2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题(B)(解析版).pdf

第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题（B）一、单选题 1已知 2f xx，则 1f（）A2 B1 C12 D0【答案】A【分析】由基本初等函数求导公式求出 fx即可求解.【详解】解：因为 2f xx，所以 2fxx，所以 12f，故选：A.2若 A230n，则n（）A4 B5 C6 D7【答案】C【分析】根据排列数的计算公式，列出方程，即可求解.【详解】由排列数的计算公式，可得22(1)nn nnn，且2,Nnn，因为230n，即2300nn，解得6n 或5n （舍去）.故选：C.3若函数lnyxax在区间1,内单调递增，则 a的取值范围是（）A,2 B,1 C2,D1,【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可.【详解】由ln1ayxaxyx，因为函数lnyxax在区间1,内单调递增，所以有0y在1,上恒成立，即10ax在1,上恒成立，因为1,x，所以由100axaaxx，因为1,x，所以(,1x ，于是有1a，故选：D 第 2 页 共 13 页 4将 3 张不同的奥运会门票分给 6 名同学中的 3 人，每人 1 张，则不同分法的种数是（）A240 B120 C60 D40【答案】B【分析】由排列的定义即可求解.【详解】解：因为将 3 张不同的奥运会门票分给 6 名同学中的 3 人，每人 1 张，所以不同分法的种数为36A654120，故选：B.5把一个周长为 12 的长方形围成一个圆柱，当该圆柱的体积最大时圆柱高为（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】设出底面半径，表示高，得出体积，利用导数求出体积最大值即可得出.【详解】设圆柱的底面半径为r，则高为62 r，可得30r，则该圆柱的体积22326226Vrrrr，则2261262Vrrrr ，令0V，解得20r，令0V，解得23r，所以当2r时，圆柱体积取得最大，此时圆柱的高为2622.故选：B.6 若1011011131xxaa xa x，xR，则2111211333aaa 的值为（）A3 B3 C93 D931【答案】A【分析】根据已知条件，令3x 和0 x 即可求解.【详解】解：因为1011011131xxaa xa x，xR，所以令3x，可得211012113330aaaa，又令0 x，可得10030103a，所以211102113333aaaa ，第 3 页 共 13 页 故选：A.7已知21()cos4f xxx，()fx为()f x的导函数，则()fx的图像是（）A B C D【答案】A【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判断导函数的奇偶性，及特殊点的函数值，如()2f即可得出答案.【详解】解：由题意得，1()sin2fxxx，11()()sin()sin()22fxxxxxfx，函数()fx为奇函数，即函数的图像关于原点对称，当2x时，1()1024f，当2x 时，()0fx恒成立.故选：A 8如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（）第 4 页 共 13 页 A36 B48 C72 D144【答案】C【分析】分使用了 3 种颜色和使用了 4 种颜色求解.【详解】按使用颜色的种类分类，第一类：使用了 3 种颜色，则 1,3 同色且 2,5 同色，则共3424A 种，第二类：使用了 4 种颜色，则 1,3 同色 2,5 不同色或 1,3 不同色 2,5 同色，则共142448C A 种，所以不同的着色方案种数为244872种.故选：C.二、多选题 9如图是()yf x的导函数()fx的图象，则下列判断正确的是（）A()f x在区间 2,1上是增函数 B1x 是()f x的极小值点 C()f x在区间 1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数 D1x 是()f x的极大值点【答案】BC【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断【详解】在(2,1)上()0fx，()f x递减，A 错；(1)0f ，且当21x 时，()0fx，12x 时，()0fx，所以1x 是()f x的极小值点，B 正确；在(1,2)上，()0fx，()f x递增，在(2,4)上()0fx，()f x递减，C 正确；()f x在区间 1,2上是增函数，1x 不是()f x的极大值点，D 错 故选：BC【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键 10若函数 f（x）的导函数在定义域内单调递增，则 f（x）的解析式可以是（）A 2sinf xxx B 2f xx 第 5 页 共 13 页 C 1 cosf xx D 2lnf xxx【答案】AB【分析】利用导数的运算性质，结合导数的性质逐一判断即可.【详解】A：由 2sin2cosf xxxfxxx，令 2cosg xfxxx，因为 2sin0gxx，所以函数 fx是实数集上的增函数，符合题意；B：由 22f xxfxx，因为一次函数 2fxx是实数集上的增函数，所以符合题意；C：由 1 cossinf xxfxx ，因为函数 sinfxx 是周期函数，所以函数 sinfxx 不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D：由 21ln2fxxxfxxx，令 12g xfxxx，则 2221212xgxxx，当2(0,)2x时，0,gxg x单调递减，因此不符合题意，故选：AB 11设52501252xaa xa xa x，则（）A024122aaa B50243iia C24131aaaa D501iia【答案】ABD【分析】利用赋值法得出等式，利用这些等式逐一判断即可.【详解】在52501252xaa xa xa x中，令1x，有501252 11(1)aaaa，所以选项 D 正确；令1x，有55012452 13243(2)aaaaa，二项式52x的通项公式为：515C 2()rrrrTx，所以50123450iiaaaaaaa，因此选项 B 正确；(1)(2)得，02412431222aaa，因此选项 A 正确；因为234155241413231355C 2+C 234C 2(1)C 2(1)aaaa，所以选项 C 不正确，故选：ABD 第 6 页 共 13 页 12已知函数 1xf xxeax，则（）A当1a 时，f（x）的极小值为 f（0）B当1a 时，函数 f（x）有一个极值点 C当0a 时，零点个数为 1 个 D当0a 时，零点个数为 2 个【答案】ACD【分析】求得导数(1)xfxxea，分别令1a 和1a，结合函数的单调性和极值，可判定 A 正确；B 不正确，令 0f x，转化为函数ya与 1xh xex的交点横坐标，画出函数ya与 1xh xex的图象，结合图象可判断 C、D 正确.【详解】由题意，函数 1xf xxeax，可得(1)xfxxea 当1a 时，(1)1xfxxe，且 00f，当0 x 时，0fx，f x单调递减；当0 x 时，0fx，f x单调递增，所以当0 x 时，函数 f x取得极小值 0f，所以 A 正确；当1a 时，(1)1xfxxe，令(1)1xg xxe，可得(2)xgxxe，当2x时，0gx，f x单调递减；当2x 时，0gx，f x单调递增，又由 2210ge ，所以 0g x，即 0fx，所以 f x单调递增，所以 f x没有极值点，所以 B 错误；由函数 1xf xxeax，则 01f，所以0不是 f x的零点，令 0f x，即10 xxeax，所以1xaex，所以函数 f x的零点，即为函数ya与 1xh xex的交点横坐标，又由 210 xh xex，可得函数 h x单调递增，当0 x 时，0h x；当0 x 时，h x；当x 时，h x ；第 7 页 共 13 页 在直角坐标系中画出函数ya与 1xh xex的图象，结合图象得：当0a 时，函数 f x有一个零点，这个零点为正数；当0a 时，函数 f x有两个零点，其中一个是正数一个负数.故选：ACD.三、填空题 130191010101010CCCC_.【答案】1024102【分析】利用二项式系数和公式进行求解即可.【详解】由二项式系数和公式知：019101010101010CCCC21024，故答案为：1024 14函数43()2f xxx的图象在点(1,(1)f处的切线方程为_.【答案】210 xy 【解析】利用导数求出切线的斜率，求出切点，即得解.【详解】由题得32()46fxxx，所以切线的斜率为(1)462kf ，因为(1)1f，所以切点为(1.1)，所以切线方程为12(1)yx ，即210 xy.故答案为：210 xy 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.159899被 100 整除所得余数为_.【答案】1【分析】利用二项式定理，将9898991001展开即可求解.第 8 页 共 13 页【详解】解：因为 9801298098197296989898991001C 1001C 1001C 1001 9798979809898C 1001C 1001 ，又 009898C 1001，119798C 1001，229698C 1001，979798C 1001 都能被 100整除，所以9899被 100 整除所得余数为 9898098C 10011，故答案为：1.16已知函数 sinxxxf，则满足不等式1ln2ln10fxfx的 x的取值范围是_.【答案】10,e【分析】由奇偶性的定义可得 f x为奇函数，求出导函数 fx可判断 f x在 R 上单调递增，从而根据奇偶性和单调性即可求解不等式.【详解】解：由题意，函数 sinxxxf的定义域为 R，因为 sinsinfxxxxxf x ，所以函数 f x为奇函数，又 1 cos0fxx，所以函数 f x在 R 上单调递增，所以不等式1ln2ln10fxfx，即ln2ln12ln1fxfxfx，所以ln2ln1xx，即ln1x ，解得10ex，所以满足不等式1ln2ln10fxfx的 x 的取值范围是10,e，故答案为：10,e.四、解答题 17已知函数 exf xx.(1)求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；(2)证明：f（x）1.【答案】(1)e 1yx(2)证明见解析 第 9 页 共 13 页【分析】（1）求出函数在1x 处导数，即切线斜率，求出 1f，即可得出切线方程；（2）求出函数的单调性，求出最小值即可得出.【详解】(1)因为 e1xfx，所以切线斜率为 1e 1f，又 1e 1f，所以切线方程为 e 1e 11yx，即e 1yx；(2)由 0fx解得0 x，由 0fx解得0 x，所以 f x在,0单调递减，在0,单调递增，所以 01f xf.18在12nxx的展开式中，第三项系数与第二项的系数的比值为74.(1)求 n的值；(2)该展开式中是否有常数项，若有，请求出；若没有，请说明理由.【答案】(1)8n；(2)358.【分析】利用二项式的通项公式结合已知对（1）（2）进行求解即可.【详解】(1)二项式12nxx的通项公式为：2111C()C()22rn rrrnrrrnnTxxx，因为第三项系数与第二项的系数的比值为74，所以有22111(1)1C()7722481144C()()22nnn nnn ，或0n 舍去，即8n；(2)由（1）可知：该二项式的通项公式为：8 2181C()2rrrrTx，令8204rr，所以存在常数项，为448135C()28.19设函数 3221f xxaxbx的导函数为 fx，若函数 fx的图象关于直线1x 对称，且 10f.(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f x的单调区间.第 10 页 共 13 页【答案】(1)6a,18b .(2)函数 f x的单调增区间为,3和1,，单调减区间为3,1.【分析】（1）利用导数的运算求得函数 f x的导函数 262fxxaxb，利用对称性得到a的值，利用特殊值得到b的值；（2）根据（1）的结论，得到 6(1)(1)fxxx，分析导数的正负区间，进而得到函数的单调区间.【详解】(1)3221f xxaxbx，262fxxaxb，函数 fx的图象关于直线1x 对称，则6a,10f,6 120b，18b .(2)261218631fxxxxx,令 0fx，解得123,1xx,列表如下：x,3 3 3,1 1 1,fx 0-0 f x 单调递增 单调递减 单调递增 函数 f x的单调增区间为,3和1,，单调减区间为3,1.20已知函数 1e1xxf xx.(1)求曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；(2)判断函数 f（x）的零点的个数，并说明理由.【答案】(1)320 xy；(2)2 个零点，理由见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可.【详解】(1)由 212ee031(1)xxxfxfxfxx，而 02f，所以该函数在点（0，f（0）处的切线方程为：第 11 页 共 13 页 23(0)320yxxy；(2)函数()f x的定义域为(,1)(1,)，由（1）可知：22e(1)xfxx，当(,1)x 时，0,()fxf x单调递增，因为22111(2)(0)(e)22()03e3ff，所以函数在(,1)x 时有唯一零点；当(1,)x时，0,()fxf x单调递增，因为5245(2)()(e3)(e9)04ff，所以函数在(,1)x 时有唯一零点，所以函数 f（x）有2个零点.21某厂家对该厂生产的一款产品进行市场调研，发现该产品每日的销售量 f（x）（单位：千克）与销售价格 x（元/千克）近似满足关系式 21085afxxx，其中 5x8，a 为常数.已知销售价格为 7 元/千克时，每日可售出该产品 15 千克.(1)求函数 f（x）的解析式；(2)若该产品的成本为 5 元/千克，试确定销售价格 x的值，使该商场每日销售该产品所获得的利润最大.【答案】(1)210108(58)5fxxxx；(2)当6x 时，该商场每日销售该产品所获得的利润最大.【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）结合（1）的结论，利用导数的性质进行求解即可.【详解】(1)因为销售价格为 7 元/千克时，每日可售出该产品 15 千克，所以有 271510 78151075afa，因此函数 f（x）的解析式为 210108(58)5fxxxx；(2)由（1）可知：210108(58)5fxxxx，设该商场每日销售该产品所获得的利润关于销售价格 x的函数为()g x，则有 2210()(5)()(5)1081010(5)(8)5g xxf xxxxxx，所以可得：2()10(8)2(8)(5)10(8)(8210)30(6)(8)g xxxxxxxxx，当56x时，()0,()g xg x单调递增，当68x时，()0,()g xg x单调递减，所以当6x 时，函数()g x有最大值，最大值为2(6)1010 1(2)50g ，即当6x 时，该商场每日销售该产品所获得的利润最大.第 12 页 共 13 页 22设函数 lnf xx.(1)证明不等式：2111xfxxx；(2)3232,g xf xxaxax a R，若12,x x为函数 g（x）的两个不等于 1 的极值点，设 11,P x g x，22,Q x g x，记直线 PQ 的斜率为 k，求证：122kxx.【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据函数的定义域对所证明的不等式进行变形，通过构造函数，利用导数的性质，结合二次求导法进行证明即可；（2）对函数 g（x）进行求导，根据导数的性质和极值点的定义，结合一元二次方程根与系数关系，通过构造新函数，结合导数的性质进行证明即可.【详解】(1)因为1x，所以要证明 211xf xx成立，只需要证明(1)ln21xxx成立，即证明(1)ln210 xxx成立.设()(1)ln21(1)h xxxxx，1()ln1h xxx，设1()()ln1t xh xxx，22111()xt xxxx，因为1x，所以()0,()t xt x单调递增，所以有()(1)0t xt，即()0,()h xh x单调递增，所以有()(1)0h xh，即(1)ln210 xxx，所以有2121(1)ln21ln()11xxxxxxf xxx；(2)3232323ln2g xf xxaxaxxxaxax ，223(1)3(23)3()322xxaxg xxaxaxx，令()0g x，因为12,x x为函数 g（x）的两个不等于 1 的极值点，所以为1212,(,1)x xx x 是方程23(23)30 xax不相等的两个正实根，所以有：21212(23)4 3 3023903210aaxxax x ，不妨设11tx，则21xt，1223123(1)3axxatt ，由直线斜率公式可得：第 13 页 共 13 页 323211112222123ln23ln2xxaxaxxxaxaxkxx 221212112212123(lnln)()()2 xxxxxx xxa xxakxx 2212112212123(lnln)()2xxkxx xxa xxaxx，211316ln()()2122tktttttt，所以12323317736ln222222)1(kxxtttttttt，设3223317713()6ln(1)222222n ttttt tttt，321111()9()2()16()102n tttttttt，设1122mtttt，设32()921610s mmmm，2()27416s mmm，函数()s m对称轴为：227m，当2m时，函数()s m单调递减，故有()(2)84()0s mss m，所以函数()s m单调递减，有()(2)42()0()0s mss mn t，所以函数()n t是减函数，故()(1)0n tn，而10tt 所以1202)(kxx，所以122kxx.【点睛】关键点睛：利用换元法，通过构造新函数，结合导数的性质是解题的关键.