2022-2023学年苏科版九年级数学下册《6-4探索三角形相似的条件》解答题专题提升训练(附答案).pdf

2022-2023 学年苏科版九年级数学下册6.4 探索三角形相似的条件 解答题专题提升训练（附答案）1 已知如图，D、E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，AD5，AB8，AE4，AC10 求证：ADEACB 2如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，EFEC 交 AB 于 F，连接 FC，求证：AEFDCE 3如图，已知 ADACABAE，DAEBAC求证：DABEAC 4如图，在平面直角坐标系中，点 B（12，10），过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A作 y 轴的垂线，垂足为 C 点 D 从 O 出发，沿 y 轴正方向以每秒 1 个单位长度运动；点 E 从 O出发，沿 x 轴正方向以每秒 3 个单位长度运动；点 F 从 B 出发，沿 BA 方向以每秒 2 个单位长度运动当 E 点运动到点 A 时，三点随之停止运动设运动时间为 t（1）用含 t 的代数式分别表示点 E，点 F 的坐标（2）若ODE 与以点 A，E，F 为顶点的三角形相似，求 t 的值 5如图，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）如果点 P，Q 同时出发，经过几秒钟时PCQ 的面积为 8cm2？（2）如果点 P，Q 同时出发，经过几秒钟时以 P、C、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？6如图，在ABC 中，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，点 E 是 AB 上一点，连接 DE，BD2BCBE证明：BCDBDE 7如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为点 D，点 M 是 AC 上的一点，连接 BM，作 MNBM，且交 AB 于点 N（1）求证：BCPMAN；（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来 8如图，点 B、D、E 在一条直线上，BE 交 AC 于点 F，且BADCAE（1）求证：ABCADE；（2）求证：AEFBCF 9如图，ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 BDCE，AD 与 BE 相交于点 F，（）证明：ABDBCE；（）证明：ABEFAE；（）若 AF7，DF1，求 BD 的长 10如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P（1）求证：PD 是O 的切线；（2）求证：PBDDCA 11如图，在PAB 中，点 C、D 在 AB 上，PCPDCD，ABPD，求证：APCPBD 12如图，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上ABC 和DEF 相似吗？为什么？13如图，在ABC 和ADE 中，BADCAE，ABCADE（1）求证：；（2）判断ABD 与ACE 是否相似？并证明 14如图，O 为四边形 ABCD 内一点，E 为 CD 的中点，OAOD，OBOC，AOD+BOC180（1）若OEDAOB，CD4，求 OC 的长；（2）求证：OEAB 15如图，在ABC 中，CDAB 于 D，BEAC 于 E，试说明：（1）ABEACD；（2）ADBCDEAC 16已知 AC 是O 的直径，AB 是O 的一条弦，AP 是O 的切线作 BMAB，并与 AP交于点 M，延长 MB 交 AC 于点 E，交O 于点 D，连接 AD、BC 求证：ABCEAM 17已知：如图 AB 为O 直径，E 为半圆上一动点，连 BE 并延长，使 EFBE，过 F 作FCOA 于 C，交 AE 于 G，在 FG 上取一点 D，连 DE，使EDG2EAB（1）判断 ED 与O 的位置关系，并证明；（2）若 AB10，OGC 与ABE 相似，求 AC 的长度 18四边形 ABCD 内接于O，点 P 为 AD、BC 延长线的交点，ADC90+P（1）求证：AB（2）如图 2，点 M 为的中点，在线段 AP 上确定一点 N，使 M、N、A 三点为顶点的三角形与AMC 相似而不全等，并判断在此情况下 MN 与O 的位置关系，证明你的结论 19如图，ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1）当点 Q 在线段 CA 上时，如图 1，求证：BPECEQ（2）当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，如图 2，BPE 和CEQ 是否相似？说明理由；若 BP1，CQ，求 PQ 的长 20如图，在ABC 中，ACB90，CDAB，（1）图 1 中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；（2）已知 AB10，AC8，请你求出 CD 的长；（3）在（2）的情况下，如果以 AB 为 x 轴，CD 为 y 轴，点 D 为坐标原点 O，建立直角坐标系（如图 2），若点 P 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CB 运动，点 Q 出B 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为 t 秒，是否存在点 P，使以点 B、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案 1证明：AD5，AB8，AE4，AC10，又DAECAB，ADEACB 2证明：FEC90，AEF+DEC90，四边形 ABCD 是矩形，AD90，A+AFE+AEF180，AFE+AEF90，DECAFE，又AD，AEFDCE 3证明：ADACABAE，DAEBAC DAEBAEBACBAE，DABEAC，DABEAC 4解：（1）由题可得 OE3t，ODt，BF2t BAx 轴，BCy 轴，AOC90，AOCBAOBCO90，四边形 OABC 是矩形，ABOC，BCOA B（12，10），BCOA12，ABOC10，AF102t，AE123t，点 E 的坐标为（3t，0），点 F 的坐标为（12，102t）；（2）当ODEAEF 时，则有，解得 t10（舍），t2；当ODEAFE 时，则有，解得 t10（舍），t26 点 E 运动到点 A 时，三点随之停止运动，3t12，t4 64，t6 舍去，综上所述：t 的值为 5解：（1）设 xs 后，可使PCQ 的面积为 8cm2 由题意得，APxcm，PC（6x）cm，CQ2xcm，则（6x）2x8，整理得 x26x+80，解得 x12，x24 所以 P、Q 同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ 的面积为 8cm2（2）设 t 秒后以 P、C、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，则 PC（6t）cm，CQ2tcm 当PCQACB 时，即，解得：t 当PCQBCA 时，即，解得：t 综上所述，经过秒或秒时，以 P、C、Q 为顶点的三角形与ABC 相似 6证明：BD 平分ABC，DBECBD BD2BCBE，BCDBDE 7（1）证明：CDAB，ACBC，A+ACD90，BCD+ACD90 ABCD，又MNBM，ACBC，AMN+BMC90，CBM+BMC90，AMNCBM，BCPMAN；（2）有，它们分别是：ACDABC，ACDBCD，BCDABC，BDPBMN 8（1）BADCAE BAD+CADCAE+CAD 即BACDAE 在ABC 和ADE 中，BACDAE，ABCADE；（2）ABCADE，CE、在AEF 和BFC 中，CE，AFEBFC，AEFBCF 9解：（）ABC 是等边三角形，ABBC，ABDBCE，在ABD 与BCE 中，ABDBCE（SAS）；（）由（1）得：BADCBE，又ABCBAC，ABEEAF，又AEFBEA，AEFBEA；（）BADCBE，BDAFDB，ABDBFD，BD2ADDF（AF+DF）DF8，BD2 10证明：（1）圆心 O 在 BC 上，BC 是圆 O 的直径，BAC90，连接 OD，AD 平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90，即 ODBC，PDBC，ODPD，OD 为圆 O 的半径，PD 是圆 O 的切线；（2）PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBD+ABD180，ACD+ABD180，PBDACD，PBDDCA 11证明：PCPD，PCDPDC，A+APCPCD，B+BPDPDC，又ABPD，BAPC，APCPBD 12解：ABC 和DEF 相似理由如下：由勾股定理，得 AB2，AC2，BC2，DE，DF，EF2，ABCDEF 13证明：（1）BADCAE，BAD+DACCAE+DAC，BACDAE，又ABCADE，ABCADE，；（2）ABD 与ACE 相似，证明：由（1）知：ABCADE，又BADCAE，ABD 与ACE 相似 14解：（1）AOD+BOC180，AOB+DOC180；OEDAOB，OED+DOC180；OED+EDO+DOE180，CDOCOE，又DCOOCE，DCOOCE（AAA），即 OC2DCCE；E 为 CD 的中点，CD4，CE2，则 OC（2）将AOB 绕点 O 逆时针方向旋转，使得 OB 与 OC 重合，得AOC，AOBAOC，OAOA，ABAC；由（1）得AOB+DOC180，AOC+DOC180，点 D，O，A在同一直线上；OAOD，ODOA，即点 O 是线段 DA的中点，又E 为 CD 的中点，EO 是DAC 的中位线，OECAAB 15解：（1）CDAB 于 D，BEAC 于 E，AEBADC90，在ABE 和ACD 中，ABEACD；（2）ABEACD，在ADE 和ACB 中，ADEACB，ADBCDEAC 16证明：AC 是圆 O 的直径，AP 是圆 O 的切线，EAMABC90 AME+AEM90，BAP+EAB90 BMAB，BMABAM，AEMEAB，ABCEAM 17解：（1）ED 与O 的位置关系：相切；理由：连接 OE，AB 为O 直径，AEB90，AEF90，FCOA，ACG90，AGCFGE，FA，EDG2EAB，EDG2F，EDGF+DEF，FDEF，OAOE，AAEO，DEFAEO，DEF+DEG90，DEG+AEO90，DEEO，ED 是O 的切线；（2）AB10，OA5，ACGAEB90，AA，ACGAEB，OGC 与ABE 相似，OGC 与ACG 相似，当AGCOGC 时，OGC 与ACG，ACOCOA，当AGCCOG 时，OGC 与ACG，AGO90，OGBE，OGBE，COGCBF，BEEF，OGBF，OCBC，OB3OC5，OC，AC5，综上所述，AC或 18（1）证明：ADCP+DCP，ADC90+P，P+DCP90+P，化简得，DCP90P，又PDC180（90+P）90P，DCPPDC，PDPC，又四边形 ABCD 内接于O，ADC+BADC+PDC180，PDCB，同理，DCPA，AB；（2）解：点 M 为的中点，CAMMAP，当AMN1AMC 时，AMN1AMC，不合题意，舍去，当AMN2ACM 时，此时AMN2ACM 且不全等，MN2为O 的切线 如图，作直径 EM，连接 EC，ECM90ECA+ACM，又ECAEMA，EMN2EMA+AMN2ECA+ACM90，MN2OM，OM 是半径，MN2为O 的切线 19（1）证明：ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45，BEQEQC+C，即BEP+DEFEQC+C，BEP+45EQC+45，BEPEQC，BC，BPECEQ；（2）BPECEQ；理由如下：BEQEQC+C，即BEP+DEFEQC+C，BEP+45EQC+45，BEPEQC，又BC，BPECEQ；，DEF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，BECE，解得：BECE，BC3，在 RtABC 中，ABAC，ABACBC33，AQCQAC3，APABBP312，在 RtAPQ 中，PQ 20解：（1）图 1 中共有 3 对相似三角形，分别为：ABCACD，ABCCBD，ACDCBD 故答案为 3，ABCACD，ABCCBD，ACDCBD；（2）如图 1，在ABC 中，ACB90，AB10，AC8，BC6 ABC 的面积ABCDACBC，CD4.8；（3）存在点 P，使以点 B、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，理由如下：在BOC 中，COB90，BC6，OC4.8，OB3.6 分两种情况：当BQP90时，如图 2，此时PQBACB，解得 t2.25，即 BQCP2.25，BPBCCP62.253.75 在BPQ 中，由勾股定理，得 PQ3，点 P 的坐标为（1.35，3）；当BPQ90时，如图 2，此时QPBACB，解得 t3.75，即 BQCP3.75，BPBCCP63.752.25 过点 P 作 PEx 轴于点 E QPBACB，即，PE1.8 在BPE 中，BE1.35，OEOBBE3.61.352.25，点 P 的坐标为（2.25，1.8）综上可得，点 P 的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）