广东省汕尾市2021-2022学年高二上学期期末考试数学(含答案).pdf

汕尾市2021-2022学年度第一学期全市高中二年级教学质量监测 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合240Ax x，1Bx x，则AB（）A2,1 B2,1 C1,2 D1,2 2中心在原点的双曲线 C 的右焦点为2,0，实轴长为 2，则双曲线 C 的方程为（）A2213xy B2213yx C2213xy D2213yx 3圆224xy与圆22:219Cxy的位置关系是（）A内切 B相交 C外切 D相离 4设nS为等差数列 na的前 n 项和，34nSa，72a ，则9a（）A6 B4 C2 D2 5下列函数中，以为最小正周期，且在,2上单调递减的为（）Atanyx Bsinyx Ccosyx Dcos2yx 6函数 1ln2xfxx，若实数0 x是函数 f x的零点，且10 xx，则（）A 10f x B 10f x C 10f x D 1f x无法确定 7 在 递 增 等 比 数 列 na中，nS为 其 前n项 和 已 知134naa，32*642,Nna ann，且42nS，则数列 na的公比为（）A3 B4 C5 D6 8已知 F 是双曲线2222:10,0 xyCabab的左焦点，A 为顶点，P 是双曲线 C 上的点，PFx轴，若14PFAF，则双曲线 C 的离心率为（）A34 B43 C54 D5 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符得5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知直线:10l xmym，则下述正确的是（）A直线 l 可能过点（2，1）B直线 l 的斜率有可能不存在 C直线 l 的斜率可以等于 0 D若直线 l 在 x 轴和 y 轴截距相等，则1m 10已知曲线 C 的方程为22126xykk（kR，且2k，6k），则下列结论正确的是（）A当4k 时，曲线 C 为圆 B若曲线 C 为椭圆，且焦距为2 2，则5k C当2k 或6k 时，曲线 C 为双曲线 D当曲线 C 为双曲线时，焦距等于 4 11已知数列 na的前 n 项和为nS，2a与6a是方程28120 xx的两根，则下列说法正确的是（）A若 na是等差数列，则44a B若 na是等比数列，则42 3a C若 na是递减等差数列，则当nS取得最大值时，7n 或 8 D若n是递增等差数列，216nSnt对*Nn恒成立，则8t 12如图，棱长均为 2 的平行六面体1111ABCDABC D中，1AA 平面 ABCD，60BAD，E，F 分别是线段 BD 和线段1AD上的动点，且满足AF，1BEBD，则（）A当13时，EFBD B当12时，直线 EF 与直线1CC所成角的大小为4 C当12时，若1,EFxAByADzAAx y zR，则1xyz D当0,1时，三棱锥FABE体积的最大值为36 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13复数1 iz （其中 i 为虚数单位）的共轭复数z _ 14在空间直角坐标系Oxyz中，向量1,3,2v 为平面 ABC 的一个法向量，其中1,1,At，3,1,4B，则向量AB的坐标为_ 15瑞士数学家欧拉（Euler）1765 年在所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点4,0A，0,4B，2,0C，则ABC欧拉线的方程为_ 16已知抛物线2:20C ypx p的焦点为 F，A 为抛物线 C 上一点以 F 为圆心，FA为半径的圆交抛物线 C 的准线于 B，D 两点，A，F，B 三点共线，且4AF，则p _ 四、解答题：本题共 16 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）给出以下三个条件：515S；1a，3a，9a成等比数列；623aa请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分 已知公差不为 0 的等差数列 na的前 n 项和为nS，11S，_（1）求数列 na的通项公式；（2）若3nnb，令nnnca b，求数列 nc的前 n 项和nT 18（12 分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间 现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了 100 名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为0,10，10,20，20,30，30,40，10,50，50,60六组，其频率分布直方图如下图：（1）求 a 的值，并估计这 100 名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；（2）现用分层抽样的方法从第三组20,30和第五组40,50中随机抽取 6 名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取 2 名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的 2名学生中，第三组和第五组各有 1 名的概率 19（12 分）已知圆 C 过两点2,0A，2,4B，且圆心 C 在直线240 xy上（1）求圆 C 的方程；（2）过点6,4 3P作圆 C 的切线，求切线方程 20（12 分）如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E 为 AD 中点（1）求二面角1DBDE的大小；（2）探究线段1BC上是否存在点 F，使得DF 平面1BD E？若存在，确定点 F 的位置；若不存在，说明理由 21（12 分）如图，五边形 ABCDE 为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出 AC，AD 两条服务通道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED 为赛道 现已知，23ABCAED，4CADBAC，2 3BC 千米，34CD 千米（1）求服务通道 AD 的长（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道 AED（即AEED）的长度最大，并求最大值 22（12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为32，过左焦点1F的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，2ABF的周长为 8（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）如图，1B，2B是椭圆 C 的短轴端点，P 是椭圆 C 上异于点1B，2B的动点，点 Q 满足11QBPB，22QBPB，求证12PB B与12QB B的面积之比为定值 汕尾市 20212022 学年度第一学期全市高中二年级教学质量监测 参考答案及评分标准数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1 2 3 4 5 6 7 8 C D B A B A B C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。（全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分。9 10 11 12 BD AC BC ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。131 i 142,2,4 1520 xy 162 15 题，直线方程形式要求为一般式或斜截式 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 17（10 分）解：（1）设数列 na的公差为 d 选择，由5151015Sad，又111Sa，则1d，所以nan 选择，由1a，3a，9a成等比数列，得3192a aa，即21 812dd，解得1d，或0d（舍去）所以nan 选择，由623aa，得1 53 1dd，解得1d，所以nan（2）由题意知，3nncn 2311 32 33 3133nnnTnn 234131 32 33 3133nnnTnn 得 2341113 1 3312333333331 322nnnnnnTnnn 1313424nnnT，即121 3344nnnT 18（12 分）解：（1）根据频率分布直方图可得：0.0040.0120.0360.0150.003101a，解得0.03a 设中位数为 x，由题意得 0.004 100.012 100.03 10300.0360.5x，解得31.1x 所以这 100 名学生完成家庭作业时间的中位数约为 31.1 分钟（2）有频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为 2:1 所以分层抽样抽出的 6 人中，第三组和第五组的人数分别为 4 人和 2 人 第三组的 4 名学生记为 A，B，C，D，第五组的 2 名学生记为 a，b 从 6 名学生中抽取两名的样本空间,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db Dc ab，共 15 个样本点 记事件M“2 名中学生，第三组和第五组个 1 名”则,MAa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db，共有 8 个样本点 这 2 名学生中，两组各有 1 名的概率815P M 19（12 分）解：（1）因为圆 C 过两点2,0A，2,4B，设 AB 的中点为 M，则0,2M，因为40122ABk，所以 AB 的中垂线方程为20yx，即2yx 又因为圆心在直线240 xy上，联立2240yxxy 解得20 xy，圆心2,0C，半径4r 故圆的方程为224120 xyx（或标准形式22216xy）（2）当过点 P 的切线的斜率不存在时，此时直线6x 与圆 C 相切 当过点 P 的切线斜率 k 存在时 切线方程为4 36yk x即4 360kxyk（*）由圆心 C 到切线的距离24 3441kk，可得33k 将33k 代入（*），得切线方程为360 xy 综上，所求切线方程为6x 或360 xy 20（12 分）解：如图，以 D 为原点，DA，DC，1DD所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则2,0,0A，2,2,0B，0,2,0C，0,0,0D，1,0,0E，12,2,2B，10,0,2D （1）11,0,2D E，1,2,0EB 设平面1BD E的法向量,nx y z 100n D En EB，即2020 xzxy 令2x，则1y ，1z 2,1,1n 连接 AC，ACBD，1D DAC，1D DBDD AC 平面1BD D2,2,0AC 为平面1BD D的一个法向量 63cos,268AC nAC NAC n 二面角1DBDE为锐二面角 二面角1DBDE的大小为6（2）假设在线段1BC上存在点 F，使得DF 平面1BD E 设10,1CFCB，12,0,2CB 10,2,02,0,22,2,2DFDCCFDCCB DF 平面1BD EDFn，即0DF n 2,2,22,1,10，即620解得10,13 在线段1BC上存在点 F，使得DF 平面1BD E，此时点 F 为线段1BC上靠近点 C 的三等分点（备注：学生用其他方法建立空间直角坐标系解题，参照评分标准酌情给分）第一问 解法二 取1BD中点 G，连接 EG，易知，15DEBE，12 3BD 1EGBD 过 E 作EOBD，垂足为 O，连接 OG，又1DDEO，1DDBDD EO 平面1DD B1EOBD 又EOEGE1BD 平面 EOG 1OGBDEGO为二面角1DBDE的平面角 在等腰直角DEO中，22EODO 在1RtD EG中，22112EGD EDG 在RtEOG中，1sin2EOEGOEG 又EGO为锐角，6EGO 所以二面角1DBDE的大小为6 21（12 分）解：（1）在ABC中，由正弦定理得：32 3sin23 2sin22BCABCACBAC 在ACD中，由余弦定理2222cosCDADACAC ADCAD得 234182 3 2cos4ADAD 即26160ADAD 解得8AD（负值舍去）所以服务通道 AD 的长为 8 千米（2）方法一：在ADE中，由余弦定理得：22222cos3ADAEEDAE DE，即222ADAEEDAE ED264AEEDAE AD 24AEEDAE AD23644AEED 22563AEED16 33AEED（当且仅当8 33AEED时取等号）AEDE时，折线赛道AED AEED的长度最大，最大值为16 33千米 方法二：在ADE中，设EAD，0,3 816 3sinsinsin332AEDEADAED，16 3sin3AE，16 3sin3DE 16 3sinsin3AEDE 16 3sinsin3316 331sincossin322 16 31316 3sincossin32233 032333 当32，即6时，sin3取得最大值 1，此时6 16 38 3sin363AEDE时，折线赛道AED AEED的长度最大，最大值为16 33千米 22（12 分）解：（1）2ABF的周长为 848a，即2a 离心率32cea3c，221bac，椭圆 C 的标准方程为2214xy（2）方法一：设00,P x y，11,Q x y 则直线1PB斜率1001PBykx11QBPB 直线1QB斜率1001QBxky，直线1QB的方程为：0011xyxy 同理直线2QB的方程为：0011xyxy 联立上面两直线方程，消去 y，得20101yxx 00,P x y在椭圆2214xy上，220014xy，即222014xy 20200100144xyxxxx 1212014PB BQB BSxSx 所以12PB B与12QB B的面积之比为定值 4 方法二：设直线1PB，2PB的斜率分别为 k，k，点00,P x y，11,Q x y，则直线1PB的方程为1ykx 11QBPB，直线1QB的方程为11yxk 将1ykx代入2214xy，得221480kxkx P 是椭圆上异于点1B，2B的点02814kxk，又220014xy，即220014xy 2000200011114yyykkxxx ，即14kk 由22QBPB，得直线2QB的方程为41ykx 联立11,41,yxkykx 得12214kxk，121220128144214PB BQB BkSxkkSxk 所以12PB B与12QB B的面积之比为定值 4 高二 19 题（1）另解 1：设圆的方程为220 xyDxEyF，圆心坐标为,22DE 该圆圆心在直线240 xy上280DE 又2,0A，2,4B在圆上420DF 24200DEF 联立可得，4D ，0E，12F 圆的方程为224120 xyx 另解 2：设圆的方程为222xaybr，圆心坐标为,a b 该圆圆心在直线240 xy上240ab 又2,0A，2,4B在圆上2222abr 22224abr 联立可得，2a，0b，4r 圆的方程为22216xy