2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答专项练习题(附答案).pdf

2022-2023 学年九年级数学中考复习抛物线与 x 轴交点问题解答专项练习题（附答案）1已知：二次函数 yx22x3（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与 x 轴交点坐标；（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出 y0 时，自变量 x 的取值范围 2已知抛物线 yx22x8，完成下列各题：（1）求抛物线与 x 轴的两个交点 A、B（A 在 B 的左侧）的坐标；（2）若该抛物线顶点为 C，求ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 P，使ABP 的面积等于 15？若存在，请直接写出点 P 的坐标若不存在，请说明理由 3在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+b1（b 为常数，且 b0）（1）求证：抛物线与 x 轴必有交点；（2）求：抛物线顶点所在的函数解析式；（3）直线 ykx1（k0）经过抛物线的顶点，且与抛物线交于另一个点 A，当时，求 k 的值 4如图，在平面直角坐标系中，直线 yx2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 y+bx+c 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点 D 在直线BC 下方的二次函数图象上（1）求二次函数的表达式；（2）连接 DC，DB，设BCD 的面积为 S，求 S 的最大值 5如图，抛物线 yx22x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐标 6已知二次函数 yx2+bx+c（a0）自变量 x 的值和它对应的函数值 y 如表所示：x 0 1 2 3 4 y 3 0 1 0 m （1）请写出关于该二次函数图象的相关信息：抛物线解析式为 ；抛物线开口向 （填“上”或“下”）；顶点坐标为 ；m 的值为 （2）设该二次函数图象与 x 轴的左交点为 B，它的顶点为 A，该图象上点 C 的横坐标为4，求ABC 的面积 7已知二次函数 yx4x+3（1）直接写出抛物线与 x 轴交点坐标 、；与 y 轴交点坐标 ；顶点坐标为 ；（2）在给出的平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；（3）当 0 x3 时，y 的取值范围是 8 平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+bx+c 经过（1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中 m 为常数（1）求 b 的值，并用含 m 的代数式表示 c；（2）若抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴有公共点，求 m 的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线 yx2+bx+c 上的两点，请比较 y2y1与 0 的大小，并说明理由 9在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22mx3（m0）与 x 轴交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为（3，0）（1）求点 B 的坐标及 m 的值；（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；（3）结合函数图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 10已知二次函数的图象如图所示（1）求这个二次函数的表达式；（2）当 y0 时，x 的取值范围是 ；（3）当1x1 时，直接写出 y 的取值范围 11已知抛物线 L：yx22x+3 与 x 轴交于 A、B 点（A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于点 C（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）把抛物线 L 关于 y 轴对称，得到抛物线 L，在抛物线 L上是否存在点 P，使得 SABPSBCP？若存在，请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 12如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 ya（xh）2（a0）与 x 轴的交点为（1，0），与 y 轴交点为（0，2）（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）若将该抛物线平移后经过原点，直接写出平移后的抛物线对应的函数关系式（至少写出 2 个对应的函数关系式）13已知二次函数 ya（xm）（x+m2）（a0）（1）若此函数与 y 轴交点坐标为（0，3a），求 m 的值；（2）若此函数与 x 轴只有 1 个交点，且经过点（2，1），求二次函数的表达式；（3）函数图象上有一点 P（x0，y0），当 0 x04 时，始终有 2y04，求 a 的值 14在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的两个交点分别为 A（3，0）、B（1，0），与 y 轴交于点 D（0，3），过顶点 C 作 CHx 轴于点 H（1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；（2）连结 AD、CD，若点 E 为抛物线上一动点（点 E 与顶点 C 不重合），当ADE 与ACD 面积相等时，求点 E 的坐标 15已知：如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），点 C（0，5），抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB 的面积 16已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0（1）求证：无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若抛物线 yx2（2k+1）x+k2+k 与 x 轴相交于 A、B 两点，当 OA+OB5 时，求k 的值 17如图，抛物线 y1（xa）（xa4）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），平行于 y 轴的直线 l 过点 Q（2，0），与抛物线 y1交于点 P（1）直接写出线段 AB 的长，并用含 a 的式子将抛物线 y1的对称轴表示出来；（2）将抛物线 y1向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，向右平移 2 个单位得到抛物线 y3，向右平移 n1（n 为正整数）个单位得到抛物线 yn，抛物线 y2与直线 l 交于点 Q 直线 l 与所有抛物线的交点个数为 个，所有抛物线的顶点所在直线是 ；抛物线 yn与直线 l 交于点 R，若四边形 PARB 的面积为 70，求 n 的值 18已知抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A（1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，过点 D 作 CD 的垂线交抛物线于 M，N，点 E 是直线 MN 上方抛物线上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线交 MN 于点 F，以 CD 和 DF 为边作矩形 CDFG，当点 G 恰好在抛物线上时，求点 E 的坐标 19已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（3，n），B（2，n）两点（1）求 b 的值；（2）当1x1 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范围 20如图，已知对称轴为直 x1 的抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 A（1，0）（1）求点 C 的坐标及抛物线的表达式；请你根据图象分析回答，一元二次方程 ax2+bx+3c 有一正根和一负根时，c 的取值范围是 （2）当 mx1 时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出 m 的取值范围 参考答案 1解：（1）yx22x3（x1）24，二次函数图象的顶点坐标为（1，4），当 y0 时，x22x30，解得：x11，x23，二次函数图象与 x 轴交点坐标为（1，0）或（3，0）；（2）二次函数 yx22x3 图象的顶点坐标为（1，4），对称轴为直线 x1，与 x 轴的交点坐标为（1，0）或（3，0），与 y 轴的交点坐标为（0，3），图象如下：由图象可知：当 y0 时，自变量 x 的取值范围为 x1 或 x3 2解：（1）当 y0 时，x22x80，即：（x+2）（x4）0，x2 或 4，点 A 坐标为（2，0），点 B 坐标为（4，0）；（2）令 x0，则 y8，C（0，8），AB6，OC8，SABCABOC6824，ABC 的面积为 24；（3）假设存在点 P 使得ABP 的面积等于 15，AB6，点 C 纵坐标为 5 或5，点 P 纵坐标为 5，x22x85，解得：x1+或 1，存在点 P 坐标为（1+，5）、（1，5）；点 P 纵坐标为5，x22x85，解得：x3 或1，存在点 P 坐标为（3，5）、（1，5）；综上，存在点 P 使得ABP 的面积等于 15，点 P 坐标为（3，5）、（1，5）、（1+，5）、（1，5）3（1）证明：b24（b1）b24b+4（b2）20，抛物线与 x 轴必有交点；（2）解：yx2+bx+b1（x+b）2b2+b1，抛物线的顶点坐标为（b，b2+b1），设 xb，yb2+b1，b2x，y（2x）22x1，即 yx22x1，抛物线顶点所在的函数解析式为 yx22x1；（3）直线 ykx1（k0）经过抛物线的顶点，b2+b1bk1，b2k+4，抛物线的顶点坐标为（k2，k22k1），抛物线解析式为 yx2+（2k+4）x+2k+3，解方程 kx1x2+（2k+4）x+2k+3 得 x12，x2k2，A 点坐标为（2，2k1），OA，22+（2k1）25，解得 k10（舍去），k21，即 k 的值为1 4解：（1）把 x0 代 yx2 得 y2，C（0，2）把 y0 代 yx2 得 x4，B（4，0），设抛物线的解析式为 y（x4）（xm），将 C（0，2）代入得：2m2，解得：m1，A（1，0）抛物线的解析式 y（x4）（x+1）x2x2；（2）如图所示：过点 D 作 DFx 轴，交 BC 与点 F 设 D（x，x2x2），则 F（x，x2），DF（x2）（x2x2）x2+2x SBCDOBDF4（x2+2x）x2+4x（x24x+44）（x2）2+4 当 x2 时，S 有最大值，最大值为 4 5解：如图，过点 P 作 PKy 轴交 BC 于点 K，令 x0，则 yx22x+33，C（0，3），令 y0，则x22x+30，解得 x3 或 x1，A（1，0），B（3，0），设直线 BC 解析式为 ykx+b，将 B（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，直线 BC 解析式为 yx+3，设 P（t，t22t+3），则 K（t，t+3），PKt22t+3（t+3）t23t，SPBCSPBK+SPCKPK（t+3）+PK（0t）PK（t23t），SABCABOC436，S四边形PBACSPBC+SABC（t23t）+6（t+）2+，0，当 t时，四边形 PBAC 的面积最大，此时点 P 的坐标为（，）6解：（1）由表格可知，x1 和 x3 时的函数值相同，都是 0，对称轴为直线 x2，当 x4 和 x0 时的函数值相等，则 m3，顶点为（2，1），设抛物线的解析式为 ya（x2）21，把（0，3）代入得，34a1，则 a1，抛物线解析式为 yx24x+3，即该二次函数图象的开口方向向上，故答案为：yx24x+3，上，（2，1），3；（2）由题意可得，点 B 的坐标为（1，0），点 A 的坐标为（2，1），点 C 的坐标为（4，3），设直线 AC 的函数解析式为 ykx+b，解得，所以直线 AC 的函数解析式为 y2x5，当 y0 时，02x5，得 x2.5，则直线 AC 与 x 轴的交点为（2.5，0），故ABC 的面积是：（2.51）3+（2.51）13 7解：（1）令 y0，则 x4x+30，解得：x1 或 3，抛物线与 x 轴交点坐标为（1，0），（3，0），令 x0，则 y3，抛物线与 y 轴交点坐标为（0，3），yx4x+3（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1）故答案为：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，1）；（2）在给出的平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象如下：（3）由图象可知：当 0 x3 时，抛物线上最高点为（0，3），最低点为（2，1），此时函数 y 的最大值为 3，最小值为1，y 的取值范围是：1y3，故答案为：1y3 8解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过（1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，解得：b2，cm2+2m+2；（2）yx2+2x+m2+2m+2（x+1）2+（m+1）2，抛物线 yx2+bx+c 的顶点为（1，（m+1）2），（m+1）20，10，抛物线 yx2+bx+c 在 x 轴上火 x 轴的上方，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴有公共点，（m+1）20，m1（3）yx2+2x+m2+2m+2（x+1）2+（m+1）2，抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1 当 a2 时，点（a，y1）在点（a+2，y2）的上方，此时，y1y2，y1y20；当 a2 时，点（a，y1）与点（a+2，y2）关于抛物线的对称轴 x1 对称，此时，y1y2，y1y20；当 a2 时，点（a，y1）在点（a+2，y2）的下方，此时 y1y2，y1y20 综上，当 a2 时，y1y20，当 a2 时，y1y20，当 a2 时，y1y20 9解：（1）把 A（3，0）代入 mx22mx30 得 9m6m30，解得 m1，抛物线解析式为 yx22x3，当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23，所以 B 点坐标为（1，0）；（2）yx22x3（x1）24，则抛物线的顶点坐标为（1，4），列表如下：x.1 0 1 2 3.y.0 3 4 3 0.描点、连线，（3）由函数图象可知，当 y0 时，x1 或 x3，即 x 的取值范围是 x1 或 x3 10解：（1）由图象可知：该抛物线经过点（1，0），（2，0），故设二次函数解析式为 ya（x+1）（x2），把（0，2）代入，得 a（0+1）（02）2 解得 a1，抛物线的解析式为 y（x+1）（x2）或 yx2+x+2；（2）由图象可知：抛物线位于 x 轴下方的有两部分，对应的 y0，此时 x1 或 x2，故答案为：x1 或 x2；（3）由 yx2+x+2 知，y（x）2+故该抛物线的顶点坐标是（，）所以当1x1 时，y 的取值范围为 0y 11解：（1）令 y0，得x22x+30，解得 x3 或 x1，令 x0，得 y3，A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）；（2）答：存在；抛物线 L 关于 y 轴对称，得到抛物线 L，抛物线 L解析式：yx2+2x+3，SABPSBCP，BPAC，设直线 AC 的解析式：ykx+b，把 A（3，0）、C（0，3）代入 ykx+b，得 b3，3k+30，解得 k1，直线 AC 的解析式：yx+3，BPAC，设直线 BP 的解析式：yx+c，把 B（1，0）代入 yx+c，得 1+c0，解得 c1，直线 BP 的解析式：yx1，把 yx1 代入 yx2+2x+3，得 x1x2+2x+3，解得 x，在抛物线 L上存在点 P，使得 SABPSBCP；点 P 的横坐标为或 12解：（1）物线 ya（xh）2（a0）与 x 轴的交点为（1，0），h1，该抛物线对应的函数关系式：ya（x1）2，再把（0，2）代入 ya（x1）2，得 a2，该抛物线对应的函数关系式：y2（x1）2；（2）顶点在原点，该抛物线对应的函数关系式：y2x2，把函数图像向上平移 2 个单位，y2（x1）2+2；该抛物线平移后经过原点对应的函数关系式：y2x2，y2（x1）2+2 13解：（1）把（0，3a）代入 ya（xm）（x+m2）得3aam（m2），整理得 m22m30，解得 m11，m23 m 的值为1 或 3（2）若抛物线与 x 轴只有 1 个交点，则（xm）（x+m2），即 m2m，解得 m1，ya（x1）2，把（2，1）代入 ya（x1）2得1a，a1，y（x1）2（3）ya（xm）（x+m2）（a0）抛物线开口向下，对称轴为直线 x1，x1 时，函数取最大值，x1 时 y 随 x 增大而增大，抛物线经过点（1，4），（4，2），整理得，a48a2，解得 a 14解：（1）把点 A、B、D 的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：yx22x+3，函数的对称轴为：x1，则顶点 C 的坐标为（1，4）；（2）过点 C 作 CEAD 交抛物线于点 E，交 y 轴于点 R，则ADE 与ACD 面积相等，直线 AD 过点 D，则其表达式为：ymx+3，将点 A 的坐标代入上式得：03m+3，解得：m1，则直线 AD 的表达式为：yx+3，CEAD，则直线 CE 表达式的 k 值为 1，设直线 CE 的表达式为：yx+n，将点 C 的坐标代入上式得：41+n，解得：n5，则直线 CE 的表达式为：yx+5，则点 R 的坐标为（0，5），联立并解得：x1 或2（x1 为点 C 的横坐标），即点 E 的坐标为（2，3）；在 y 轴取一点 H，使 DRDH2，过点 H作直线 EEAD，则ADE、ADE与ACD 面积相等，同理可得直线 EE的表达式为：yx+1，联立并解得：x，则点 E、E的坐标分别为（，），（），点 E 的坐标为：（2，3）或（，）或（，）；15解：（1）二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点（0，5），（1，8），（1，0），c5，把（1，8），（1，0）分别代入二次函数，得，解得 a1，b4，抛物线的解析式：yx2+4x+5；（2）过点 M 作 MEx 轴，交 BC 于 D，如图所示：yx2+4x+5（x2）2+9；M（2，9），B（5，0），设直线 BC：ykx+b，把 B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得，解得 k1，直线 BC：yx+5，MEx 轴，MDy 轴，把 x2 代入 yx+5，得 y3，D（2，3），MD6，MCB 的面积 5 15 16（1）证明：（2k+1）24（k2+k）10，无论 k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由 x2（2k+1）x+k2+k0，解得：x1k，x2k+1，A（k，0），B（k+1，0），OA+OB5，|k|+|k+1|5，当 k1 时，|k|+|k+1|5 变为k（k+1）5，解得：k3；当1k0 时，|k|+|k+1|5 变为k+k+15，此方程无解；当 k0 时，|k|+|k+1|5 变为 k+k+15，解得：k2 综上所述，k 的值为3 或 k2 17解：（1）令 y10，则（xa）（xa4）0，解得：xa 或 xa+4，点 A 在点 B 的左侧，A（a，0），B（a+4，0）AB（a+4）a4；抛物线 y1的对称轴为直线；（2）y1（xa）（xa4）（xa2）24，抛物线 y1的顶点为（a+2，4），将抛物线 y1向右平移所得的抛物线的顶点的纵坐标不变且相互平行，直线 l 与所有抛物线都有一个交点，所有的抛物线的顶点的纵坐标均为4，直线 l 与所有抛物线的交点个数为 n 个，所有抛物线的顶点所在直线是 y4，故答案为：n，y4；由抛物线 y2与 l 交于点 Q（2，0），得 a+12，a3，点 P（2，3），点 R（2，n24）RP（n24）+3n21，四边形 PARB 的面积ABPR70，即：，解得：n16，n26（不合题意，舍去），n 的值为 6 18（1）解：将点 A（1，0），B（4，0）代入函数解析式得，解得：，抛物线的解析式为 yx2+x+2；（2）对称轴为 x，D（，0），OD，x0 时，y2，C（0，2），OC2，过点 G 作 HGy 轴于 H，则CHGCOD90，GCH+OCD90，OCD+ODC90，GCHODC，HGCCOD，设点 G（x，x2+x+2），则 GHx，CHGHx，x+2x2+x+2，解得：x0（舍）或 x，点 G（，），GH，HC，四边形 CDEF 是矩形，CGDF，点 F 的横坐标为+3，点 E 的横坐标为 3，点 E 的坐标为（3，2）19解：（1）A（3，n），B（2，n）关于对称轴对称，解得 b1（2）b1，yx2+x+c（x+）2+c，抛物线顶点为（，c），开口向上，当 c0 时，c，将 x1 代入 yx2+x+c 得 yc，将 x1 代入 yx2+x+c 得 y2+c，解得2c0 综上所述，c或2c0 20解：（1）对称轴为直线 x1，1，抛物线 yax2+bx+3 与 y 轴交于 C 点，令 x0，则 y3，C（0，3），抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A 点，A 点的坐标为（1，0），a+b+c0，则，解得：，抛物线的解析式为 yx22x+3；当一元二次方程 ax2+bx+3c 有一正根和一负根时，即为抛物线 yx22x+3 的图象与直线 yc 的交点在 y 轴两侧，如图所示：由图象可知，c 的取值范围是 c3，故答案为：c3；（2）yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的顶点坐标为（1，4），B 点的坐标为（3，0），当 x1 时，y0，当 mx1 时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，即 404，m 的取值范围3m1