2023届河北省石家庄市部分学校高三上学期期末联考数学试题(解析版).pdf

绝密启用前 高三数学考试 注意事项：1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合24120Ax xx，21Bxx，则AB（）A.21xx B.61xx C.12xx D.16xx 2.已知复数iRzaa，若234iz，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 23 cos1xxfxx的部分图象大致为（）A.B.C.D.4.“3sin33”是“1sin 263”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用奻泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶 500ml 的泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A.全部暍完；B.喝剩约13；C.喝剩约一半；D.其他情况.该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A.40 B.30 C.22 D.14 6.在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAAB，2PHHC，E，F分别是棱CD，PA的中点，则异面直线BH与EF所成角的余弦值是（）A.13 B.33 C.63 D.2 23 7.当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质.光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率为 90%（即光线强度减弱 10%）.若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg20.30，lg30.477）A.30 块 B.31 块 C.32 块 D.33 块 8.已知函数 2sin cos3cos2f xxxx，则（）A.f x的最小正周期是 B.f x的图象关于直线12x对称 C.f x在0,2上有 4 个极值点 D.f x在135,62上单调递减 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知点1,2A，2,0B，3,3C，1,6D ，则（）A.ABAD B.ABAC C.ACAD D.cos,0AB BD 10.已知0a，0b，且21ab，则（）A.18ab B.122ab C.129ab D.log0ab 11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，如图 1 所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体1111ABCDABC D的上底面1111ABC D绕着其中心旋转 45得到如图2 所示的十面体ABCDEFGH.已知2ABAD，7AE，则（）A.十面体ABCDEFGH的上、下底面之间的距离是21 B.十面体ABCDEFGH的表面积是8 68 C.十面体ABCDEFGH外接球球心到平面ABE的距离是212 D.十面体ABCDEFGH外接球的表面积是112 2 12.已 知 函 数 f x，g x的 定 义 域 均 为R，且 25f xgx，23g xf x.若 f x的图象关于直线1x 对称，且 33f，则（）A.16g B.g x的图象关于点0,4对称 C.g x是周期函数，且最小正周期为 8 D.22190kg k 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知抛物线2:20C xpy p的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是2AF，则p _.14.写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程：_.焦点在x轴上；离心率为 2.15.某班派甲、乙等五人参加跳高、跳远、50 米短跑这三个项目，要求每人只参加一个项目，且每个项目都要有人参加，则甲、乙参加同一个项目的概率是_.16.已知 f x是定义在,00,上的奇函数，fx是 f x的导函数，当0 x 时，20 xfxf x.若 20f，则不等式 30 x f x 的解集是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）公差不为 0 的等差数列 na的前n项和为nS，且满足310a，2a，4a，7a成等比数列.（1）求 na的前n项和nS；（2）记26nnbS，求数列 nb的前n项和nT.18.（12 分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有兵乓球都是质地均匀，大小与颜色相同 的，且每个小球上标有 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字中的一个，每个号都有若干个兵乓球.顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当5x时，该顾客积分为 3 分，当35x时，该顾客积分为 2 分，当3x时，该顾客积分为 1 分.以下是用电脑模拟的抽奖，得到的 30 组数据如下：1 3 1 1 6 3 3 4 1 2 4 1 2 5 3 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 3 4 5（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为 3 分和 2 分的概率；（2）某顾客从上述 30 个样本数据中随机抽取 2 个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折（如该顾客积分为3 36，商场就给该顾客的所有购物打1064折），记该顾客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望.19.（12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscos02AA，且2ADDB，4AEEC.（1）求A的大小；（2）若7a，2 7DE，求ABC的面积.20.（12 分）如图，在正三棱柱111ABCABC中，1AAAB，D，E分别是棱BC，1BB的中点.（1）证明：平面1AC D 平面1ACE.（2）求平面ACE与平面1ACE的夹角的余弦值.21.（12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率是22，点0,2M在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程.（2）已知0,1P，直线:0l ykxm k与椭圆C交于A，B两点，若直线AP，BP的斜率之和为 0，试问PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.22.（12 分）已知函数 2e3xf xxax的图象在1x 处的切线方程为e2yxb.（1）求a，b的值；（2）若关于x的不等式 f xm对于任意1,x恒成立，求整数m的最大值.（参考数据：ln102.3）高三数学考试参考答案 1.A【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.由题意可得26Axx，1Bx x，则21ABxx.2.D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.由题意可得2212 i34izaa，则213,24,aa 解得2a，从而2iz，故复数z在复平面内对应的点位于第四象限.3.B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养.当0,2x时，0f x，则排除 A，D；当3,22x时，0f x，则排除 C.故选 B.4.A【解析】本题考查充要条件与三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想.由3sin33，得21sin 2sin 2cos21 2sin632333，由1sin 263，得3sin33，则“3sin33”是“1sin 263”的充分不必要条件.5.C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养.由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为100 30%30，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822.6.A【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养.如图，分别取PB，PH的中点M，N，连接MF，CM，MN.易证四边形CEFM是平行四边形，则CMEF，CMEF.因为M，N分别是PB，PH的中点，所以MNBH，则CMN是异面直线BH与EF所成的角（或补角）.设6AB，则3 6CMEF，13 22PMPB，24 3CNPN，222cos6MNPMPNPM PNMPN，故654481cos32 3 66CMN.7.B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养.设 原 来 的 光 线 强 度 为0a a，则 要 想 通 过n块 这 样 的 玻 璃 之 后 的 光 线 强 度190%25naa，即10.925n，即1lg0.9lg25n，即2 1 lg22lg522 0.330.42lg3 12lg3 12 0.477 1n ，故至少要通过 31 块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下.8.D【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想.2sin 2,22,3222sin cos3cos232sin 2,22,322xkxkf xxxxxkxk画出 f x的图象，如图所示，由 f x的图象可知 f x的最小正周期为2，则 A 错误.f x的图象关于直线2xkkZ对称，则 B 错误.f x在0,2上有 6 个极值点，则 C 错误.当135,62x时，cos0 x，则 2sin 23fxx.令3222232kxkkZ，解 得71212kxkkZ.因 为2222kxkkZ，所以22122kxkkZ.当1k 时，255122x.因为135255,62122，所以 f x在135,62上单调递减，则D 正确.9.ABC【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养.由题意可得1,2AB，1,3BC，2,1AC，2,4AD ，3,6BD ，则2ABAD，5ABAC，0AC BD，故 A，B，C 正确，D 错误.10.ACD【解析】本题考查不等式，考查逻辑推理的核心素养.因为0a，0b，且21ab，所以2 21ab，即18ab，则 A 正确；当12a，14b 时，51242ab，则 B 错误；121222259baabababab，当且仅当13ab时，等号成立，则 C 正确；因为0ab，且21ab，所以01a，01b，所以log0ab，则 D 正确.11.ABD【解析】本题考查多面体外接球，考查直观想象的核心素养.如图，补全长方体1111ABCDABC D.由题中数据可知22112142 2AE ，则1742 221AA，故 A 正确.因为2AB，7AE，所以ABE的面积1127 162S ，则十面体ABCDEFGH的表面积8 68S，故 B 正确.因为十面体ABCDEFGH由长方体1111ABCDABC D的上底面绕着其中心旋转 45得到，所以长方体1111ABCDABC D的外接球就是十面体ABCDEFGH的外接球.设十面体ABCDEFGH外接球的半径为R，则2112 24R，则十面体ABCDEFGH外接球的表面积是24112 2R，故 D 正确.因为7AEBE，所以7 142sin77BAE，所以22492sin24BErBAE，则十面体ABCDEFGH外接球球心到平面ABE的距离是 232 2112 24917 12 23 64 3424242412，故 C 错误.12.ABD【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养.因为 33f，且 23g xf x，所以 133gf，所以 16g，则 A 正确.因 为 yf x的 图 象 关 于 直 线1x 对 称，所 以 2f xfx，所 以2f xfx.因为 25f xgx，所以225fxgx，所以5fxgx.因 为 23g xf x，所 以 3g xfx，所 以 8g xgx，则 g x的图象关于0,4对称，且 04g，故 B 正确.因为 25f xgx，所以25fxg x，所以 28g xg x，所以248g xg x，则 4g xg x，即 g x的周期为 4，故 C 错误.因为 33f，且 23g xf x，所以 16g.因为 28g xg x，所以 32g.因为 04g，所以 24g，则 22151234125 16 1090kg kgggggg，故 D 正确.13.4【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养.由题意可得22p，解得4p.14.221412xy（答案不唯一）【解析】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养.满足222213xyaa即可.15.625【解析】本题考查概率，考查分类讨论的数学思想.甲、乙等五人参加跳高、跳远、50 米短跑这三个项目的情况有12335453C CCA1502种，其中符合条件的情况有213333CCA36种，故所求概率36615025P.16.,22,【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想.设 2g xx f x，则 22gxxf xx fx.当0 x 时，因为 20 xfxf x，所 以 0g x，所 以 g x在0,上 单 调 递 增.因 为 f x是 奇 函 数，所 以 fxf x，所以 22gxxfxx f xg x ，则 g x是奇函数.30 x f x，即 0 xg x.因为 20f，所以 220gg，则 0 xg x 等价于 0,0 xg x或 0,0,xg x解得2x或2x.17.解：（1）设数列 na的公差为d，由题意可得12111210,36,adadadad即 121210,330,adda d 因为0d，所以16,2ad，则21152nn ndSnann.（2）由（1）可知22211265623nnbSnnnn，则1211111111234455623nnTbbbnn，故11223339nnTnn.评分细则：（1）第一问中，也可以将2a，4a，7a用3a和d表示，从而求出d，再根据前n项和公式求出nS；（2）第二问中求出2233nTn不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.18.解：（1）由题意可知某顾客抽奖一次，积分为 3 分的频率是61305，则估计某顾客抽奖一次，积分为 3 分的概率为15.某顾客抽奖一次，积分为 2 分的频率是933010，则估计某顾客抽奖一次，积分为 2 分的概率为310.（2）由题意可知X的可能取值为 4，5，6，7，8.215230C78C29P X，11159230C C972C29P X，2119615230CC C426C145P X，1169230C C185C145P X，26230C14C29P X 则X的分布列为 X 8 7 6 5 4 X 8 7 6 5 4 P 729 929 42145 18145 129 故 7942181876546.6292914514529E X .评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分;（2）第二问中，得到随机变量X的所有取值得 1 分，每求出一个X取值的概率得 1 分，只求出 iP X4,5,6,7,8i 的值，没有列出表格，不予扣分;（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.19.解：（1）因为coscos02AA，所以22coscos1022AA，即2cos1cos1022AA，解得1cos22A或cos12A（舍去）.因为0,22A，所以23A，则23A.（2）设DBx，ECy，则3cx，5by，在ABC中，由余弦定理可得 222352 35cosaxyxyA，即229251549xyxy，在ADE中，由余弦定理可得222242 24cosDExyxyA，即22427xyxy，联立，解得1x，1y，则3,5cb.故ABC的面积为115 3sin24bcA.评分细则：（1）第一问中，求出1cos22A，得 3 分，没有说明0,22A，直接得到23A，不予扣分；（2）第二问中求出b，c的值得 4 分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.20.（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCECC D，则1BCECC D.因为1190CC DC DC，所以190BCEC DC，即1CEC D.因为ABAC，D是棱BC的中点，所以ADBC.由正三棱柱的定义可知1CC 平面ABC，则1CCAD.因为BC，1CC 平面11BCC B，且1BCCCC，所以AD 平面11BCC B.因为CE 平面11BCC B，所以ADCE.因为AD，1C D 平面1AC D，且1ADC DD，所以CE 平面1AC D.、因为CE 平面1ACE，所以平面1AC D 平面1ACE.（2）解：取11BC的中点F，连接DF.易证DA，DC，DF两两垂直，故以D为坐标原点，分别以DC，DA，DF的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.设2AB，则0,3,0A，10,3,2A，1,0,0C，1,0,1E 故1,3,0CA ，2,0,1CE ，11,3,2CA .设平面ACE的法向量为111,nx y z，则111130,20,n CAxyn CExz 令13x，得3,1,2 3n.设平面1ACE的法向量为222,mxy z，则122222320,20,m CAxyzm CExz 令21x，得1,3,2m.设平面ACE与平面1ACE的夹角为，则4 36coscos,41 343 1 12m nm nm n .评分细则：（1）第一问中，也可以以D为坐标原点，分别以DC，DA，DF的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面1AC D和平面1ACE的法向量a，b，由0a b，得到平面1AC D 平面1ACE；（2）第二问中，也可以先找出平面ACE和平面1ACE的夹角，再通过余弦定理求出cos；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.21.解：（1）由题意可得2222,22,cabcab解得28a，24b.故椭圆C的标准方程为22184xy.（2）设1122,A x yB x y，联立22,1,84ykxmxy整理得222214280kxkmxm，则122421kmxxk，21222821mx xk.设直线AP，BP的斜率分别是1k，2k，12121212122121212212111112.4kx xmxxkm myykxmkxmkkkxxxxx xm 因为120kk，所以221204km mkm，解得4m，则222221222241 46162 168114212121kkkABkxxkkkk .因为点P到直线l的距离231dk，所以PAB的面积22222241461136 2232221211kkkSAB dkkk.设223tk，则2223kt，从而26 26 23 2442ttStt，当且仅当24t，即2234k，即272k 时，等号成立.经验证，当272k 时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB的面积存在最大值3 22.评分细则：（1）第一问中，求出b的值得 1 分，求出a的值得 2 分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣 1 分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.22.解：（1）因为 2e3xf xxax，所以 e6xfxxa，由题意可得 1e6e2,1e3e2,fafab 解得4,3.ab（2）由 f xm对一切1,x恒成立，则至少满足 1e 1fm ，因为m为整数，所以3m.要证 3f x 对于任意1,x恒成立，即证2e343xxx对于任意1,x恒成立，即证23431exxx对一切1,x恒成立.设 2343exxxg x，则 23713107eexxxxxxgx.当71,3x时，0g x，当7,3x时，0g x，则 g x在71,3上单调递增，在7,3上单调递减.故 213777max33773437101000333eeeg xg.因为ln102.3，所以ln10006.97，即71000e，所以710001e，则 max1g x，从而23431exxx对一切1,x恒成立，即 3f x 对一切1,x恒成立.故max3m.评分细则：（1）第一问中，正确求导得 1 分，列出方程组得 1 分；（2）第 二 问 中，得 出3m得 1 分，构 造 出 函 数 g x得 1 分，直 接 得 出 137max10001eg x，扣 1 分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.