2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》培优提升专题训练(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习圆综合压轴题培优提升专题训练（附答案）1如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，连接 BCED 垂直平分 OB，垂足为 E，且交于点 F，交 BC 于点 P，连接 BF，CF（1）求证：DCPDPC；（2）当 BC 平分ABF 时，求证：CFAB；（3）在（2）的条件下，OB2，求阴影部分的面积 2如图，在平行四边形 ABCD 中，D60，AD3，对角线 ACBC，点 E 在射线 CB的延长线上，连接 AE，在 AE 上取点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径作O 与射线 CE切于点 B，交 AE 于点 F，交 AC 于点 M（1）求证：ABBE；（2）求 AE 的长；（3）连接 BM，OB，直接写出四边形 AMBO 的形状和面积 3如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是直径，ABBC，连接 BD，过点 D 的直线与 CA的延长线相交于点 E，且EDAACD（1）求证：直线 DE 是O 的切线；（2）求证：BD 平分ADC；（3）若 AD6，CD8，求 BD 的长 4如图，已知 AB 是O 中一条固定的弦，点 C 是优弧 ACB 上的一个动点（点 C 不与 A、B 重合）（1）如图 1，CDAB 于 D，交O 于点 N，若 CE 平分ACB，交O 于点 E，求证：ACOBCD（2）如图 2，设 AB8，O 半径为 5，在（1）的条件下，四边形 ACBE 的面积是否是定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出四边形 ACBE 面积的取值范围 5MN 是O 上的一条不经过圆心的弦，MN4，在劣弧 MN 和优弧 MN 上分别有点 A，B（不与 M，N 重合），且，连接 AM，BM（1）如图 1，AB 是直径，AB 交 MN 于点 C，ABM30，求CMO 的度数；（2）如图 2，连接 OM，AB，过点 O 作 ODAB 交 MN 于点 D，求证：MOD+2DMO90；（3）如图 3，连接 AN，BN，试猜想 AMMB+ANNB 的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由 6 如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，ADEF 于点 D，DACBAC（1）求证：EF 是O 的切线；（2）求证：AC2ADAB；（3）若O 的半径为 2，ACD30，求图中阴影部分的面积 7如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上两点AE 与过点 C 的切线垂直，垂足为 E，直线 EC 与直径 AB 的延长线相交于点 P，弦 CD 交 AB 于点 F，连接 AC、AD、BC、BD （1）如图 1，若ABCABD60，判断ACD 的形状，并证明你的结论；（2）如图 2，CD 平分ACB，求证：PCPF；若 AD4，EC2，求由线段 PC、和线段 BP 所围成的图形（阴影部分）的面积 8在图 1 至图 3 中，O 的直径 BC30，AC 切O 于点 C，AC40，连接 AB 交O 于点 D，连接 CD，P 是线段 CD 上一点，连接 PB （1）如图 1，当点 P，O 的距离最小时，求 PD 的长；（2）如图 2，若射线 AP 过圆心 O，交O 于点 E，F，求 tanF 的值；（3）如图 3，作 DHPB 于点 H，连接 CH，直接写出 CH 的最小值 9如图，在O 中，直径 ABCD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且 CFAD，求DCF 的度数（1）请解答本题（2）解完本题后，小芳对本题作进一步思考她认为：如果去掉“CFAD”这一条件，而增加条件“CDA60”，则有 CFAD你认为小芳的观点正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由（3）解完本题后，同学小颖也对本题进行了反思她认为：在图中所有的线段中，若已知某一条线段的长度，则能求出扇形 AOC 的面积请你在“CD，EB，DF”这三条线段中，选择其中一条并赋于长度，然后计算扇形 AOC 的面积 10如图，在O 中，弦 AB，CD 相交于点 E，点 D 在上，连接 CO，并延长CO 交线段 AB 于点 F，连接 OA，OB，且 OA2，OBA30（1）求证：OBAOCD；（2）当AOF 是直角三角形时，求 EF 的长；（3）是否存在点 F，使得 9SAOF4SCEF，若存在，请求出 EF 的长，若不存在，请说明理由 11如图，AB 是P 的直径，点 C 在O 上，且点 C 为的中点，连接 AE 并延长交 BC的延长线于点 D（1）试判断ABD 的形状，并说明理由；（2）过点 C 作 CFAD，垂足为点 F，求证：CF 是O 的切线；（3）在（2）的条件下，若O 的半径为 6，DF3，求 sinB 的值 12定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”（1）如图 1，BD 平分ABC，BC10四边形 ABCD 是被 BD 分割成的“师梅四边形”，求 AB 长；（2）如图 2，平面直角坐标系中，A、B 分别是 x 轴和 y 轴上的点，且 OA3，OB2，若点 C 是直线 yx 在第一象限上的一点，且 OC 是四边形 OACB 的“师梅线”，求四边形 OACB 的面积（3）如图 3，圆内接四边形 ABCD 中，ABC60点 E 是的中点，连接 BE 交 CD于点 F，连接 AF，DAF30，求证：四边形 ABCF 是“师梅四边形”；若ABC的面积为，求线段 BF 的长 13定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“半矩形”，把两个非直角顶点的连线段叫做这个“半矩形”的直径 （1）如图 1，已知 AB、CD 是O 的直径，ABCD，点 P 是上的一点，连接 AP、PC、CB、BD、DA、AC、PB图中的四边形 PADB “半矩形”；（选填“是”或“不是”）（2）如图 2，已知 AC 是“半矩形”ABCD 的直径，点 O 是 AC 的中点，OEBD 交 BD于点 E若 OE17，求 AC2BD2的值；（3）如图 3，线段 AB 是“半矩形”AOBC 的直径，BOAB，BAC15，分别延长 BO、AO 到点 D、E，使 BODO，AOEO，连接 CO、BE、DE、AD，若 CO5，求四边形 ABED 的面积 14在半径为 5 的O 中，AB 是直径，点 C 是直径 AB 上方半圆上一动点，连接 AC、BC（1）如图 1，则ABC 面积的最大值是 ；（2）如图 2，如果 AC8，则 BC ；作ACB 的平分线 CP 交O 于点 P，求长 CP 的长（3）如图 3，连接 AP 并保持 CP 平分ACB，D 为线段 BC 的中点，过点 D 作 DHAP，在 C 点运动过程中，请直接写出 DH 长的最大值 15如图，在O 中，AB 为直径，OCAB，弦 CD 与 OB 交于点 F，在 AB 的延长线上有一点 E，且 EFED（1）求证：DE 是O 的切线（2）若 tanA，探究线段 AB 和 BE 之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若 OF1，求O 的半径和 CD 的长 16从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形”（1）【特例感知】如图 1，EAF 与正方形 ABCD 的边 BC、CD 分别交于点 E、点 F，此时EAF 对正方形 ABCD 的“投射图形”就是四边形 AECF；若此时 CE+CF 是一个定值，则四边形 AECF 的面积 （填“会”或“不会”）发生变化（2）【迁移尝试】如图 2，菱形 ABCD 中，AB2，D120，E、F 分别是边 BC、CD 上的动点，若EAF 对菱形 ABCD 的“投射图形”四边形 AECF 的面积为，求CE+CF 的值（3）【深入感悟】如图 3，矩形 ABCD 中，AB3，AD4，EAF 的两边分别与 BC、CD 交于点 E、点 F，若EAF45，CF2，求EAF 对矩形 ABCD 的“投射图形”四边形 AECF 的面积（4）【综合运用】如图 4，在平行四边形 ABCD 中，AB4，AD6，B45，点E 是 BC 边上的一个动点，AEF 的外接圆过点 C，且与 DC 边交于点 F，此时EAF 对平行四边形 ABCD 的“投射图形”为四边形 AECF，当 EF 取最小值时，CE+CF 的值为 17定义：对角线互相垂直的圆内接四边形称为圆的神奇四边形（1）如图 1，已知四边形 ABCD 是O 的神奇四边形，若 AC12，BD10，则 S四边形ABCD ；（2）如图 2，已知四边形 ABCD 为O 的内接四边形，连接 OA，OB，OC，OD，满足BOC+AOD180，求证：四边形 ABCD 是O 的神奇四边形；（3）如图 3，已知四边形 ABCD 是O 的神奇四边形，BAD90，延长 AD，BC 相交于点 E，若 AB6，AE8，求 AC 的长 18【问题提出】（1）如图，ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，BACDAE90且点 D 恰在 BC 边上，连接 CE，则ACE 的大小为 ；【问题探究】（2）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 P 是其内部一点，连接 AP、BP、CP，当APB90，BPC135时，试探究 AP、BP、CP 之间的数量关系，并加以证明 【问题解决】（3）如图，有一个圆心角为 120、半径为 20 米的扇形舞台 AOB现要在 OA、OB边上确定两点 C、D，使得 OCOD，并在 CD 之间拉上幕布为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的弧 AB 上找一点 P 来安装一照明角为 60（即CPD60）的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布要使幕布 CD 长最短，则 OC 长应为多少？并求此时灯光照亮的舞台面积（即PCD 的面积）19如图 1，扇形 AOB 的半径为 6，弧长为 2（1）求圆心角AOB 的度数；（2）如图 2，将扇形 AOB 绕点 O 逆时针旋转 60，连接 AB，BC 判断四边形 OABC 的形状并证明；如图 3，若POQ60，将POQ 绕点 O 旋转，与 AB，BC 分别交于点 M，N（点M，N 与点 A，B，C 均不重合），判断 MB+NB 的值是否为定值如果是定值请求出；如果不是，请说明理由 20已知，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB 与 CD 相交于点 E，（1）如图 1，求证：ABCD；（2）如图 2，F 是上一点，连接 CF、OC，若 CO 平分FCD，求证：CFCD；（3）如图 3，在（2）的条件下，CF 与 AB 相交于点 H，连接 DF、EF，延长 FE 交O于点 G，若EFD45，COH 的面积为 30，求 GE 的长 参考答案 1（1）证明：连接 OC，如图：CD 是O 的切线，C 为切点，DCO90，即OCB+DCP90，DEOB，DEB90，OBC+BPE90，OBOC，OCBOBC，DCPBPE，BPEDPC，DCPDPC；（2）证明：连接 OF，如图：ED 垂直平分 OB，OFBF，OFOB，BFOFOB，BOF 是等边三角形，FOBABF60，FCBFOB30，BC 平分ABF，ABCABF30，FCBABC，CFAB；（3）解：连接 OF、OC，如图：由（2）知，ABCCBF30，COF2CBF60，OB2，即O 半径为 2，S扇形COF，OCOF，COF60，COF 是等边三角形，CFOFOB2，ED 垂直平分 OB，OEBEOB1，FEB90，在 RtFEB 中，EF，SCOFCFEF2，S阴影S扇形COFSCOF，答：阴影部分的面积为 2（1）证明：连接 OB，四边形 ABCD 是平行四边形，D60，ABCD60 O 与射线 CE 切于点 B，OBCE，OBC90 ABO90ABC30 OAOB，BAOABO30 ABC 是ABE 的外角，EABCBAO30 EBAO，ABBE；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，AD3，BCAD3，ACBC，ACB90 在 RtACB 中，ABC60，CAB90ABC30，AB2BC6，由勾股定理，得，在 RtACE 中，ACE90，E30，；（3）连接 BM，OM，在 RtACE 中，ACE90，E30，OAC60 AOMO，AOM 是等边三角形，AMOMAOBO，OBEACE90，ACBO，AMBO，四边形 AMBO 是平行四边形，AMAO，四边形 AMBO 是菱形，在 RtACE 中，ACE90，E30，BEAB6，3（1）证明：连接 OD，OCOD，OCDODC，AC 是O 的直径，ADC90，EDAACD，ADO+ODCEDA+ADO90，EDOEDA+ADO90，ODDE，OD 是半径，直线 DE 是O 的切线；（2）证明：AC 是O 的直径，ABC90，ABBC，ABC 是等腰直角三角形，BACBCA45，ADBBCA45，CDBBAC45，ADBCDB，BD 平分ADC；（3）过点 B 作 BHBD 交 DC 延长线于点 H，DBH90，AC 是O 的直径，ABC90，ABD90DBC，CBH90DBC，ABDCBH，四边形 ABCD 内接于O，BAD+BCD180，BCD+BCH180，BADBCH，ABCB，ABDCBH（ASA），ADCH，BDBH，AD6，CD8，CH6，DHCD+CH14，在 RtBDH 中，BD2DH2BH2，BDBH，2BD2196，BD7 4解：（1）如图 1，作直径 CF，连接 AF，ACF90，ACO90F，CDAB，BDC90，BCD90B，对于：FB，ACOBCD；（2）如图 2，CE 平分ACB，当 C 点在运动时，ACEBCE，连接 OE，OEAB，设垂足是 F，AFFB4，OF3，EFOEOF2，S四边形AEBCSABE+SABC+8+4CD，当 CDCF8 时，S四边形AEBC最大40 8S四边形AEBC40 5解：（1）如图 1，AB 是O 的直径，AMB90，AMNBMN45 OMOB，OMBOBM30，CMO453015；（2）如图 2，连接 OA，OB，ON ，AONBON 又OAOB，ONAB ODAB，DON90 OMON，OMNONM OMN+ONM+MOD+DON180，MOD+2DMO90；（3）如图 3，延长 MB 至点 M，使 BMAM，连接 NM，作 NEMM于点 E 设 AMa，BMb 四边形 AMBN 是圆内接四边形，A+MBN180 NBM+MBN180，ANBM，ANBN，AMNBMN（SAS），MNNM，BMAMa NEMM于点 E ME2+（BN2BE2）MN2，化简得 ab+NB216，AMMB+ANNB16 6（1）证明：连接 OC，OAOC，BACOCA，DACBAC，OCADAC，OCAD，ADEF，OCEF，OC 为半径，EF 是O 的切线 （2）证明：连接 BC，AB 为O 直径，ADEF，BCAADC90，DACBAC，ACBADC，AC2ADAB （3）解：ACD30，OCD90，OCA60，OCOA，OAC 是等边三角形，ACOAOC2，AOC60，在 RtACD 中，ADAC21，由勾股定理得：DC，阴影部分的面积是 SS梯形OCDAS扇形OCA（2+1）7（1）解：ACD 的形状为等边三角形，理由：ACDABD，ADCABC，ABCABD60，ACDADC60，ACDADCCAD60，ACD 的形状为等边三角形；（2）证明：连接 OC，OD，如图，CD 平分ACB，ACDBCD，OD 是圆的半径，ODAB，BOD90 ODF+OFD90 EC 为圆的切线，OCEC，OCP90 OCF+PCF90 OCDO，ODCOCD，PCFOFD，OFDPFC，PCFPFC，PCPF；解：过点 O 作 OGAE 于点 G，如图，AEEC，OCEC，OGAE，四边形 OGEC 为矩形，OGEC2，GOC90 AB 为圆的直径，ADB90，ADB 为等腰直角三角形 ABAD8，OA4 cosAOG，AOG30，COB180AOGCOG60 tanCOP，CPOC4 S阴影SOCPS扇形OBC OCCP 44 8 由线段 PC、和线段 BP 所围成的图形（阴影部分）的面积为 8 8解：（1）如图 1，连接 OP，AC 切O 于点 C，ACBC BC30，AC40，AB50 由 SABCABCDACBC，即，解得 CD24，当 OPCD 时，点 P，O 的距离最小，此时（2）如图 2，连接 CE，EF 为O 的直径，ECF90 由（1）知，ACB90，由 AO2AC2+OC2，得（AE+15）2402+152，解得 ACBECF90，ACEBCFAFC 又CAEFAC，ACEAFC，（3）CH 的最小值为 解：如图 3，以 BD 为直径作G，则 G 为 BD 的中点，DG9，DHPB，点 H 总在G 上，CD24，BC30，BDC90，BD18，DG9，GH9，当点 C，H，G 在一条直线上时，CH 最小，此时，即 CH 的最小值为 9解：（1）AB 是直径，且 ABCD，A+CDA90，DECECD，CFAD，且 CF 过圆心 O，C+CDA90，AFDFAD，AC，在AOF 和COE 中，AOFCOE（ASA，AFCE，DFCD，CFAD，DCF30；（2）小芳观点正确，理由如下：如图，连接 OD，ABCD，CDA60，AD2DE，CD2DE，ADCD，在AOD 和COD 中，AODCOD（SSS），AC，ADECDF，CFDAED90，即 CFAD；（3）若 CD4，ABCD，且 AB 为直径，CECD2，由（1）知DCF30，则AOCDCF+AEC30+90120 在 RtCOE 中，OC4，S扇形AOC，10解：（1）如图 1，连接 BC，ECBEBC，BECE，OBOC，OCBOBC，OCDECFECBOCBEBCOBCOBA，即OBAOCD；（2）OAOB，OAFOBA，OAFECF，当AFO90时，则 CFAB，OA2，OABOBA30 OCOA2，OF1，AB2，AOFBOF60，AOCBOC120，BOD120，点 D 与点 A 重合，EFCFtanECFCFtanOBA3，即 EF；当AOF90时，OAFOBA30，tanOAFtan30，OA2，OFOAtanOAF，AF2OF，OAFOBAECF，OFAEFC，OFAEFC，EFOF 综上所述：EF或；（3）存在 OABOBAOCD，AOFCEF，9SAOF4SCEF，AOCOBO2，BECE3，设 OF2k，则 EF3k，CFCO+OFAO+OF2+2k，AF，BFBEEF33k，ABAF+BF+33k，OAOB，AOB1803030120，ABAO2，+33k2，解得：k，EF3k 11（1）解：ABD 是等腰三角形，理由如下：如图 1，连接 AC，AB 是O 的直径，ACB90 ACBD，BACDAC，ABAD，ABD 是等腰三角形；（2）证明：如图 2，连接 AC，OC，OAOC，OACOCA，DACOAC，DACOCA，CFAD，AFC90，DAC+ACF90，OCA+ACF90，ACCF，CF 是O 的切线；（3）解：ACBCFD90，BD，ABCCDF，BCCD6，AC6，sinB 12（1）解：四边形 ABCD 为被 BD 分割的师梅四边形 ABD 与DBC 相似，若ABDCBD 则1，ABBC10；若ABDDBC 则，AB 综上所述：AB10 或 （2）解：点 C 是直线 yx 在第一象限上的一点，OC 平分BOA，即BOCAOC45，又OC 是四边形 OACB 的“师梅线”，OBCOCA，即 OC2OBOA6，OC，作 CMx 轴于点 M，CNy 轴于点 N，ONC 和OMC 都是等腰直角三角形，CNCM，四边形 OACB 的面积SOAC+SOBC OACM+OBCN 3+2；（3）证明：E 是的中点，ABECBEABC30，C+BFC150，四边形 ABCD 内接于圆 O，BAD+C180，DAF30，C+BAF150，且C+BFC150，BAFBFC，且ABECBE ABFFBC 四边形 ABCF 为师梅四边形；解：如图，过点 A 作 AGBC 交 BC 与 G，连接 AC，ABFFBC，BF2ABBC，SABCBCAGBCABsin606，ABBC6，ABBC24BF2，且 BF0，BF2 13解：（1）四边形 PADB 是“半矩形”，理由如下：AB 是O 的直径，APBADB90，四边形 PADB 是“半矩形”，故答案为：是；（2）ABCADC90，点 O 是 AC 的中点，OEBD，OEB90，OB2BE2OE2172，即，AC2BD2（2OB）2（2BE）24（OB2BE2）42891156；（3）取 AB 的中点 M，连接 CM，OM，线段 AB 是“半矩形”AOBC 的直径，则 CMOMAMBM，CAMACMBAC15，CBM2CAM30，在 RtAOB 中，AOB90，BAO30，MAOMOA30，BMO2MAO60，CMOCMB+BMO90，CMO 是等腰直角三角形，即，OM5，AB2OM10，线段 AB 是“半矩形”AOBC 的直径，AOB90，即 BDAE，BODO，AOEO，四边形 ABED 是菱形，BD2OB10，四边形 ABED 的面积为 14解：（1）O 的半径为 5，AB 是直径，AB10 当 AB 边上的高最大时，ABC 面积的最大，点 C 是直径 AB 上方半圆上一动点，当 COAB 时，即 CO5 时，ABC 面积的最大，ABC 面积的最大值是ABOC10525，故答案为：25（2）O 的半径为 5，AB 是直径，AB10，BCA90，BC6 故答案为：6；过点 B 作 BDPC 于点 D，连接 PB，PA，如图，CP 为ACB 的平分线，ACB90，ACPBCP45，CDB 为等腰直角三角形，CDBD AB 是直径，APB90，ABPACP45，APB 为等腰直角三角形，PBAB5 BDPC，PDB90，PDBACB90，BPCBAC，PDBACB，AC8，BC6，PD4，BD3，CDBD3，CPPD+CD4+37；（3）连接 OD，OH，如图，D 为线段 BC 的中点，ODBC，DHOD+OH，当点 D，O，H 三点在一条直线上时，DHOD+OH，DH 取最大值 如图，CP 平分ACB，ODBC，DHAP，点 D，O，H 三点在一条直线上，BCAP，四边形 APBC 为正方形，DHAC5，DH 长的最大值为 5 15（1）证明：连接 OD，如图，EFED，EFDEDF，EFDCFO，CFOEDF，OCOF，OCF+CFO90，OCOD，OCFODF，ODC+EDF90，即ODE90，ODDE，点 D 在O 上，DE 是O 的切线；（2）解；线段 AB、BE 之间的数量关系为：AB3BE 证明：AB 为O 直径，ADB90，ADOBDE，OAOD，ADOA，BDEA，而BEDDEA，EBDEDA，RtABD 中，tanA，AE2DE，DE2BE，AE4BE，AB3BE；（3）解：设 BEx，则 DEEF2x，AB3x，半径 ODx，OF1，OE1+2x，在 RtODE 中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2（1+2x）2，x（舍）或 x2，AB3x6，圆 O 的半径为 3 过点 O 作 OHCD，OCOD，CD2CH，在 RtOCF 中，CF，OH，在 RtOCH 中，tanOCH，CH3OH，CD2CH 16解：（1）连接 AC，如图：四边形 AECF 的面积ACG 面积+ACF 面积（CE+CF），CE+CF、AB 为定值，四边形 AECF 的面积不会改变，故答案为：不会（2）连接 AC，过点 A 作 AMBC 交 CB 延长线于点 M，过点 A 作 ANCD 交 CD 延长线于点 N，由题意可得：ABMADN60，ABBC2 BM1，解得：CE+CF2（3）在 BC 上取点 G 使得 BGAB，连接 AG，过点 G 作 GHAG 交 AE 延长线于点 H，作 HIBC，连接 AC，如图：由题意可得：BAGBGA45，DF1，AG3，BAE+EAG45，HIIG，EAF45，BAE+DAF45，EAGDAF，又DAGH90，ADFAGH，解得，又HG2HI2+IG2，又ABEHIE，解得 则（4）如图，设AEF 的外接圆的圆心为点 O，半径为 r，连接 OA、OE、OF、EF，四边形 ABCD 是平行四边形，B+BCD180 BCD135 A、E、C、F 四点共圆 EAF45 EOF2EAF90，EFr，当 EFBC 时，r取得最小值，即 EF 最小，此时点 O 在 AC 上，如图：B45AB4，AD6，AEC90，AEBE4，ECBCBE2 在 RtAEC 中，AC2，BAD135，EAF45 FAD45，FAD 为等腰直角三角形，CE+CF2+17（1）解：AC 与 BD 相交于点 P，如图 1，四边形 ABCD 是O 的神奇四边形，ACBD，S四边形ABCDSABD+SCBDBD（PA+PC）BDAC121060；故答案为：60；（2）证明：连接 AC、BD，它们相交于 P 点，作直径 BE，如图 2，BOC+AOD180，BOC+COE180，AODCOE，AOECOD，CBDCOD，CBDAOE，ACBAOB，CBD+ACBAOB+AOBBOE18090，BPC90，ACBD，四边形 ABCD 是O 的神奇四边形；（3）解：AC 与 BD 相交于 P 点，如图 3，BAD90，BD 为O 的直径，BCD90 四边形 ABCD 是O 的神奇四边形，ACBD，PAPC，BCBA6，DADC，在 RtABE 中，BE10，CEBEBC1064，设 CDx，则 DE8x，在 RtDCE 中，x2+42（8x）2，解得 x5，即 CD5，在 RtBCD 中，BD，CPBDCBCD，CP，AC2CP 18解：（1）ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，ABAC，ADAE，B45，BACDAE90，BACDACDAEDAC，BADCAE，BADCAE（SAS），ACEB45 故答案为：45（2）将 RtAPB 绕点 A 逆时针旋转 90，如图所示，ABC 是等腰直角三角形且APB 旋转得APC，ABAC，APAP，APBPAP90，APP是等腰直角三角形，PPAP，延长 BP 交 PC 于 H，APH90PAPAPC，四边形 APHP为正方形，APPH，PHPPHC90，BPC135，CPH45，PHC 为等腰直角三角形，APC45，PCPHAP，APP45，PPCAPP+HPC90，在 RtPPC 中，由勾股定理得，PP2+PC2PB2，即（AP）2+PC2PB2，2AP2+PC2PB2（3）扇形 AOB 是一个圆心角为 120的扇形，当点 P 在点 O 正上方即的中点时，可使 CD 最短，此时 OP 平分AOB，POCPOD，OP 为圆的半径，OP20m，P 在的中点，且 OCOD，PCOPDO（SAS），CPD60，AOB120，PCOPDO90，OCOPsin6010m，OCOD，AOB120，OCDODC30，PCDPDC60，PCD 是等边三角形，SPCD，m，sPCD75（m2）19解：（1）扇形 AOB 的半径为 6，弧长为 2 2，n60，圆心角AOB60；（2）四边形 OABC 是菱形，证明：在扇形 AOB 中，OAOB，AOB60，AOB 是等边三角形，OAOBAB，扇形 AOB 绕点 O 逆时针旋转 60，COB 是等边三角形，OAABBCOC，四边形 OABC 是菱形；MB+NB 是定值，由知OAB 与OBC 是等边三角形，OBCOABAOB60，POQ60，AOBPOQ，AOBBOMPOQBOM，即AOMBON，又 OAOB，OABOBC60，OMAONB（ASA），MANB，MB+NBMB+MAAB6，MB+NB 为定值 6 20（1）证明：如图 1，连接 OC，OD，BCBD，BOCBOD，OC、OD 是圆的半径，OCOD，ABCD（2）证明：如图 2，作 OKCF，垂足为 K，OKCF，ABCD，OKCOEC90，OC 平分FCD，OCKOCE，OCOC，OCKOCE，CKCE，OKCF，CK2CE，OECD，CD2CE，CFCD（3）如图 3，作 OKCF，连接 CG，作 EMCG，设DCGOCE，DCK2，CFCD，CFDCDF90，EFD45，HFE45，OEC90，CHE902，HEFHFE45，HEHF，设 HEHFm，CEn，CFCD2CE2n，CH2nm，在直角三角形 CHE 中，CE2+HE2CH2 n2+m2（2nm）2，nm，CEm，CHm，CKCEm，KH，设 OEx，OKOEx，OHmx，在直角三角形 OKH 中，KH2+OK2OH2，（）2+x2（mx）2，m，m，COH 的面积为 30，m9，CEm12，OCK，OKC90，COK90，COKD，CFCF，COKD，COKCGE，tanCOKtanCGE3，DGDG，EFDECG45，EMCG，CMEMCE6，tanCGE3，EM3MG，在 RtEMG 中，EG