2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习几何图形变换综合压轴题专题提升训练（附答案）1在ABC 中，ABAC，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转，得到ADE，点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点为点 E，BC 与 ED 的延长线交于点 F（1）如图 1，连接 CD，求证FCDFDC；（2）如图 2，连接 BD 与 CE 交于点 O 求证：OCOD；求证：A，O，F 三点在同一条直线上 2感知：如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，点 B 在线段 AD 上，点 C 在线段 AE 上，我们很容易得到 BDCE，不需要证明；探究：如图，将ADE 绕点 A 逆时针旋转（090），连结 BD 和 CE，此时 BDCE 是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；应用：如图，当ADE 绕点 A 逆时针旋转，使得点 D 落在 BC 的延长线上，连接 CE；探究线段 BC、CD、CE 之间的数量关系 若 ABAC，CD1，求线段 DE 的长 3综合与实践 某兴趣小组为研究特殊三角形旋转时“点、线、面”在特殊位置时的特殊结论，小组成员选取了两个完全相同的含 30角的三角尺如图摆放，其中ACBACB90，BB30，ACAC2保持ABC 不动，将ABC 绕着直角顶点 C 顺时针旋转一个角度（0120），与边 BC 交于点 D（如图）（1）如图，当 30时，BC 与 AB 的位置关系是 ，判断此时ACD的形状并证明（2）如图，当 时，BCD 是等腰三角形（3）如图，当ABC 继续旋转至点 B、A、B 三点共线时，连接 AB，求AB的长 4在ABC 中，ABAC，BAC90，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，点 P 是直线MN 上一点，连接 AP，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PQ，连接 AQ，CQ 【问题发现】（1）如图（1），当点P 与点 M 重合时，线段 CQ与 PN 的数量关系是 ，ACQ 【探究证明】（2）当点 P 在射线 MN 上运动时（不与点 N 重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图（2）中的情形给出证明（3）连接 PC，当PCQ 是等边三角形时，请直接写出的的值 5如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B（2，0），C（3，0），将线段 BC 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，使得点 B 平移到点 A，点 C 平移到点 D（1）直接写出点 A 和点 D 的坐标，并求证ABCADC；（2）连接 AC，求三角形 ABC 的面积；（3）在坐标轴上是否存在点 P，使三角形 PAB 的面积等于三角形 ABC 的面积的一半？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 6图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比 问题情景：数学课上，老师让同学们以等腰三角形纸片为背景进行探究性活动如图，已知ABC 为等腰三角形，ABAC，tanB，D 为边 BC 上一点（不与 B，C 重合），将ADB 沿 AD 翻折后得到ADB，连接 CB 操作发现：（1）如图 1，AB与 BC 交于点 E，求证：AEEBDECE；探究发现：（2）如图 2，当 ABBC 时，探究线段 AC，CB，CD 之间的数量关系；探究拓广：（3）若 AB20，当|CDBD|AD 时，求CDB的面积 7如图 1，将线段 AB 平移至 DC，使点 A 与点 D 对应，点 B 与点 C 对应，连接 AD，BC（1）填空：BC 与 AD 的位置关系为 ，BC 与 AD 的数量关系为 （2）点 G，E 都在直线 BC 上，DGEGDE，DF 平分CDE 交直线 BC 于点 F 如图 2，若 G，E 为射线 CB 上的点，FDG40，求C 的度数；如图 3，若 G，E 为射线 BC 上的点，FDG，则BCD （用含 的式子表示）8已知：MNGH，在 RtABC 中，ACB90，BAC30，点 A 在 MN 上，边 BC在 GH 上，在 RtDEF 中，DFE90，边 DE 在直线 AB 上，EDF45 （1）如图 1，求BAN 的度数；（2）如图 2，将 RtDEF 沿射线 BA 的方向平移，当点 F 在 MN 上时，求AFE 度数；（3）如图 3，将 RtDEF 沿射线 BA 的方向平移到BEF的位置，若点 B 是 DE 的中点，DE6cm，则平移的距离为 cm（4）将 RtDEF 在直线 AB 上平移，当以 A、D、F 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出FAN 度数 9在ABC 中，ACB90，AC4，BC3（1）如图 1，D 为线段 BC 上一点，点 C 关于 AD 的对称点 C恰好落在 AB 边上，求CD 的长；（2）如图 2，E 为线段 AB 上一点，沿 CE 翻折CBE 得到CEB，若 EBAC，求证：AEAC；（3）如图 3，D 为线段 BC 上一点，点 C 关于 AD 的对称为点 C，是否存在异于图 1的情况的 C、B、D 为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出 BC长；若不存在，请说明理由 10如图，点 P（3m1，2m+4）在第一象限的角平分线 OC 上，APBP，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上（1）求点 P 的坐标（2）当APB 绕点 P 旋转时，OA+OB 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值 请求出 OA2+OB2的最小值 11如图，在ABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 ADAE 则 CEBD 现将ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，旋转角为 （0180）如图，连接 CE，BD（1）如图，请直接写出 CE 与 BD 的数量关系（2）将ADE 旋转至如图所示位置时，请判断 CE 与 BD 的数量关系和位置关系，并加以证明（3）在旋转的过程中，当BCD 的面积最大时，（直接写出答案即可）12如本题图，在ABC 中，B45，C30，过点 A 作直线 AC 的垂线交 BC于点 D（1）求BAD 的度数；（2）若 AC2，求 AB 的长；（3）如本题图，过点 A 作DAC 的角平分线交 BC 于点 P，点 D 关于直线 AP 的对称点为 E，试探究线段 CE 与 BD 之间的数量关系，并对结论给予证明 13 问题背景：如图，已知EDF 的顶点 D 在ABC 的边 AB 所在直线上（不与 A，B 重合），DE 交 AC 所在直线于点 M，DF 交 BC 所在直线于点 N，记ADM 的面积为 S1，BND的面积为 S2初步尝试：如图 1，当ABC 是等边三角形，AB6，EDFA，且DEBC，AD2 时，则 S1S212 类比探究：（1）在上述条件下，先将EDF 随点 D 沿 AB 平移，使 AD4，再将EDF 绕点 D 旋转至如图 2 所示位置，求 S1S2的值 延伸拓展：（2）当ABC 是等腰三角形，ACBC 时，设BAEDF 如图 3，当点 D 在线段 AB 上运动时，设 ADa，BDb，求 S1S2的表达式（结果用a，b 和 的三角函数表示）；如图 4，当点 D 在 BA 的延长线上运动时，设 ADa，BDb，直接写出 S1S2的表达式，不必写出解答过程 14在ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 在直线 AB 上，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CE，连接 DE，点 F 是线段 DE 的中点，连接 AF（1）如图 1，当点 D 在 BA 的延长线上时，连接 AE，若 DE4，求线段 AF 的长度；（2）如图 2，当点 D 在 AB 的延长线上时，若点 G 是线段 AD 的中点，连接 FG，求证：BD2FG；（3）如图 3，连接 CF 和 BE，若 BC2，当线段 CF 取最小值时，请直接写出BCE的面积 15已知等腰直角三角形 ABC 中，BCAB，ABC90，点 D 在射线 CB 上移动（不与B、C 重合），连接 AD，线段 AD 绕点 D 顺时针旋转（0180）得到线段DE，连接 CE，AE（1）如图 1，当点 E 落在线段 AC 上时，直接写出BAD 的度数 （可用 表示）；直接用等式表示 CE、CD、CB 的数量关系：；（2）当点 E 落在线段 AC 的延长线上时，请在图 2 中画出符合条件的图形，用等式表示CE、CD、CB 的数量关系，并证明你的结论 16【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第 122 页的部分内容：如图，ACD、AEB 都是等腰直角三角形，CADEAB90，画出ACE 以点 A 为旋转中心、逆时针旋转 90后的三角形【操作发现】在图中画出ACE 以点 A 为旋转中心、逆时针旋转 90后的三角形，写出旋转前后 CE 与其对应线段的数量关系和位置关系：【探究证明】如图，将ACE 绕点 A 逆时针旋转 90得到ADB，设 CE、AC 分别与BD 交于点 F、G，判断 CE 和 DB 的数量关系和位置关系，并说明理由【问题解决】如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 40得到ADE，点 D 恰好落在 BC上，DE 与 CA 交于点 F 若ABD 与AFD 关于直线 AD 对称，且 BC9，BD3，则：DAE 度；CDE 度；线段 EF 的长是 17如图 1，两块直角三角纸板（RtABC 和 RtBDE）按图所示的方式摆放，其中BDEACB90，ABC30，BDDEAC2点 G，H 分别是 CD，BC 的中点，将BDE 绕着点 B 顺时针旋转，记旋转角为 （1）当 0，CD 的长为 （2）当BDE 旋转到图 2 的位置时，GH 的长为 （3）如图 2，连接 AG，在BDE 绕着点 B 顺时针旋转的过程中，AG 是否存在最大值和最小值，若存在，请求出最大值和最小值若不存在，请说明理由 18如图，ABC 是等边三角形，过点 B 作 MNAC，点 D 是射线 BA 上的动点，连接 DC并延长，射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 60得射线 DE，DF 交 MN 于点 E（1）如图 1，当点 D 是 AB 中点时，请直接写出 BC、BD、BE 的数量关系（2）如图 2，当点 D 在 BA 延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出 BC，BD，BE 三条线段的数量关系，并说明理由（3）当DCA15时，直接写出 BD，BE 的数量关系 19探索与试验：数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质和判定后，用一副三角板来探索平行 如图：在三角形 ABC 和三角形 DEC 中，ACBCDE90，ABC30，DCE45，将三角形 DEC 绕着点 C 做旋转运动（1）当 ABDC 时，如图所示，DCB （2）当CD与CB重合时，如图所示，DE与AC的位置关系是 ，理由是 （3）如图所示，当DCB 等于多少度时，ABEC？说明理由（4）当 ABED 时，直接写出DCB 的度数 20如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，A（12，0），C（0，4），CAOBCO30，点 E 从 A 出发沿 AC 向点 C 运动，点 F 从 O 出发沿 OC 向 C 运动，两点同时出发，速度均为 1 个单位/秒，并且一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为 t 秒（1）求点 B 坐标；（2）连接 EF，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 ED，连接 CD，求 CD 的长；（3）在（2）的条件下，作点 D 关于 EF 的对称点 G，连接 CG、BG，当 t 为何值时，CBG 为直角三角形 参考答案 1证明：（1）将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转，得到ADE，ABAC，ABADACAE，ACBE，ACBB，ADEE，ACDADC，BCDEDC，FCDFDC；（2）连接 CD，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转，得到ADE，BADCAE，ABAD，ACAE，ACEADB，ACAD，ACDADC，OCDODC，OCOD；OCOD，ACAD，OA 是 CD 的垂直平分线，FCDFDC，FCFD，点 F 在 CD 的垂直平分线上，A，O，F 三点在同一条直线上 2解：探究：成立，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 逆时针旋转，BADCAE，ABDACE（SAS），BDCE；应用：ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE（SAS），BDCE，BC+CDBDCE；ABAC，BC2，ACEABD，ACEABD45，BCEACB+ACE90，BC2，DE 3解：（1）当 30时，BCB30，BCBB，ABCB，ACB90，ACD60，ACDA60，ACD 是等边三角形，故答案为：ABCB；（2）当 CDBD 时，B30，当 CDCB时，180230120，当 BDBC 时，75，故答案为：30或 120或 75；（3）延长 BC 交 AB 于 H，AC2，ABC30，AB4，BC2，BCBC，ABCCBA30，BCH60，BB6，BCH+HBC90，BHC90，BHBB3，HB3，AH1，在 RtABH 中，由勾股定理得，AB2 4解：（1）ABC 是等腰直角三角形，ACBB45，CPPA，CNBN，MNAB，CPNCAB90，CNMB45，PCNCNP，CMPN，APQCPQ90，APPQCP，QCM 是等腰直角三角形，CQCMPN，ACQ45，故答案为：CQPN，45 （2）结论成立 理由：连接 AN ACAB，CAB90，CNBN，ANBC，ANCNBN，ACN 是等腰直角三角形，ACAN，CAN45，APQ 是等腰直角三角形，AQAP，QAP45，QAPCAN，QACPAN，QACPAN，ACQANP，CQPN，AMCM，ANNC，ANC90，ANMCNM45，ACQANP45；（3）如图 3 中，当点 P 在线段 MN 上时，过点 P 作 PRCN 于点 R PCQ 是等边三角形，PCQ60，ACQACB45，ACP15，PCR30，设 PRRNm，则 PNm，CRm，CNBNm+m，BC2m+2m，ABBCm+m，即+1，如图 4 中，当点 P 在 MN 的延长线上时，过点 P 作 PRCN 交 CB 的延长线于点 R 同法可得，MPCMPA15，APR30，PCR30，设 PRNRn，则 PNn，CRn，CN（1）n，BC2（1）n，ABBC（）n，即1 综上所述，的值为+1 或1 5解：（1）由平移知，ABCD，BCAD，A（0，4），D（5，4），ABC+DCB180，BCD+D180，ABCADC；（2）B（2，0），C（3，0），A（0，4），BC5，OA4，三角形 ABC 的面积为10；（3）当点 P 在 y 轴上时，三角形 PAB 的面积等于三角形 ABC 的面积的一半，OBPA10，2PA10，PA5，P（0，9）或（0，1），当点 P 在 x 轴上时，三角形 PAB 的面积等于三角形 ABC 的面积的一半，PBOA10，PB，P（，0）或（，0），综上：P（0，9）或（0，1）或（，0）或（，0）6（1）证明：ABAC，BACB，将ADB 沿 AD 翻折后得到ADB，BEBD，ACBEBD，ACEDEB，AECDEB，AEEBDECE；（2）延长 CA 到 H，使 AHCB，连接 DH，过点 A 作 AMBC 于点 M，ABAC，BMCM，tanB，设 AM3a，BM4a，AB2AM2+BM225a2，AB5a，ABBC，BCDB，CEBAED，CEBAED，BCDDAB，AECDEB，CABCDB，CBD180BCDBDC，DAH180CABDAB，CBDDAH，将ADB 沿 AD 翻折后得到ADB，BADBAD，又BCDBAD，BCDB，BADB，ADDBDB，又AHCB，DAHDBC（SAS），HBCDBADB，又CC，CDHCAB，即，8CD5CH5AC+5AH5AC+5CB，即 8CD5AC+5CB；（3）在 CD 上截取 CD，使 CDBD，连接 AD，过点 A 作 AMCD 于 M，设 MA3m，tanCtanB，CM4m，acab20，9m2+16m2400，解得 m4，AM12，CM16，|CDBD|AD，DDDA ABAC，AMCD，CMBM，折叠，BDBDCD，DMDM，DMAD，MD9，AD15，AD2+AC2152+202625，CD2（CM+DM）2625，AD2+AC2CD2，ACD 是直角三角形，CAD90，ACDDBE，BADBCD，CBD90，BDCDCMMD1697，BC2CD2BD225272576，BC24，SCBD24784；如图，在 CD 上截取 BD，使 BDCD，连接 AD，过点 A 作 AMCD 于点 M，同理求出 MD9，ADAD15，AD2+AC2CD2，ACD是直角三角形，CAD90，BC24，SCBD24784 7解：（1）将线段 AB 平移至 DC，ADBC，ADBC，故答案为：ADBC，ADBC；（2）ADBC，ADGDGC，DGEGDE，ADGEDG，DF 平分CDE，EDFCDF，ADC2GDF24080，ADBC，C+ADC180，C100；ADBC，ADGDGC，DGEGDE，ADGEDG，DF 平分CDE，EDFCDF，GDFGDEEDF（ADECDE）ADC，ADC2，ADBC，BCD+ADC180，BCD1802，故答案为：1802 8解：（1）MNGH，ACB+NAC180，ACB90，CAN90，BAC30，BAN90BAC60；（2）由（1）知，BAN60，EDF45，AFD180BANEDF75，DFE90，AFEDFEAFD15；（3）点 B 是 DE 的中点，BDBE，设 BDBEx，则 DE2x，将 RtDEF 沿射线 BA 的方向平移到BEF的位置，BEDE2x，DE3x6，x2，DB2，故答案为：2；（4）当DAF90时，如图，由（1）知，BAN60，FANDAFBAN30，当AFD90时，如图，DFE90，点 A，E 重合，EDF45，DAF45，由（1）知，BAN60，FANBANDAF15，即当以点 A，D，F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN 度数为 30或 15 9解：（1）在 RtABC 中，由勾股定理得 AB5，点 C 关于 AD 的对称点 C恰好落在 AB 边上，ACAC4，BC1，在 RtBCD 中，由勾股定理得，（3CD）212+CD2，解得：CD；（2）证明：沿 CE 翻折CBE 得到CEB，BB，BCEBCE，EBAC，BBCAB，AECB+BCE，ACEBCA+BCE，AECACE，AEAC；（3）存在，BC4，ADC45，BDC不可能为 90，当 BCBC 时，过点 A 作 AEAC，交 BC延长线于点 E，CCBD90E，四边形 ACBE 为矩形，设 BC为 x，则 CE4x，ACD 翻折后得到ACD，ACAC4，AEBC3，在 RtACE 中，由勾股定理得，（4x）2+3242，解得：x4，x4，x4，即 BC长为 4 10解：（1）点 P（3m1，2m+4）在第一象限的角平分线 OC 上，3m12m+4，m1，P（2，2）；（2）不变 过点 P 作 PMy 轴于 M，PNOA 于 N PMOPNOMON90，PMPN2，四边形 QMPN 是正方形，MPN90APB，MPBNPA 在PMB 和PNA 中，PMBPNA（ASA），BMAN，OB+OAOMBM+ON+AN2OM4，连接 AB，AOB90，OA2+OB2AB2，BPA90，AB2PA2+PB22PA2，OA2+OB22PA2，当 PA 最小时，OA2+OB2也最小 根据垂线段最短原理，PA 最小值为 2，OA2+OB2的最小值为 8 11解：（1）CEBD，理由如下：CABEAD90，CABBAEEADBAE，CAEBAD，在ACE 与ABD 中，ACEABD（SAS），CEBD；（2）CEBD，CEBD，理由如下：设 BD 与 CE 的交点为 F，CABEAD90，CABBAEEADBAE，CAEBAD，在ACE 与ABD 中，ACEABD（SAS），ACEABD，CEBD，CABCFB90，CEBD，CEBD；（3）在BCD 中，边 BC 的长是定值，则 BC 边上的高最大时，BCD 的面积最大，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时，BCD 的面积最大，如图所示，ABAC，CAB90，DGBC 于 G，GAB45，DAB18045135，即当BCD 的面积最大时，旋转角 135，故答案为：135 12解：（1）B45，C30，BAC180BC1804530105，ADAC，DAC90，BADBACDAC1059015；（2）作 AFBC 于 F，C30，AFAC，ABF45，AFBF，ABAF2；（3）CE2BD，理由如下：作 AFBC 于 F，DAF+CAF90，CAF+C90，DAFC30，设 DFx，则 AD2x，AFx，AC2x，BFAFx，BDBFDFx，点 D 关于直线 AP 的对称点为 E，AEAD2x，CEACAE2x2x，CE2BD 13解：（1）如图 2，设 AMx，BNy，MDBMDN+NDBA+AMD，MDNA，AMDNDB，AB，AMDBDN，xy8，作 DHAC 于 H，DGBC 于 G，HDsin60AD，DGsin60BD，S，S，S；（2）如图 3，设 AMx，BNy，同法可知AMDBDN，xyab，S，S，S；如图 4，设 AMx，BNy，同法可知AMDBDN，xyab，S，S，S 14（1）解：如图 1 中，设 AE 交 CD 于点 O ACBDCE90，ACEBCD，在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），CEACDB，COEAOD，ECODAO90，EFFD，AFDE2；（2）证明：如图 2 中，连接 AE ACBDCE90，ACEBCD，在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），BDAE，AGGD，EFFD，GFAEBD，BD2GF；（3）如图 3 中，CF 是等腰直角CDE 斜边上的高，当 CD 最小时，CF 的值最小，根据垂线段最短可知，当 CDAB 时，CD 的值最小（如图 4 中），此时四边形 AECD 是正方形，DECB，SECBSDCBSABC222 15解：（1）线段 AD 绕点 D 顺时针旋转（0180）得到线段 DE，ADED，ADE，DAEAED，2（BAD+BAC）+180，ABAC，ABC90，BAC45，2BAD+90+180，BAD45；过点 E 作 EFBC 于 F，ABBC，ABC90，C45，EFBC，CCEF45，EFCFCE，线段 AD 绕点 D 顺时针旋转（0180）得到线段 DE，ADDE，ADE，BAD45，EDF90BADADE90（45）45，BADEDF，又ABDEFD90，ABDDFE（AAS），ABDF，DFDB+BF，ABBCBF+CF，DBCFEF，CDBC+DB BC+EF BC+CE；故答案为：CDCB+CE；（2）如图，CDCBCE 证明：过点 E 作 EFBC，交 BC 的延长线于 F，线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 得到线段 DE，ADDE，DAEDEA，设BADx，则DAC45x，ADC90+x，ADE+2DAE180，90+x+EDF+2（45x）180，EDFx，BADEDF，ABDDFE90，ABDDFE（AAS），BDEF，ACBECF45，ECFCEF45，EFCFCE，CDCBBD CBEF CBCE 16解：【操作发现】如图，ABD 即为所求ECBD，ECBD，故答案为：ECBD，ECBD 【探究证明】结论：BDEC，BDEC 理由：如图中，ACE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ADB，ADBACE，BDEC，EABCAD90，EB，又在AEG 和FBG 中，AGEFGB，EAGBFG90，BDEC 故答案为：BDEC，BDEC 【问题解决】如图中，由旋转的性质可知，ABAD，BAD40，BADB（18040）70，ADF 与ADB 关于 AD 对称，DAFDAB40，BDAADE70，BAC80，CDE180ADEBDA40，DAEBAC80 由旋转的性质可知，BCDE9，BDDF3，EFDEDF936，故答案为：80，40，6 17解：（1）在 RtABC 中，ABC30，AC2，BCAC2，CDBCBD22，故答案为：22；（2）点 G，H 分别是 CD，BC 的中点，GH 是BDC 是中位线，GHBD1，故答案为：1；（3）连接 AH，点 H 为 BC 的中点，CHBC，在 RtACH 中，由勾股定理得，AH，由（2）知，GH1，AHGHAGAH+GH，1AG+1，AG 的最小值为1，最大值为+1 18（1）BCBE+BD 证明：如图 1 中，连接 EC ABC 是等边三角形，CACBAB，ACBABC60，MNAC，CBEACB60，CDE60，CDECBE60，C，D，B，E 四点共圆（解法二：设 BC 交 DE 于 J，由DJCBJE，推出CJEDJB，推出CEDCBD60），CEDCBD60，DCE 是等边三角形，ACBDCE60，ACDBCE，ACDBCE（SAS），ADBE，BCABAD+BD，BCBE+BD （2）解：如图 2 中，结论不成立BDBEBC 理由：连接 EC ABC 是等边三角形，CACBAB，ACBABCCAB60，MNAC，EBACAB60，EBC120，CDE60，CDE+CBE180，C，D，E，B四点共圆（这里也可以利用相似三角形的性质证明CEDCBD60），CEDCBD60，DCE 是等边三角形，DCEACB60，ACDBCE，ACDBCE（SAS），ADBE，BCABBDAD BCBDBE （3）解：如图1 中，当点 D 在线段 AB 上时，结论：BD（1+）BE 理由：作 BHDE 于 H，在 DE 上取一点 K，使得 DKBK，连接 BK ACD15，ACDE60，BDCA+ACD，BDEACD60，MNAC，CBNACB60，ABC60，DBE120，DEB45，BHDE，BHEBHD90，HBEHEB45，BHEH，设 BHEHx，则 BEx，DKKB，KDBKBD15，BKEKDB+KBD30，BKDK2x，KHx，BD（）x，1+，BD（1+）BE 如图2 中，当点 D 在 BA 的延长线上时，结论：BD（+2）BE，理由：作 EHAB 于 H设 EHm 同法可证：EDB15，EBH60，则有DH2m+m，EBm，BDDH+BH2m+m，+2，BD（+2）BE 19解：（1）如图 1 中，ABCD，DCBB30，故答案为：30；（2）如图 2 中，EDCACD90，DEAC（内错角相等，两直线平行）故答案为：DEAC，内错角相等，两直线平行；（3）如图 31 中，当DCB15时，ABCE，DCE45，DCB15，BCE451530 BBCE30，ABCE 如图 32 中，当DCB165时，ABCE，ACE360451659060，ECAA60，ABEC 综上所述，满足条件的DCB 的度数为 15或 165；（4）如图 41 中，当 ABDE，DCB60 如图 42 中，当 ABDE 时，延长 DC 交 AB 于点 H DEAB，EDCCHB90，DCBCHB+B120 综上所述，满足条件的DCB 的度数为 60或 120 20解：（1）C（0，4），OC4，BCO30，COB90，OB4，B（4，0）；（2）如图，在 CA 上截取 CKCF，ACO90CAO60，CKF 是等边三角形，KFCF，AKFC60，线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 ED，DEF 是等边三角形，FEFD，EFD60，DFEKFC，KFECFD，EFKDFC（SAS），CDEK，AEt，BFt，CFCK4t，AC2OC8，EK8t（4t）4，CD4；（3）如图，连接 GF，设 GB 交 y 轴于 M 点，当CBG90时，则OBM30，OM，由（2）知DCFEKF120，CDF+CFDMFG+CFD60，CDFMFG，点 D 关于 EF 的对称点 G，FDFG，FMGDCF120，DCFFMG（AAS），CDFMt+4，t，当CGB90时，点 F 与 C 重合，点 G 与 O 重合，t4，BCG 不可能为 90，综上：t或 4