2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习相似三角形综合解答题专题提升训练（附答案）1 在ABC 中，ABC120，线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 60得到线段 CD，连接 BD（1）如图 1，若 ABBC，求证：BD 平分ABC；（2）如图 2，若 AB2BC，求的值；连接 AD，当 SABC时，直接写出四边形 ABCD 的面积为 2如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 D，E，过点 B作 AB 的垂线交 AC 的延长线于点 F（1）求证：；（2）过点 C 作 CGBF 于 G，若 AB5，BC2，求 CG，FG 的长 3 已知在菱形 ABCD 中，AB4，BAD120，点 P 是直线 AB 上任意一点，联结 PC 在PCD 内部作射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q（与 B、D 不重合），且PCQ30（1）如图，当点 P 在边 AB 上时，如果 BP3，求线段 PC 的长；（2）当点 P 在射线 BA 上时，设 BPx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；（3）联结 PQ，直线 PQ 与直线 BC 交于点 E，如果QCE 与BCP 相似，求线段 BP 的长 4如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC2，点 M 在 BC 上，连接 AM，作AMNAMB，点 N 在直线 AD 上，MN 交 CD 于点 E（1）求证：AMN 是等腰三角形；（2）求证：AM22BMAN；（3）当 M 为 BC 中点时，求 ME 的长 5在平面直角坐标系中，已知 OA10cm，OB5cm，点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以2cm/s 的速度移动；点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0t5），（1）用含 t 的代数式表示：线段 PO cm；OQ cm（2）当 t 为何值时，四边形 PABQ 的面积为 19cm2（3）当POQ 与AOB 相似时，求出 t 的值 6如图，在ABC 中，ACB90，ACBC2，M 是边 AC 的中点，CHBM 于 H（1）求 MH 的长度；（2）求证：MAHMBA；（3）若 D 是边 AB 上的点，且AHD 为等腰三角形，直接写出 AD 的长 7如图，在ABC 中，ACB90，CDAB（I）图 1 中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知 AB5，AC4，请你求出 CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以 AB 为 x 轴，CD 为 y 轴，点 D 为坐标原点 O，建立直角坐标系（如图 2），若点 P 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CB 运动，点 Q 出B 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为 t 秒是否存在点 P，使以点 B、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 8如图，直线 ab，点 M、N 分别为直线 a 和直线 b 上的点，连接 M，N，170，点P 是线段 MN 上一动点，直线 DE 始终经过点 P，且与直线 a，b 分别交于点 D、E，设NPE（1）求证MPDNPE（2）当MPD 与NPE 全等时，直接写出点 P 的位置（3）当NPE 是等腰三角形时，求 的值 9已知：如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于 A 点，且 ACAB，CO 交O 于 P、D 两点，BP 的延长线交 AC 于 E 点（1）求证：DABE；（2）求证：；（3）求 tanCPE 的值 10如图，在ABC 中，ACB90，AC6，BC8，动点 E 从点 A 出发沿着线段 AB向终点 B 运动，速度为每秒 3 个单位长度，过点 E 作 EFAB 交直线 AC 于点 F，连接CE设点 E 的运动时间为 t 秒（1）当点 F 在线段 AC 上（不含端点）时，求证：ABCAFE；当 t 为何值时，CEF 的面积为 1.2；（2）在运动过程中，是否存在某时刻 t，使CEF 为等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 11一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线 （1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AD 的中点，AF1，连接 CE，CF，求证：EF 为四边形 AECF 的相似对角线（2）在四边形 ABCD 中，BAD120，AB3，AC，AC 平分BAD，且 AC是四边形 ABCD 的相似对角线，求 BD 的长（3）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB6，BC4，点 E 是线段 AB（不取端点 A，B）上的一个动点，点 F 是射线 AD 上的一个动点，若 EF 是四边形 AECF 的相似对角线，求BE 的长（直接写出答案）12如图 1，CD 是ABC 的高，CD2ADBD（1）求证：ACB90（2）如图 2，BN 是ABC 的中线，CHBN 于点 I 交 AB 于 H 若 tanABC，求的值；（3）如图 3，M 是 CD 的中点，BM 交 AC 于 E，EFAB 于 F若 EF4，CE3.2，直接写出 AB 的值 13【操作发现】如图（1），在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD45，连接 AC，BD 交于点 M AC 与 BD 之间的数量关系为 ；AMB 的度数为 ；【类比探究】如图（2），在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，连接 AC，交 BD 的延长线于点 M请计算的值及AMB 的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有 30角的大小不同的直角三角板 ABC、DCE组成的图形，其中ACBDCE90，AD30且 D、E、B 在同一直线上，CE1，BC，求点 A、D 之间的距离 14（1）问题发现 如图 1，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE50，连接 BD，CE 交于点 F填空：的值为 ；BFC 的度数为 （2）类比探究 如图 2，在矩形 ABCD 和DEF 中，ADAB，EDF90，DEF60，连接AF 交 CE 的延长线于点 P求的值及APC 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸 在（2）的条件下，将DEF 绕点 D 在平面内旋转，AF，CE 所在直线交于点 P，若 DF，AB，求出当点 P 与点 E 重合时 AF 的长 15在ABCD 中，ADC 是锐角，ACBADC，E 为直线 AB 上一点，F 为直线 BC 上异于点 C 的一点，连接 EC，EF，使 ECEF（1）如图 1，若点 E 在线段 AB 上，使 ECBC，求证：EBFCEA；（2）如图 2，若点 E 在线段 AB 上，ADC45，试猜想 AE，AC，CF 之间的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）如图 3，若点 E 在线段 BA 的延长线上，点 F 在线段 BC 上，EF 交 CA 于点 G，ADC60，AECF，请直接写出 GA 与 CE 之间的数量关系 16如图 1，在正方形 ABCD 中，AE 平分CAB，交 BC 于点 E，过点 C 作 CFAE，交AE 的延长线于点 G，交 AB 的延长线于点 F（1）求证：BEBF；（2）如图 2，连接 BG、BD，求证：BG 平分DBF；（3）如图 3，连接 DG 交 AC 于点 M，求的值 17点 E 是矩形 ABCD 边 AB 延长线上的一动点，在矩形 ABCD 外作 RtECF，其中ECF90，过点 F 作 FGBC，交 BC 的延长线于点 G，连接 DF，交 CG 于点 H（1）发现 如图 1，若 ABAD，CECF，猜想线段 DH 与 HF 的数量关系是 ；（2）探究 如图 2，若 ABnAD，CFnCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）拓展 在（2）的基础上，若射线 FC 过 AD 的三等分点，AD3，AB4，则直接写出线段 EF的长 18【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 上的两点，连接 DE，CF，若 DECF，则的值为 ；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AD7，CD4，点 E 是 AD 上的一点，连接 CE，BD，若 CEBD，则的值为 ；【类比探究】（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB90，点 E 为 AB 上一点，连接 DE，过点 C 作 DE 的垂线交 ED 的延长线于点 G，交 AD 的延长线于点 F，求证：DEABCFAD；【拓展延伸】（4）如图 4，在 RtABD 中，BAD90，AD9，AB3，将ABD 沿 BD 翻折，点 A 落在点 C 处，得到CBD，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连接 DE，CF，若 DECF，则的值为 19如图，点 E 是正方形 ABCD 内部一点，AEF、BEG 均为等腰直角三角形，EAFEBG90，连接 AG、FC（1）已知正方形的边长为 5，E、F、G 三点在同一条直线上（如图 1）若AEF 与BEG 的相似比为 2：1，求EAB 的面积；求 D、E 两点之间距离的最小值（2）如图 2，当 E、F、G 三点不在同一条直线上时，求证：AGCF 20 如图，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A、B 重合），分别连接 ED、EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“强相似点”解决问题：（1）如图，ABDEC45，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图，在矩形 ABCD 中，A、B、C、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形 ABCD 的边AB 上的强相似点；（3）如图，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 与 BC 的数量关系 参考答案 1（1）证明：连接 AD，由题意知，ACD60，CACD，ACD 是等边三角形，CDAD，又ABCB，BDBD，ABDCBD（SSS），CBDABD，BD 平分ABC；（2）解：连接 AD，作等边三角形 ACD 的外接圆O，ADC60，ABC120，ADC+ABC180，点 B 在O 上，ADCD，CBDCAD60，在 BD 上截取 BM，使 BMBC，则BCM 为等边三角形，CMB60，CMD120CBA，又CBCM，BACBDC，CBACMD（AAS），MDAB，设 BCBM1，则 ABMD2，BD3，过点 C 作 CNBD 于 N，在 RtBCN 中，CBN60，BCN30，BNBC，CNBC，NDBDBN，在 RtCND 中，CD，AC，；如图 3，分别过点 B，D 作 AC 的垂线，垂足分别为 H，Q，设 CB1，AB2，CHx，则由知，AC，AHx，在 RtBCH 与 RtBAH 中，BC2CH2AB2AH2，即 1x222（x）2，解得，x，BH，在 RtADQ 中，DQAD，AC 为ABC 与ACD 的公共底，SABC，SACD，S四边形ABCD+，故答案为：2（1）证明：连接 AE AB 是直径，AEB90，AEBC，ABAC，EABEAC，（2）解：BFAB，CGBF，AEBC CGBAEBABF90，CBG+ABC90，ABC+BAE90，CBGBAE，BCGABE，CG2，CGAB，CF，FG 3解：（1）如图 1 中，作 PHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形，ABBC4，ADBC，A+ABC180，A120，PBH60，PB3，PHB90，BHPBcos60，PHPBsin60，CHBCBH4，PC （2）如图 1 中，作 PHBC 于 H，连接 PQ，设 PC 交 BD 于 O 四边形 ABCD 是菱形，ABDCBD30，PCQ30，PBOQCO，POBQOC，POBQOC，POQBOC，POQBOC，OPQOBC30PCQ，PQCQy，PCy，在 RtPHB 中，BHx，PHx，PC2PH2+CH2，3y2（x）2+（4x）2，y（0 x8）（3）如图 2 中，若直线 QP 交直线 BC 于 B 点左侧于 E 此时CQE120，PBC60，PBC 中，不存在角与CQE 相等，此时QCE 与BCP 不可能相似 如图 3 中，若直线 QP 交直线 BC 于 C 点右侧于 E 则CQEBQBC+QCP60CBP，PCBE，只可能BCPQCE75，作 CFAB 于 F，则 BF2，CF2，PCF45，PFCF2，此时 PB2+2，如图 4 中，当点 P 在 AB 的延长线上时，QCE 与BCP 相似，CQECBP120，QCEPCB15，作 CFAB 于 F FCB30，FCP45，BFBC2，CFPF2，PB22 综上所述，满足条件的 PB 的值为 2+2或 22 4（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，NAMBMA，AMNAMB，AMNNAM，ANMN，即AMN 是等腰三角形；（2）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ADBC2，ABCD3，NAMBMA，作 NHAM 于 H，如图所示：ANMN，NHAM，AHAM，NHAABM90，NAMBMA，NAHAMB，ANBMAHAMAM2，AM22BMAN；（3）解：M 为 BC 中点，BMCMBC21，由（2）得：AM22BMAN，即：AM22AN，AM2AB2+BM232+1210，102AN，AN5，DNANAD523，设 DEx，则 CE3x，ANBC，DNECME，即，解得：x，即 DE，CEDCDE3，ME 5解：（1）OP2tcm，OQ（5t）cm，故答案为：2t，（5t），（2）S四边形PABQSABOSPQO，191052t（5t），t2 或 3，当 t2 或 3 时，四边形 PABQ 的面积为 19cm2（3）POQ 与AOB 相似，POQAOB90，或 当，则，t，当时，则，t1，当 t或 1 时，POQ 与AOB 相似 6解：（1）在MBC 中，MCB90，BC2，又M 是边 AC 的中点，AMMCBC1，MB，SMCBBCCMBMCH，CH MH；（2），且AMHAMB，MAHMBA；（3）ACB90，ACBC2，AB2，MAHMBA；，AH2，MH，BM，BH，若 AHAD 时，AD，若 DHAH 时，如图 1，过点 H 作 HEAB 于 E，HE2AH2AE2HB2BE2，AE2（2AE）2，AE，AHDH，EHAB，AD2AE，若 DHAD 时，如图 2，过点 H 作 HEAB 于 E，HE2AH2AE2DH2DE2，AD2（AD）2，AD，综上所述：AD 的长为或或 7解：（1）图 1 中共有 3 对相似三角形，分别为：ABCACD，ABCCBD，ACDCBD 故答案为：3；ABCACD，ABCCBD，ACDCBD （2）如图 2 中，在ABC 中，ACB90，AB5，AC4，BC3 ABC 的面积ABCDACBC，CD（3）存在点 P，使以点 B、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，理由如下：在BOC 中，COB90，BC3，OC，OB 分两种情况：当BQP90时，如图 2，此时PQBACB，解得 t，即 BQCP，BPBCCP3 在BPQ 中，由勾股定理，得 PQ，点 P 的坐标为（，）；当BPQ90时，如图 2，此时QPBACB，解得 t，即 BQCP，BPBCCP3，过点 P 作 PEx 轴于点 E QPBACB，即，PE 在BPE 中，BE，OEOBBE，点 P 的坐标为（，），综上可得，点 P 的坐标为（，）；（，）8（1）证明：ab，MPDNPE（2）ab，1PNE 又MPDNPE，当MPD 与NPE 全等时，MPDNPE，此时 MPNP，即点 P 是 MN 的中点；（3）若 PNPE 时，1PNE70，1PNEPEN70 a180PNEPEN180707040 a40；若 EPEN 时，则 aPNEl70；若 NPNE 时，则PEN，此时 2180PNE180l18070110 PEN55；当 D 点在 M 点右侧时，35 综上所述，的值是 40 或 70 或 55或 35 9（1）证明：OBOP，OBPOPB，DOBP，OPBD，ADBE；（2）证明：AC 是O 的切线，CAB90，BAP+PAC90 AB 是O 的直径，APB90，ABP+BAP90，ABPPAC，ABPD，DPAC，CC，DACAPC，ABAC，；（3）解：设 PCx，（x0），O 的直径为 d，则 DPABACd 由切割线定理，得 PCCDAC2，即 x（x+d）d2，整理，得 x2+dxd20，解得，DEDA，即，CPEDPBB，tanCPEtanB 10解：（1）当点 F 在线段 AC 上时，证明如下：EFAB，AEF90 在ABC 中，ACB90 ACBAEF 又AA ABCAFE 当 t 秒时，AE3t，由得ABCAFE，即，FE4t 在 RtABC 中，AB，过点 C 作 CHAB 于 H，如图 1：由面积法可得：SCEFSACESAEF 令 解得：，经检验，符合题意 答：当 t 为秒或 1 秒时，CEF 的面积为 1.2（2）存在，理由如下：i）当点 F 在线段 AC 上时（0t），CFEAEF+A90，当CEF 为等腰三角形时，只能是 FCFE 由可知：FE4t AF5t，FC4t 5t+4t6，t ii）当点 F 在线段 AC 的延长线上时（t），如图 2，FCEFCB+ECB90，当CEF 为等腰三角形时，只能是 FCEC 此时FCEF EFAB AEF90即CEA+CEF90 又F+A90 CEAA CEAC6 FC6 AF12 即 5t12 综上所述，t 的值为秒或秒时，CEF 为等腰三角形 11解：（1）如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDAD4，AEDE2，AF1，AD90，AEFDCE，AEFDCE，DCE+CED90，AEF+CED90，FECA90，AEFECF，EF 为四边形 AECF 的相似对角线（2）如图 2 中，AC 是四边形 ABCD 的相似对角线，有两种情形：如图 2 中，ACBACD 时，ABAD3，BCCD，AC 垂直平分 DB，在 RtAOB 中，AB3，ABO30，BOABcos30，BD2OB3 如图 3 中，当ACDABC 时，可得 AC2ABAD，33AD，AD1，在 RtADH 中，HAD60，AD1，AHAD，DHAH，在 RtBDH 中，BD（3）如图 4 中，当AEF 和CEF 关于 EF 对称时，EF 是四边形 AECF 的相似对角线，设 AEECx，在 RtBCE 中，EC2BE2+BC2，x2（6x）2+42，解得 x，此时 BEABAE6 如图 5 中，如图取 AD 中点 F，连接 CF，将CFD 沿 CF 翻折得到CFD，延长 CD交 AB 于 E，易证 EF 是四边形 AECF 的相似对角线 由AEFDFC 得到，AE，BEABAE 如图 6 中，取 AB 的中点 E，连接 CE，作 EFAD 于 F，延长 CB 交 FE 的延长线于 M，则易证 EF 是四边形 AECF 的相似对角线此时 BE3 综上所述，满足条件的 BE 的值为 或或 3 12解：（1）如图 1 中，CDAB，ADCBDC90 CD2DADB，ADCCDB，ABCD，A+ACD90，BCD+ACD90，ACB90（2）如图 2 中，作 AEBC 交直线 CH 于 E，tanABC，设 AC2x，BC3x，CNx，tanACEtanNBC，AEACx，AEHBCH，（3）如图 3 中，延长 BC 交 FE 的延长线于 H EFAB，CDAB，CDFH，DMCM，HEEF4，在 RtCEH 中，CH2.4，AEFHEC，AE5，ACAE+EC8.2，HECABC，AB 13解：【操作发现】如图（1）中，设 OA 交 BD 于 K AOBCOD45，COADOB，OAOB，OCOD，COADOB（SAS），ACDB，CAODBO，MKABKO，AMKBOK45，故答案为：ACBD，AMB45【类比探究】如图（2）中，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，COADOB，OCOD，OAOB，COADOB，MAKOBK，AKMBKO，AMKBOK90【实际应用】如图 31 中，作 CHBD 于 H，连接 AD 在 RtDCE 中，DCE90，CDE30，EC1，CEH60，CHE90，HCE30，EHEC，CH，在 RtBCH 中，BH，BEBHEH4，DCAECB，AD：BECD：EC，AD4 14解：（1）问题发现：BACDAE50，DABEAC，且 ABAC，ADAE DABEAC（SAS）BDCE，ACEABD BAC+ABC+ACB180，且BFC+FBC+FCBBFC+ABC+ABF+FCBBFC+ABC+ACB180 BFCBAC50 故答案为：1，50（2）类比探究：，APC90 理由如下：DEF60，FDE90 DFDE，四边形 ABCD 是矩形 CDAB，ADC90 ADDC，ADCEDF90 EDCADF，且 ADFCDE，FADDCE 点 A，点 P，点 D，点 C 四点共圆 APCADC90（3）拓展延伸：如图，过点 C 作 CMDE，交 ED 延长线于点 M，DF，DEF60，AEC90 DE1，CEM30 CEM30，CMED CM，EMCE CD2CM2+DM2，7+（EM1）2，CE2，AF6 如图，过点 C 作 CMDE，交 DE 延长线于点 M，DF，DEF60，AEC90 DE1，CEM30 CEM30，CMED CM，EMCE CD2CM2+DM2，7+（EM+1）2，CE，AF3 综上所述：当点 P 与点 E 重合时，AF 的长为 3 或 6 15解：（1）CEBC，EBCCEB EBF+EBCCEB+CEA，EBFCEA ACBCAD，ADCCAD ACCD 在ABCD 中，ABCD，ABAC ABCBCE+ACE CEBCAE+ACE，ABCCEB，BCECAE CEEF，EFCBCE EFCCAE EBFCEA（2）如图，分别过点 E，A 作 EGBC 于点 G，AHBC 于点 H ECEF，EFC 是等腰三角形 EGFC，CF2CG ADC45，ACBADC，ADCACBABC45 BAC90 ABC 是等腰直角三角形 又 AHBC，AH 平分BAC，即EAHCAH45 GHEAcos45，CHACcos45，（3）如图，过点 E 作 EMBC，交 CA 的延长线于点 M，过点 E 作 ENBC 在ABCD 中，ADC60，ACBADC，ABC 和AEM 是等边三角形，AEME AECF，MECF MEGCFG，MFCG，MEGCFG（ASA）MGCG 设 AGx，AMy，则 CGx+y，AC2x+y EFEC，ENBC，y2x GA2：CE2x2：（3x2+6xy+y2）1：28 即 CE 16（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABC90，ABBC，EAB+AEB90，AGCF，FCB+CEG90，AEBCEG，EABFCB，在ABE 和CBF 中，ABECBF（ASA），BEBF；（2）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABDCAB45，AE 平分CAB，CAGFAG22.5，在AGC 和AGF 中，AGCAGF（ASA），CGGF，CBF90，GBGCGF，GBFGFB90FCB90GAF9022.567.5，DBG180ABDGBF1804567.567.5，DBGGBF，BG 平分DBF；（3）解：连接 BG，如图 3 所示：四边形 ABCD 是正方形，DCAB，DCAACB45，DCB90，ACDC，DCGDCB+BCFDCB+GAF90+22.5112.5，ABG180GBF18067.5112.5，DCGABG，在DCG 和ABG 中，DCGABG（SAS），CDGGAB22.5，CDGCAG，DCMACE45，DCMACE，17解：（1）DHHF；理由如下：四边形 ABCD 是矩形，ABAD，四边形 ABCD 是正方形，BCCD，ABCEBCBCD90，CDBC，FGBC，ECF90，CDGF，CGFECFEBC90，GCF+BCE90，BCE+BEC90，GCFBEC，在GCF 和BEC 中，GCFBEC（AAS），BCGF，CDGF，CDGF，HDCHFG，HCDHGF，在HCD 和HGF 中，HCDHGF（ASA），DHHF，故答案为：DHHF；（2）DHHF 仍然成立；理由如下：四边形 ABCD 是矩形，FGBC，ECF90，CGFECFEBC90，FCG+BCE90，BCE+CEB90，FCGCEB，FCGCEB，n，四边形 ABCD 是矩形，ABnAD，n，GFCD，四边形 ABCD 是矩形，CDBC，FGBC，CDGF，HDCHFG，HCDHGF，在HCD 和HGF 中，HCDHGF（ASA），DHHF；（3）如图 3 所示：四边形 ABCD 是矩形，ABCD4，ADBC3，RDC90，RDCH，ABnAD，CFnCE，n，CECF，分两种情况：当 ARAD 时，AD3，AR1，DR2，在 RtCDR 中，由勾股定理得：CR2，RDCH，DHFH，RCCF2，CE2，由勾股定理得：EF；当 DRAD 时，同理可得：DR1，RC，CFRC，CE，由勾股定理得：EF；综上所述，若射线FC过AD的三等分点，AD3，AB4，则线段EF的长为或 18（1）解：四边形 ABCD 是正方形，AADC90，ADCD ADE+EDC90 DECF，ADE+DFC90 AEDDFC 在AED 和DFC 中，AEDDFC（AAS）EDFC 1 故答案为：1（2）解：四边形 ABCD 是矩形，AADCDCB90 ADB+BDC90 CEBD，ADB+DEC90 BDCDEC EDCDCB90，EDCDCB，ADBC7，CD4，故答案为：（3）证明：过点 F 作 FHBC 于点 H，如图，AB90，FHBC，四边形 ABHF 为矩形 ABFH，AFH90 HFC+DFG90 CFH+HCF90，HCFDFG CGDG，A90，AG90 ADEGDF，AEDDFG，AEDHCF AFHC90，AEDHCF DEABCFAD；（4）解法一：过点 C 作 CMAD 于点 M，连接 AC，交 BD 与点 H，如图，由题意：ABD 与CBD 关于 BD 轴对称，BD 垂直平分 AH，即 AHHC，AHBD BAD90，BDAH，ABHBDA AB2BHBD BD2AB2+AD2，BD，BH DHBDBH AH，AC2AH，9CM CM BAD90，AED+ADE90 CFDE，CFD+EDA90 AEDCFD EADFMC90，AEDFMC 解法二：连接 AC，交 BD 与点 H，设 DE，FC 交于点 G，BD，FC 交于点 M，如图，：ABD 与CBD 关于 BD 轴对称，BD 垂直平分 AH，即 AHHC，AHBD BAD90，BDAH，ABHBDA AB2BHBD BD2AB2+AD2，BD，BH DHBDBH AH，AC2AH ACF+BMC90，BDE+DMF90，ACF+BMCBDE+DMF BMCDMF，ACFBDE EBD+BAH90，FAC+BAH90，EBDFAC，BEDAFC 故答案为：19解：（1）AEF 与BEG 都是等腰直角三角形，AEFBEG45，AEB90，AEF 与BEG 的相似比为 2：1，设 AE2x，BEx，AE2+BE2AB2，5x225，x，AE2，BE，EAB 的面积AEBE5；如图 1，取 AB 中点 O，连接 OD，OE，DE，AEB90，点 E 在以 AB 为直径的圆上运动，点 O 是 AB 中点，OEAOBO，DO，DEDOOE，当点 E 在线段 OD 上时，DE 有最小值为（2）连接 GC、DF，1+290，3+290，13，又BCAB，EBGB，CGBAEB（SAS），CGAE，AFE 是等腰直角三角形，FAEACG，同理可证：DFABEA，DFEBBG，FDA3，CDAEBG90，FDA+ADC3+EBG，即FDCABG，又DCAB，FDCBEA（SAS），FCAG，又AFGC，四边形 AFCG 为平行四边形，AGFC 20解：（1）ABDEC45，AED+ADE135，AED+CEB135 ADECEB，在ADE 和BEC 中，AB，ADEBEC，ADEBEC，点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点；（2）如图所示，点 E1和 E2是四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点，理由：AD2，AE11，BE14，BC2，DE1，CE1，CD5，AE1：AD：DE11：2：，BC：BE1：CE11：2：，DE1：CE1：CD1：2：，DAE1E1BCCE1D，点 E1是四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点，同理可得，点 E2是四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点；（3）点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCEECMAEM 由折叠可知：ECMDCM，ECMDCMBCE，CECDAB，BCEBCD9030，在 RtBCE 中，cosBCEcos30，即