2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一上学期期中联考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 1设集合210Ax x，则（）AA B1A C 1A D 1,1A【答案】B【解析】根据属于的定义，结合子集的定义，进行判断即可【详解】集合 1,1A ，则A，选项 A 错误，1A，选项 B 正确；1A，1,1A，选项 C，D 错误 故选：B 2下列函数在0,上为增函数的是（）A 12fxx B 2xf x C 21fxx D f xx【答案】D【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.【详解】因为函数12yx在0,上为增函数，所以函数 12fxx 在上为减函数，因此选项 A 不正确；因为 12()2xxf x在0,上为减函数，所以选项 B 不正确；因为 21fxx在0,上为减函数，所以选项 C 不正确；当0,x时，f xxx，显然函数在0,上为增函数，所以选项 D 正确，故选：D 3“2022x”是“2202320220 xx”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D 第 2 页 共 14 页【分析】分别判断充分性和必要性即可.【详解】当2022x 时，2202320220 xx，不满足充分性；当2202320220 xx时，即120220 xx，解得12022x，不能推出2022x，不满足必要性；所以“2022x”是“2202320220 xx”的既不充分也不必要条件.故选：D.4下列四个式子中，y是x的函数的是（）A2yx B121yxx C22,0,0 xxyxx D0,1,xyx为有理数为实数【答案】C【分析】根据函数的定义，依次判断选项，即可求解.【详解】对于 A 选项，2yx，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A 项错误；对于 B 选项，121yxx，定义域为2010 xx无解，所以不是函数，B 项错误；对于 C 选项，22,0,0 xxyxx定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C 项正确；对于 D 选项，0,1,xyx为有理数为实数当1x 时，y有两个值 0，1 与之对应，所以不是函数，D 项错误 故选:C 5下列说法正确的是（）A当0时，yx的图象是一条直线 B幂函数的图象都经过点0,0，1,1 C幂函数的图象有可能出现在第四象限 D若幂函数yx在区间0,上单调递减，则0【答案】D【分析】根据幂函数的性质，结合零指数幂的性质逐一判断即可,第 3 页 共 14 页【详解】当0时，1yx此时要求0 x，所以yx的图象是一条直线是错误的，因此选项A 不正确；幂函数1yx的图象不经过点0,0，所以选项 B 不正确；当0 x 时，幂函数0yx，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，所以选项 C 不正确；当幂函数yx在区间0,上单调递减，则有0，所以选项 D 正确，故选：D 6设a，0,b，Aab，Bab，则A，B的大小关系是（）AAB BAB CAB DAB【答案】B【分析】平方后作差即可求解.【详解】因为Aab，Bab，所以22220ABabababab，所以22AB，又因为0,0AB，所以AB，故选：B.7函数411yx部分图象大致为（）A B C D【答案】C【分析】根据函数值在(0,1)上的符号可判断 BD 不正确；根据函数在(0,1)上的单调性可判断 A 不正确.第 4 页 共 14 页【详解】当01x时，0y，故 BD 不正确；当01x时，4101yx，且41yx为增函数，所以411yx为减函数，故 A 不正确，故选：C.8函数 f x是定义在 R 上的偶函数，且当0 x 时，f xx，则不等式 12f xf x的解集为（）A,1 B1,13 C1,0 D11,3【答案】D【分析】先根据函数的解析式可得 22,Rfxf xx，再结合偶函数的性质与单调性求解即可.【详解】因为 f x是定义在 R 上的偶函数，故当0 x 时，f xfxx.又当0 x 时，2222fxxxf x；当0 x 时，2222fxxxf x，故 22,Rfxf xx.故 12f xf x即 12f xfx，结合偶函数性质与 f xx的单调性可得12xx，即2212xx，3110 xx，解得11,3x.故选：D 二、多选题 9下列指数式与对数式互化正确的是（）A0e1与ln10 B2log 42与242 C2511log52 与121255 D133与3log 31【答案】ACD【分析】根据指对数的运算即可判断.【详解】根据任何不为 0 的数的 0 次方为 1，真数为 1，对数运算为 0，故 A 正确，224，2416，故 B 错误，第 5 页 共 14 页 1122212555，故 C 正确，133，故 D 正确.故选：ACD.10下列说法正确的是（）A任取xR，都有43xx B函数13xy的最大值为 1 C函数 1xf xa（0a 且1a）的图象经过定点0,2 D在同一坐标系中，函数3xy 与函数13xy的图象关于x轴对称【答案】BC【分析】A 选项：利用特殊值的思路，令0 x，即可得到 A 不成立；B 选项：根据函数13xy的单调性求最大值即可；C 选项：将0,2代入到 f x的解析式中验证即可；D 选项：求出函数3xy 图象关于x轴对称后的解析式即可判断 D 选项.【详解】A 选项：当0 x 时，00431，故 A 错；B 选项：函数1,01333,0 xxxxyx在,0上单调递增，0,上单调递减，所以0max113y，故 B 正确；C 选项：令0 x，则 02f，所以 f x的图象恒过0,2，故C 正确；D 选项：函数3xy 图象关于x轴对称后的解析式为133xxy，故 D 错.故选：BC.11不等式22xbxcxb对任意xR恒成立，则下列关系正确的是（）A2440bc B0b C1c D0bc【答案】ACD【分析】将题设不等式化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得0，再结合不等式的性质变形后判断 ACD 选项即可，对于 B，则举反例排除.第 6 页 共 14 页【详解】对于 A，将22xbxcxb整理为220 xbxcb，因为22xbxcxb对任意xR恒成立，所以0，即2240bcb，整理得2440bc，故 A 正确；对于 B，令1,2bc，则2124 2 11430 ，满足题意，故 B 错误；对于 C，由 A 知244cb，即21 14bc ，故 C 正确；对于 D，2211042bbbcb，故 D 正确.故选：ACD.12已知函数 1f xxx，则（）A f x是偶函数 B方程 3f x 有 4 个不同的解 C f x在0,1上单调递增 D f x在,1 上单调递减【答案】ABD【分析】A 选项，根据函数奇偶性判断；B 选项，换元法利用一元二次方程求出解，作出判断；利用对勾函数，函数奇偶性及复合函数单调性判断 CD 选项.【详解】因为函数()f x的定义域为(,0)(0,)，关于原点对称，且1()|fxxx1|()|xf xx，所以()f x是偶函数，A 正确；设1|3|xx，令|tx，则13tt，即2310tt，解得352t，当35|2x时，23573 522x ；当35|2x时，23573 522x ，所以方程()3f x 有 4 个不同的解，B 正确；令|tx，则1ytt 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，又知|tx在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，根据复合函数的单调性性质可知，()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，C 错误；由()f x是偶函数，知()f x在(1,0)上单调递增，在(,1)上单调递减，故 D 正确.故选：ABD.三、填空题 第 7 页 共 14 页 13命题“0 x，210 x”的否定是_.【答案】0,210 xx 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“0 x，210 x”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为0,210 xx ，故答案为：0,210 xx 14已知1ab，若0a 且0b，则ab的最大值为_.【答案】14#0.25【分析】根据12abab 求解即可.【详解】因为0a 且0b，12abab，当且仅当1ab时取等号，所以14ab，所以ab的最大值为14.故答案为：14.15已知函数 f x为奇函数，且在区间0,上是增函数，若 10f则不等式 0f xx的解集是_【答案】1,00,1【分析】利用条件可得当10 x 或1x 时，0f x，当1x或01x时，0f x，再利用符号法则即得.【详解】若 0f xx，则 f x与 x 异号或 00f xx即可，因为函数 f x为奇函数，且在区间0,上是增函数，且 10f，所以函数 f x在,0上也是增函数，且 10f 所以当10 x 或1x 时，0f x；当1x或01x时，0f x 所以由 f x与 x 异号或 00f xx，可得10 x 或01x 即 0f xx的解集是 1,00,1.故答案为：1,00,1.第 8 页 共 14 页 16当2x 时，函数14xya（0a，且1a）的图象恒在函数34yx的图象下方，则 a 的取值范围为_.【答案】10,2【解析】由题意，得当2x 时不等式1434xax恒成立，即1314xax，令 1xf xa，3()14g xx，分类讨论1a 和01a两种情况，并在在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于 a 的不等式，解不等式得解【详解】由题意，得当2x 时不等式1434xax恒成立，即1314xax，令 1xf xa，3()14g xx，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，当1a 时，如图所示，由图可知，x R，1314xax恒成立，故不满足题意；当01a时，如图所示，由图可知，要2x，1314xax恒成立，需 22fg，即2 13214a，解得12a，故102a 综上可知：a 的取值范围是10,2.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：分离参数 af x恒成立(maxaf x即可)或 af x恒成立（minaf x即可）；第 9 页 共 14 页 数形结合(yf x 图像在 yg x 上方即可)；讨论最值 min0f x或 max0f x恒成立.四、解答题 17已知集合1128xAx，10Bx xaxa，aR.（1）若1B，求实数 a 取值范围；（2）若“xB”是“xA”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）01a；（2）1,1.【解析】（1）将元素 1 代入集合 B 中的不等式中，解不等式求解即可（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【详解】（1）若1B，则10aa，得01a；（2）由1128x，得013x，即12x，所以12Axx，101Bx xaxax axa，因为“xB”是“xA”的充分不必要条件，所以 B 是 A 的真子集，即112aa ，解得11a.即实数 a 的取值范围是1,1.【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键 18计算：(1)1114443251520.00893；(2)2lg1log 3342lg30lg3log 4log 33.【答案】(1)3(2)4 【分析】（1）根据指数幂运算的公式计算即可；（2）根据对数运算法则和换底公式计算即可.第 10 页 共 14 页【详解】（1）原式11123235520.233 5255 3.（2）原式03lg 30313 3 1 1 1 4.19已知函数()yf x的图象关于原点对称，且当0 x 时，22f xxx(1)试求()f x在 R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】(1)222(0)()0(0)2(0)xxxf xxxx x(2)函数图象见解析，单调递增区间为,1 和1,，单调递减区间为1,1；【分析】（1）依题意 f x是R上的奇函数，即可得到(0)0f，再设0 x，根据0 x 时的解析式及奇函数的性质计算可得；（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；【详解】（1）解：()f x的图象关于原点对称，()f x是奇函数，()()fxf x 又()f x的定义域为R，(0)(0)ff，解得(0)0f 设0 x，则0 x，当0 x 时，2()2f xxx，22()()2()2()fxxxxxf x 2()2f xxx ，所以222(0)()0(0)2(0)xxxf xxxx x；（2）解：由（1）可得 f x的图象如下所示：第 11 页 共 14 页 由图象可知 f x的单调递增区间为,1 和1,，单调递减区间为1,1；20已知函数 2241f xmxmx.(1)若存在 1,3x，使得不等式 0f x 成立，求m的取值范围；(2)若 0f x 的解集为,a b，求94ab的最大值.【答案】(1)1,30 (2)252 【分析】（1）将不等式 0f x 整理为2122mxx，即可将存在 1,3x使 0f x 转化为2max122mxx，然后利用换元法求最大值即可；（2）利用三个“二次”的关系和韦达定理得到2ab 且a0，0b，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）不等式 0f x 可整理为2122mxx，存在 1,3x使 0f x，即2max122mxx，令22xxt，则3,15t，111315t，所以1215m ，解得130m ，所以m的取值范围为1,30.（2）因为 f x的解集为,a b，所以0m，422mabm ，10abm，所以a0，0b，第 12 页 共 14 页 941942ababab 1941942594132222babaabab ，当且仅的942baabab，即45b ，65a 时等号成立，所以94ab的最大值为252.21某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入50万元，最大产量50万斤，每生产x万斤，需其他投入 g x万元，2120,035216000601300,3550 xxxg xxxx，根据市场调查，该农产品售价每万斤50万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本）(1)写出年利润 F x（万元）与产量x（万斤）的函数解析式；(2)求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.【答案】(1)213050,0352505016000101250,3550 xxxF xxg xxxx；(2)当年产量为40万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为450万元 【分析】（1）根据利润收入成本可得函数解析式；（2）分别在035x和3550 x两种情况下，利用二次函数和对勾函数最值的求法可得结果.【详解】（1）由题意得：213050,0352505016000101250,3550 xxxF xxg xxxx；（2）当035x时，221130503040022F xxxx ，则当30 x 时，max30400F xF；当3550 x时，160001600012501012502 10450F xxxxx（当且仅当1600010 xx，即40 x 时取等号），max40450F xF；450400，当40 x，即年产量为40万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为450万元.第 13 页 共 14 页 22已知函数 222xxf xx.(1)判断并证明 f x的奇偶性；(2)判断 f x的单调性，并用定义法证明；(3)设 52g xkxk，若对任意的11,2 2x，总存在 20,1x，使得 12f xg x成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)偶函数，证明见解析；(2)f x在0,上单调递增，,0上单调递减，证明见解析；(3)9,2.【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；（2）根据单调性的定义判断和证明即可；（3）将对任意的11,2 2x，总存在 20,1x，使得 12f xg x成立转化为 12maxmaxf xg x，然后利用单调性求最值即可.【详解】（1）f x为偶函数，证明如下，f x定义域为,00,，关于原点对称，222222xxxxfxf xxx ，所以 f x为偶函数.（2）222441xfxxx，f x在0,上单调递增，,0上单调递减，证明如下，令12xx，则 2112122222121244411xxxxf xf xxxx x ，当120 xx时，210 xx，120 xx，则 12f xf x，当210 xx时，210 xx，120 xx，则 12f xf x，所以 f x在0,上单调递增，,0上单调递减.（3）因为对任意的11,2 2x，12f xg x，所以 12maxf xg x，又存在 20,1x，12f xg x，所以 12maxmaxf xg x，第 14 页 共 14 页 因为 f x在在0,上单调递增，所以 1max12 22f xf，当0k 时，函数 g x单调递增，所以 2max15g xgk，152k，解得902k；当0k 时，5g x，152成立；当0k 时，函数 g x单调递减，所以 2max052g xgk，1522k，解得0k；综上可得，实数k的取值范围为9,2.