）求抛物线关系式；（2）点 D 是第一象限抛物线上的点，连接 CD、BD，若点 D 的横坐标为 t，DBC 的面积是 S当 t 为何值时，DBC 的面积最大？最大面积是多少？（3）如图，设点 M 是抛物线上一点，点 N 是直线 BC 上一点，是否存在点 M、N 的位置，使以点 O、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出相对应的点 M 和点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由.14如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x+3 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B的左侧），点 C 是抛物线的顶点点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作PEy 轴，交 BC 于点 E，PFBC，垂足为 F（1）求点 C 的坐标；（2）当 PE+PF 取得最大值时，求点 P 的坐标和 PE+PF 的最大值；（3）当点 P 满足（2）问的条件时，把抛物线 yx2+2x+3 向右平移，使得新抛物线经过原点，M 是新抛物线上一点，N 是直线 BC 上一点，直接写出所有使得以点 A，P，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个点 M 的坐标的过程写出来 15已知抛物线 yax2+2x+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与直线 yx+3交于点 B 和点 C，M 为抛物线的顶点，直线 ME 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的解析式及点 M 的坐标；（2）直线 ME 与 BC 交于点 N，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一点，在直线 BC 上是否存在一点 Q，使得以点 M、N、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q 的坐标；（3）点 F 为直线 BC 上一点，作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AC，AF，当FAC是直角三角形时，直接写出点 F 的坐标 16抛物线交 x 轴于 A、B 两点（点 A 位于点 B 左侧），交 y 轴于点 C直线l：交 y 轴于点 E，交抛物线于 B、D 两点 （1）如图 1，求点 D 的坐标；（2）如图 2，P 为直线 l 上方抛物线上一动点，PQBD，求线段 PQ 的最大值及此时对应点 P 的坐标；（3）如图 3，将抛物线沿射线 BD 平移一定的距离得新抛物线 y，使得新抛物线 y过点 D，点 F 为新抛物线 y的顶点，点 G 为抛物线上的一动点，点 M、N 为直线 l 上的两个动点当以 F，G，M，N 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点 G 的坐标，并选一个点 G 坐标写出推理过程 17如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（0，5）有一宽度为 1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y 轴平行的一组对边交抛物线于点 P 和点 Q，交直线 AC 于点 M 和点 N，交 x 轴于点 E 和点 F（1）求抛物线的解析式及点 A 的坐标；（2）当点 M 和 N 都在线段 AC 上时，连接 MF，如果 sinAMF，求点 Q 的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 18综合与探究 如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 P 是直线 BC 上方抛物线上一点（1）求抛物线的解析式；（2）在直线 BC 上方的抛物线上找一点 P，作 PGBC，求线段 PG 的最大值；（3）连接 CD、CB，当PCBDCB 时，求点 P 的坐标（4）若点 M 为直线 BC 上一点，N 为平面内一点，是否存在这样的点 M 和点 N 使得以C、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 M 坐标；若不存在，说明理由 19如图，抛物线 yax2+x+c 与 x 轴交于点 A（6，0），C（2，0），与 y 轴交于点 B，抛物线的顶点为 D，对称轴交 AB 于点 E，交 x 轴于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上对称轴左侧一点，连接 EP，若 tanBEP，求点 P 的坐标；（3）M 是直线 CD 上一点，N 是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点 N，使得以点B，E，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 20如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C1：yax2+bx+c 交 x 轴于点 A（5，0），B（1，0），交 y 轴于点 C（0，5）（1）求抛物线 C1的表达式和顶点 D 的坐标（2）将抛物线 C1关于 y 轴对称的抛物线记作 C2，点 E 为抛物线 C2上一点若DOE 是以 DO 为直角边的直角三角形，求点 E 的坐标 参考答案 1解：存在点 P 和点 Q，使四边形 ABPQ 为矩形，理由如下：令 x0，则 y1，AO1，抛物线对称轴为直线 x2，OB2，四边形 ABPQ 为矩形，ABO+PBOABP90，BAO+ABO90，BAOPBO，又AOBBOP90，AOBBOP，即，解得 OP4，点 P 的坐标为（0，4），AP 的中点，即矩形的中心 C 的坐标是（0，1.5），设点 Q（x，y），则0，1.5，解得 x2，y3，点 Q 的坐标为（2，3），当 x2 时，y（2）2+（2）+1+14+13，点 Q 在抛物线 yx2+x+1 上，故存在点 Q（2，3），使四边形 ABPQ 为矩形，点 Q 的坐标为（2，3）2（1）解：当 y0 时，解得 x4，A（4，0），抛物线过点 A，对称轴是，得，解得，抛物线的解析式为 yx23x4；（2）证明：平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，直线 m 的解析式为，点 P 是直线 1 上任意一点，设 P（3a，a），则 PC3a，PBa，又PE3PF，FPCEPB，CPE+EPB90，FPC+CPE90，FPPE；（3）解：存在点 Q，使得四边形 PEQF 是矩形，理由如下：如图 1，点 E 在点 B 的左侧时，设 E（a，0），BE6a，CF3BE183a，OF203a，F（0，203a），PEQF 为矩形，Qx+60+a，Qy+2203a+0，Qxa6，Qy183a，Q（a6，183a），183a（a6）23（a6）4，解得：a4 或 a8（舍去），Q（2，6）；如图 2：当点 E 在点 B 的右侧时，设 E（a，0），BEa6，CF3BE3a18，OF3a20，F（0，203a），PEQF 为矩形，Qx+60+a，Qy+2203a+0，Qxa6，Qy183a，Q（a6，183a），183a（a6）23（a6）4，解得：a8 或 a4（舍去），Q（2，6）；综上所述，点 Q 的坐标为（2，6）或（2，6）3解：（1）令 x0，则 y5，C（0，5），令 y0，则 x24x50，x1 或 x5，A（1，0），B（5，0），yx24x5（x2）29，对称轴为直线 x2，D（2，0），EFx 轴，EHx 轴，四边形 EHDF 为矩形，点 E（m，n），F（2，n），H（m，0），2m5，EFm2，DFn，四边形 EHDF 周长2（m2n）2m42n，点 E（m，n）为抛物线上一点，nm24m5，四边形 EHDF 周长2m42（m24m5）2m2+10m+62（m）2+，当 m时，四边形 EHDF 周长的有最大值；（2）存在点 M，使得ACM 是等腰三角形，理由如下：C（0，5），A（1，0），AC，当 ACAM 时，AM，M（1，0）或 M（1，0）；当 ACCM 时，M 点与 A 点关于 y 轴对称，M（1，0）；当 MAMC 时，设 M（m，0），m+1，m12，M（12，0）；综上所述：M 点坐标为（1，0）或（1，0）或（1，0）或（12，0）；（3）存在点 M，使得ACM 是直角三角形，理由如下：设 M（m，0），ACM 为直角三角形，只能是ACM90，AC2+MC2AM2，26+m2+25（m+1）2，m25，M（25，0）；当AMC90时，此时 M 与 O 重合，M（0，0），综上所述，M 点坐标为（0，0）或（25，0）；（4）设 P（2，t），如图 2，当PBQ90，PBBQ 时，过点 B 作 EFx 轴，过点 P 作 PEEF 交于 E，过点 Q 作 QFEF 交于 F，PBE+BPE90，PBE+QBF90，EPBQBF，PEBBFQ（AAS），BEQFt，PEBF3，Q（5t，3）Q 点在抛物线上，（5t）24（5t）53，t3+或 t3，P 在 x 轴上方，t0，Q（2+，3）或 Q（2，3）；如图 3，当BPQ90，PQBP，Q 点在 y 轴右侧时，过点 Q 作 QH 垂直对称轴交于 H 点，HPQ+DPB90，HQP+HPQ90，HQPDPB，HPQDBP（AAS），HQPDt，HPDB3，Q（t+2，t+3），点 Q 在抛物线上，t+3（t+2）24（t+2）5，t4 或 t3，P 在 x 轴上方，t0，Q（6，7）；当BPQ90，PQBP，Q 点在 y 轴左侧时，过点 P 作 MNx 轴，过 B 点作 BNMN 交于 N 点，过 Q 点作 QMMN 交于 M 点，BPQ90，MPQ+BPN90，MPQ+MQP90，BPNMQP，PQPB，MQPNPB（AAS），MQPN，MPBN，PN3，BNt，Q（2t，t3），t3（2t）24（2t）5，t3 或 t2（舍去），Q（1，0）；综上所述：Q 点的坐标为（2+，3）或（2，3）或（6，7）或（1，0）；（5）存在点 Q，使以点 P，B，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设 P（2，t），Q（n，n24n5），当 PB 为平行四边形的对角线时，P（2，11）；当 PC 为平行四边形的对角线时，P（2，21）；当 PQ 为平行四边形对角线时，P（2，3）；（2，11）；综上所述：P 点坐标为（2，3）或（2，11）或（2，21）；（6）存在点 Q，使以点 P，B，C，Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设 P（2，t），Q（x，y），当 PB 为菱形对角线时，PCBC，P（2，5+）或 P（2，5）；当 PC 为菱形对角线时，PBBC，P（2，）或 P（2，）；当 PQ 为菱形对角线时，PBPC，P（2，2）；综上所述：P 点坐标为（2，5+）或（2，5）或（2，）或（2，）或（2，2）；（7）存在点 Q，使得四边形 PBCQ 是矩形，理由如下：设 P（2，t），Q（x，y），四边形 PBCQ 是矩形，PBBC，OBOC5，OBC45，PBD45，BDPD3，P（2，3），过点 Q 作 MNx 轴交于 M 点，过点 C 作 CNMN 交于 N 点，CQBC，QCN45，PQBP，PBD45，PAD45，MAQ45，MAMQ，MQ+QNx1x5，x3，Q（3，2）；4解：（1）点 A（1，0），OC3OA，OC3，C（0，3），把点 A（1，0）、C（0，3）和 B（3，0）代入抛物线 yax2+bx+c 中，解得：，抛物线的解析式为 yx22x3；（2）设直线 BC 解析式为：ykx+b，把 B（3，0）、C（0，3）代入得：，解得：，yx3；（3）存在，设 p（a，a22a3），Q（a，a3），抛物线的顶点为 D，D（1，4），E（1，0），|PQ|yQyP|a23a|，PQED，若 E、D、P、Q 为平行四边形，PQED，D（1，4），E（1，0），ED4，PQ4，|a23a|4，a23a4 或 a23a4，当 a23a4 时，解得：a14，a21；当 a23a4，时，0，无解，P1（4，5），P2（1，0），存在，点 P 坐标为（4，5）或（1，0）5解：（1）设 ya（x1）2+4（a0），把 C（0，3）代入抛物线解析式得：a+43，即 a1，则抛物线的解析式为 y（x1）2+4x2+2x+3；（2）抛物线与直线 yx+m 只有一个交点，x2+2x+3x+m，即 x2x+m30，解得：m；（3）由抛物线解析式 yx2+2x+3 可令 y0，解得：x11，x23，点 A（1，0），B（3，0），设直线 BC 的解析式为 ykx+b，则有：，解得：，直线 BC 的解析式为 yx+3，过 P 作 PQ1BC，交抛物线于点 Q1，如图 1 所示，设直线 PQ1的解析式为 yx+n，P（1，4），直线 PQ1的解析式为 yx+5，联立：，解得：或，即（1，4）与 P 重合，Q1（2，3）；过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 G，在直线 PG 上取 PGGH，直线 BC 的解析式为 yx+3，P（1，4），G（1，2）PGGH2，H（1，0），过 H 作直线 Q2Q3BC，交抛物线于点 Q2，Q3，同理可得直线 Q2Q3解析式为 yx+1，联立得：，解得：或，Q2（，）Q3（，）；（4）存在点 M、N 使四边形 MNED 为正方形，如图 2 所示，四边形 MNED 为正方形，过 M 作 MNy 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N 作 NHy 轴，则MNF 与NEH 为等腰直角三角形，设 M（x1，y1），N（x2，y2），MN 解析式为 yx+b，联立：，得：x23x+b30，NF2|x1x2|2（x1+x2）24x1 x2214b，MNF 为等腰直角三角形，MN22NF2428b，H（x2，x2+3），NH2y2（x2+3）2（x2+b+x23）2（b3）2，NE2（b3）2，若四边形 MNED 为正方形，则有 NE2MN2，428b（b26b+9），整理得：b2+10b750，解得：b15 或 b5，正方形边长为 MN，MN9或 6解：（1）由题意可设抛物线的函数表达式为 ya（x+1）（x+3），将 C（0，3）代入得：3a（0+1）（0+3），解得 a1 抛物线的函数表达式为 y（x+1）（x+3），即 yx2+4x+3（2）如图 1，连接 AC、BC，BC 交对称轴于点 P，连接 PA A（1，0），B（3，0），C（0，3）BC3，AC 点 A、B 关于对称轴 x2 对称，PAPB PA+PCPB+PC此时，PB+PCBC 点 P 在对称轴上运动时，PA+PB 的最小值等于 BC APC 的周长的最小值AC+AP+PCAC+BC3+；（3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形，如图 2 所示，过 M 作 MFy 轴，交 x 轴于点 F，过 N 作 NHy 轴，则有MNF 与NEH都为等腰直角三角形，设 M（x1，y1），N（x2，y2），设直线 MN 解析式为 yx+b，联立得：，消去 y 得：x2+3x+3b0，NF2|x1x2|2（x1+x2）24x1x24b3，MNF 为等腰直角三角形，MN22NF28b6，NH2（b3）2，NE2（b3）2，若四边形 MNED 为正方形，则有 NE2MN2，8b6（b3）2，整理得：b222b+210，解得：b21 或 b1，正方形面积为 MN28b6，正方形面积为 162 或 2 7解：（1）一次函数 yx+3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，A（4，0），B（0，3），抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，解得，抛物线的解析式为 yx2+x+3；（2）由题意 M（m，m2+m+3），N（n，n2+n+3），C（m，m+3），D（n，n+3），四边形 MNDC 是平行四边形，MCDN，m2+4mn2+4n，（mn）（m+n4）0，mn，mn0，m+n4；由题意 L2（m2+4m）+（nm）2m2+4m+（42m）2（m）2+，20，m时，L 有最大值，最大值为；（3）如图 3 中，作 BH 平分OBA 交 OA 于 H，过点 H 作 HEAB 于 E HBEHBO，BOHBEH90，BHBH，BHOBHE（AAS），BOBE3，OHHE，设 OHEHx，AB5，AEABBE2，AH4x，在 RtAEH 中，则有 x2+22（4x）2，解得 x，H（，0），抛物线的对称轴 x，设对称轴交 x 轴于 K，则 AK，PAPA，PKAA，APKAPK，APAOBA，APKOBH，tanOBHtanAPK，PK，P（，），根据对称性，P（，）也符合题意，综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（，）或（，）8解：（1）将点 A（1，0），B（5，0），C（0，4）代入 yax2+bx+c，解得，yx2+x+4；（2）yx2+x+4（x+3）2，抛物线的对称轴为直线 x3，D（3，0），A（1，0），B（5，0），AD2，BD2，ADBD，AMCE，BNCE，AMBN，AMDBFD，MDABDF，ADMBDF（AAS）；ADMBDF，DMDF，D 点是 MF 是中点，BNEC，MNF90 DNMF，DNDM；（3）设 CE 与对称轴的交点为 G，连接 AG，ADGAMG90，A、M、D、G 四点共圆，GMDGAD，DMN 为等边三角形，DMN60，GAD60，tanDMN，tanGAD，AD2，GD2，G（3，2）9解：（1）抛物线 yax2+x+c 经过点 A（1，0），C（0，3），解得：，抛物线的解析式为 yx2+x+30：（2）当 yx2+x+30 时，x11，x24，点 B 的坐标为（4，0）设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0），将 B（4，0）、C（0，3）代入 ykx+b 中，解得：，直线 BC 的解析式为：yx+3，设点 E 的坐标为（t，t+3）（0t4），点 N 的坐标为（t，t2+t+3），ENt2+t+3（t+3）t2+3t（t2）2+3，当 t2，线段 EN 的最大值为 3；（3）解法一：作点 B 关于 y 轴的对称点 B，作射线 BC 交抛物线于点 D，B 的坐标为（4，0），B（4，0），直线 BC 的解析式为：yx+3，则x2+x+3x+3，解得：x10（舍），x22，点 D 的坐标为（2，）；如图 1，过点 C 作 CEx 轴交抛物线于点 E，则ECBABC，过点 D 作 DHCE 于点 H，则DHC90，DCBDCH+ECB2ABC，DCHABC，DHCCOB90，DCHCBO，设点 D 的横坐标为 d，则点 D 的坐标为（d，d2+d+3），C（0，3），DHd2+d，B 的坐标为（4，0），OB4，解得 d10（舍去），d22，点 D 的纵坐标为：d2+d+3，则点 D 的坐标为（2，）；（4）设 N（m，m+3），分两种情况：如图 21 和图 22，以 PF 为边，PN 为对角线，N 在 x 轴的上方时，四边形 PFNM是平行四边形，P（2，），F（0，），M（m+2，m+4），代入抛物线的解析式得：（m+2）2+（m+2）+3m+4，解得：m，N（，3）或（，3+）；如图 31 和 32，以 PF 为边，PM 为对角线，四边形 PFMN 是平行四边形，同理得：M（m2，m+2），代入抛物线的解析式得：（m2）2+（m2）+3m+2，解得：m4，N（4+，）或（4，）；以 DF 为对角线时，则中点 Q 的坐标为（1，4），设 M（m，m2+m+3），N（n，n+3），此方程组无解，所以此种情况不成立；综上，点 N 的坐标为（，3）或（，3+）或（4+，）或（4，）10解：（1）抛物线 yax2+x+c 经过 A（1，0），C（0，3）两点，解得，该抛物线的函数表达式为 yx2+x+3；抛物线 yx2+x+3，令 y0，解得：x11，x24，B 点的坐标为（4，0）；（2）在OBC 中，BCOC+OB，当动点 E 运动到终点 C 时，另一个动点 D 也停止运动，OC3，OB4，在 RtOBC 中，BC5，0t1，当运动时间为 t 秒时，BECD5t，如图，过点 E 作 ENx 轴，垂足为 N，则BENBCO，t，BN4t，EN3t，点 E 的坐标为（44t，3t），下面分两种情形讨论：、当点 D 在线段 CO 上运动时，0t，此时 CD5t，点 D 的坐标为（0，35t），SBDESBOCSCDESBOD BOCOCD|xE|OBOD 435t（44t）4（35t）10t2，当 SBDE时，10t2，解得 t1（舍去），t2，t；、如图，当点 D 在线段 OB 上运动时，t1，BD75t，SBDEBDEN（75t）3t，解得（不合题意，舍去），综上所述，当或时，BDE 的面积等于；当点 D 在线段 OC 上，过点 E 作 EHx 轴，过点 F 作 FHEH 于 H，四边形 ADFE 是平行四边形，ADEF，ADEF，ADF+DFE180，COFH，ODF+DFH180，ADOEFH，又AODEHF，ADOEFH（AAS），AOEH1，FHDO35t，点 E 的坐标为（44t，3t），点 F（54t，3t+35t），3t+35t（54t）2+（54t）+3，解得：t1，t2（不合题意舍去），F 坐标为（，）；当点 D 在线段 OB 上，过点 E 作 EQAB 于 Q，过点 F 作 FMAB 于 M，四边形 ADFE 是平行四边形，ADEF，ADEF，EAQFDM，又AQEDMF90，AEQDFM（AAS），DMAQ，EQFM，EFAD4（75t）+15t2，点 E 的坐标为（44t，3t），点 F（2+t，3t），3t（2+t）2+（2+t）+3，解得：t36（不合题意舍去），t41，F 坐标为（3，3）综上所述：F 的坐标为（3，3）或（，）11解：（1）由题意得，解得，所以，抛物线的解析式为 yx2x4；（2）设点 Q 坐标为（m，0），过点 E 作 EGx 轴于 G，由x2x40，得 x12，x24，点 B 的坐标为（2，0），AB4（2）6，BQm（2）m+2，QEAC，EBQBAC，即，解得 EG，SCQESBCQSBEQ，BQCOBQEG，（m+2）4（m+2），m2+m+，（m1）2+3，又2m4，m1 时，CQE 的面积最大，最大值是 3，此时点 Q（1，0）；（3）存在 DODF 时，A（4，0），D（2，0），ADODDF2，又在 RtAOC 中，OAOC4，OAC45，DFAOAC45，ADF90，此时点 F 的坐标为（2，2），直线 l 平行于 x 轴，点 P 的纵坐标为2，x2x42，解得 x11+，x21，点 P 的坐标为（1+，2）或（1，2）；DFOF 时，过点 F 作 FHx 轴于 H，由等腰三角形的性质得，OHOD1，AH413，在等腰直角AHF 中，HFAH3，点 F 的坐标为（1，3），直线 l 平行于 x 轴，点 P 的纵坐标为3，x2x43，解得 x11+，x21，点 P 的坐标为（1+，3）或（1，3）；ODOF 时，OAOC4，AOC90，AC4，点 O 到 AC 的距离为2，OFOD22，此时，不存在这样的直线 l，使得ODF 是等腰三角形，综上所述，P 点的坐标为（1+，2）或（1，2）或（1+，3）或（1，3）；（4）A（4，0），C（0，4），直线 AC 与 x 轴的夹角为 45，直线 AC 与直线 yx 平行，点 M 与点 A 重合时，ON 与 CM 是对应边，此时点 N 的横坐标是 4 或4，又点 N 在直线 yx 上，点 N 的坐标为（4，4）或（4，4），点 M 与点 A 不重合时，设点 N 的坐标为（m，m），MN 与 OC 是对边，MNOC，|m2m4m|4，m2m4m4 或m2m4m4，整理得，m24m160 或 m24m0，解得 m12+2，m222，m34（M 与 A 重合，舍去），m40（M 与 C 重合，舍去），点 N 的坐标为（2+2，2+2）或（22，22），综上所述，存在点 N（2+2，2+2）或（22，22）或（4，4）或（4，4）12解：（1）依题意，有：，解得 故抛物线的解析式：yx2+3x+4（2）将点 D（m，m+1）代入 yx2+3x+4 中，得：m2+3m+4m+1，化简，得：m22m30，解得：m11（舍），m23；D（3，4），CDx 轴；由 B（4，0）、C（0，4）可得：OBOC4，即OBC 是等腰直角三角形，得：OCBDCB45；设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E，则点 E 在 y 轴上，且 CDCE3，OEOCCE1，则：点 D 关于直线 BC 的对称点的坐标为（0，1）（3）由 B（4，0）、C（0，4）可知，直线 BC：yx+4；如图 2，过点 P 作 PQy 轴，交直线 BC 于 Q，设 P（x，x2+3x+4），则 Q（x，x+4）；则 PQ（x2+3x+4）（x+4）x2+4x；SPCBPQOB（x2+4x）42（x2）2+8；所以，当 P（2，6）时，PCB 的面积最大（4）存在 抛物线 yx2+3x+4 的顶点坐标 E，直线 BC：yx+4；当时，y+4，则，则，如图 3，过点 M 作 MNEF，交抛物线于点 N，设 N（x，x2+3x+4），则 M（x，x+4）；则 MN|（x2+3x+4）（x+4）|x2+4x|；当 EF 与 NM 平行且相等时，四边形 EFMN 是平行四边形，则|x2+4x|由，解 得（不 合 题 意，舍 去），则，由，解得，则 N2（）；N3（2，+）综上所述，存在平行四边形，点 N 的坐标为，N2（）；N3（2，+）13解：（1）由抛物线的表达式知，c3CO，在 RtBOC 中，OC3，tanABC1，则 OB3，在 RtAOC 中，OC3，tanABC1，则 OA1，故点 A、B、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3），将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为 yx2+2x+3；（2）过点 D 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 yx+3，设点 D（t，t2+2t+3），则点 H（t，t+3），则 SSDHC+SDHBDHOB3（t2+2t+3+t3）t2+t，0，故 S 有最大值，当 t时，S 的最大值为；（3）设点 M 的坐标为（m，m2+2m+3），当 OC 是边时，OCMN，OCMN，则 N（m，m+3）|m2+2m+3+m3|3，解得 m或，M（，）或（，），当 OC 是对角线时，OMBC，由，解得或（舍弃），M（，）或（，）综上所述，点 M 的坐标为（，）或（，），点 N 的坐标为（，）或（，）14解：（1）抛物线 yx2+2x+3（x1）2+4，顶点 C 的坐标为（1，4）（2）令 y0，则x2+2x+30，解得 x1 或 x3，A（1，0），B（3，0），直线 BC 的解析式为：y2x+6；如图，过点 C 作 CDx 轴于点 D，BD2，CD4，BC2，PFBC，PFECDB90，PEy 轴，CDPE，PEFBCD，BCDPEF，PE：PFBC：BD：1，PFPE，PE+PFPE+PE（1+）PE，若求 PE+PF 的最大值，则求 PE 的最大值即可；设点 P 的横坐标为 t，则 P（t，t2+2t+3），E（t，2t+6），PEt2+2t+3（2t+6）t2+4t+3（t2）2+1，10，当 t2 时，PE 有最大值 1，PE+PF 的最大值为 1+，此时 P（2，3）（3）设抛物线 yx2+2x+3 向右平移 n（n0）个单位得到新抛物线 y经过原点，y（x1n）2+4，则有（01n）2+40，解得 n3（舍）或