2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高一上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高一上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1已知集合306xAxx，23100Bx xx，则RAB（）A,35,B,35,C,35,D,35,【答案】A【分析】解不等式确定集合,A B，然后由集合运算定义计算【详解】30366xAxxx，2310025Bx xxxx，3,5AB，,35,RAB，故选：A 本题考查集合的综合运算，掌握集合运算定义是解题基础，还考查了解分式不等式和一元二次不等式，属于基础题 2命题“Rx，sin10 x”的否定是（）ARx，sin10 x BRx，sin10 x CRx，sin10 x DRx，sin10 x 【答案】B【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确答案.【详解】根据全称量词命题的否定形式得：原命题的否定是Rx，sin10 x.故选：B.3“2 6k（Zk）”是“1sin2”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由充分、必要性的定义，结合三角函数值求角，即可知题设条件间的充分、必要关系.第 2 页 共 14 页【详解】由“1sin2”，得：“=2 6k或52 6k（Zk）”.“2 6k（Zk）”是“1sin2”的既不充分也不必要条件.故选：D.4已知0,3，且4sin65，则cos6（）A45 B35 C35 D45【答案】B【分析】由已知结合同角平方关系可求cos()6，然后结合诱导公式进行化简可求【详解】解：因为(0,)3，所以(,)66 2，因为)in(4s65，所以23cos1sin665，则53cos()cos()cos()6665 故选：B 5已知函数26()3xf xa（0a 且1a）的图像经过定点A，且点A在角的终边上，则sincossincos（）A17 B0 C7 D17【答案】D【分析】由题知3,4A,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令260 x 得3x,故定点A为3,4A,所以由三角函数定义得4tan3，所以41sincostan1134sincostan1713 故选：D 6已知函数 f x为奇函数，且在区间0,上是增函数，若102f，则()()0fxf xx的解第 3 页 共 14 页 集是（）A11,0,22 B11,00,22 C11,22 D1,2【答案】B【分析】函数 f x是奇函数,在区间(0,+)单调递增，即在(,0)上单调递增，11022ff，分段讨论 x 的值,可得不等式 0f xx的解集.【详解】因为函数 f x为奇函数，且在区间0,上是增函数，且102f，所以函数在(,0)上单调递增且11022ff，所以当12x 或102x时，()0f x，当102x或12x 时，()0f x，由()()0fxf xx，即2()0f xx，故 0f xx 由 0f xx可得0()0 xf x或0()0 xf x，所以102x或102x，故选：B 7已知0,0 xy，且21xy，若212mxy恒成立，则实数m的值取值范围是（）A8m B8m C4m D4m【答案】D【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式的性质，212mxy恒成立 2mmin21xy即可得出【详解】x0，y0，21xy 21212xyxyxy44442yxy xxyxy8当且仅当 x2y4 时取等号 若212mxy恒成立，2m8，解得 m4 故选：D【点睛】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质、恒成立的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题 8下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线3x对称的函数是（）第 4 页 共 14 页 A2sin 23yx B2sin 26yx C2sin23xy D2sin 23yx【答案】B【解析】首先选项 C 中函数2sin23xy的周期为2412T,故排除 C,将3x,代入 A,B,D 求得函数值,而函数sin()yAxB在对称轴处取最值,即可求出结果.【详解】先选项 C 中函数2sin23xy的周期为2412T,故排除 C,将3x,代入 A,B,D 求得函数值为0,2,3,而函数sin()yAxB在对称轴处取最值.故选:B.【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.二、多选题 9下列函数为奇函数的是（）Axxyee Bsinyxx Ctancosyxx D2121xxy【答案】BD【分析】根据奇函数，偶函数的定义逐项判断即可.【详解】对于 A，xxyee定义域为 R，()()fxf x成立，是偶函数；对于 B，sinyxx定义域为 R，()sin()()()fxxxf x ，是奇函数；对于 C，tancosyxx定义域为|,2x xkkZ，关于原点对称，()tancos,()(),()()fxxx fxf xfxf x ，函数既不是偶函数也不是奇函数；对于 D，2121xxy，定义域为|0 x x，关于原点对称，2112()()2112xxxxfxf x，是奇函数.故选：BD 10下列运算中正确的是（）A383log 8log 5log 5 B当0a 时，133236aaa C若114aa，则1122aa3.D2log 71ln(ln)72e【答案】BD 第 5 页 共 14 页【分析】选项 A 由换底公式可判断；选项 B 由分数指数幂的运算可判断；选项 C.设11220aat，两边平方可判断；选项 D 由对数恒等式结合对数的值可判断【详解】选项 A.由换底公式可得383log 5log 5log 8，故选项 A 不正确.选项 B.当0a 时，22313332333262aaaaaa,故选项 B 正确.选项 C.设11220aat，两边平方可得122aat，则216t，故11224aa，故选项 C 不正确.选项 D.22log 7log 71ln(ln)2ln17072e,故选项 D 正确.故选：BD 11关于函数 3sin 26fxx，下列说法正确的有（）A 3cos 23fxx B若 120f xf x，则12xx的最小值为 C f x的图象关于,012对称 D f x的单调减区间为2,63kkkZ【答案】ACD【分析】A 选项，由诱导公式得sincos2，代入可判断；B 选项，令 0f x 得26xk，求解可判断；C 选项，代入计算得012f，由正弦型函数性质可判断；D 选项，f x减区间需满足322,2622xkk，求解即可判断；【详解】解：A 选项，由诱导公式，sincos,3cos 23cos 22623f xxx，故 A 正确；B 选项，0f x 时，26xk，则212kx，故12min2xx，故 B 错误；C 选项，3sin0012f，由正弦型函数性质得 f x的图象关于,012对称，故 C 正确；D 选项，f x减区间需满足322,2622xkk，解得减区间为2,63kkkZ，第 6 页 共 14 页 故 D 正确；故选：ACD.12符号 x表示不超过 x的最大整数，如3.54，2.12，定义函数 f xxx，则下列结论正确的是（）A2233ff B函数 f x是增函数 C方程 102021f x 有无数个实数根 D f x的最大值为 1，最小值为 0【答案】AC【分析】作出函数的图象，结合函数的图象对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可【详解】作出 ,011,122,23xxf xxxxxxx的图象如图：对于 A，由题意可知212333fff，所以 A 正确；对于 B，函数()f x每隔一个单位重复一次，是以 1 为周期的函数，函数()f x在定义域R上是周期函数，不是增函数，所以 B 错误；对于 C，函数()f x每隔一个单位重复一次，是以 1 为周期的函数，所以方程 102021f x 有无数个根，所以 C 正确；对于 D，由图可知()0,1f xxx，函数()f x无最大值，最小值为 0，所以 D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是画出函数()f x的图象，意在考查学生数形结合的数学思想的运用.函数的图象是研究函数的一个重要手段，要在解题中灵活运用.三、填空题 第 7 页 共 14 页 13 如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合_ 【答案】3603036075,Zkkk【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出【详解】阴影部分内的角的集合为3603036075,Zkkk 故答案为：3603036075,Zkkk.14如图为两个互相啮合的齿轮大轮有 64 齿，小轮有 24 齿当大轮转动一周时，小轮转动的角度为_ 【答案】163【分析】一周为2弧度，即可计算小轮转过的弧度数【详解】因为大轮有 64 齿，小轮有 24 齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为64162243.故答案为：163.15 已知关于x的方程2sin 206xm在0,2x上有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为_【答案】1,2【分析】参变分离后画出函数图象，数形结合得到1,122m，进而求出m的取值范围.【详解】由题意得：sin 262mx，因为0,2x，所以 52,666x，画出函数图象如下：第 8 页 共 14 页 要想保证有两个不同的实数解，则只需2my 与函数图象有两个交点，显然1,122m，解得：1,2m 故答案为：1,2 16设函数21,0()lg,0 xxf xx x，若关于x的方程 220fxafx恰有 6 个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_【答案】2 2,3【分析】作出函数()f x的图象，令()f xt，结合图象可得，方程220tat在1,2内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；【详解】作出函数21,0()lg,0 xxf xx x的大致图象，令 f xt，因为 220fxafx恰有 6 个不同的实数解，所以 220g ttat在区间1,2上有 2 个不同的实数解，2801221302620aagaga，第 9 页 共 14 页 解得2 23a，实数a的取值范围为2 2,3 故答案为：2 2,3 四、解答题 17已知集合25,121AxxBx mxm (1)当*xN时，求A的非空真子集的个数；(2)当xR时，若AB，求实数m的取值范围【答案】(1)30(2)32m 或6m 【分析】（1）当*xN时，可得A中元素的个数，进而可得A的非空真子集的个数；（2）根据AB，可分B 和B 两种情况讨论，可得出实数m的取值范围【详解】（1）当*xN时，251,2,3,4,5Axx，共有 5 个元素，所以A的非空真子集的个数为52230（2）（1）当B 时，121mm，解得2m ；（2）当B 时，根据题意作出如图所示的数轴，可得12115mmm 或121212mmm 解得：322m 或6m 综上可得，实数m的取值范围是32m 或6m 18已知函数 cos,0,sin,0.xxf xxx（1）作出该函数的图象；（2）若 12f x，求x的值；第 10 页 共 14 页（3）若aR，讨论方程 f xa的解的个数【答案】（1）图见解析；（2）3x 或6或56；（3）当1a 或1a 时，解的个数为 0；当10a或1a 时，解的个数为 1；当01a 时，解的个数为 3【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出；（2）讨论x的范围根据解析式即可求解；（3）方程 f xa的解的个数等价于 yf x与ya的图象的交点个数，结合图象即可得出.【详解】（1）f x的函数图象如下：（2）当0 x时，1cos2f xx，解得3x，当0 x时，1sin2fxx，解得6x或56，综上，3x 或6或56；（3）方程 f xa的解的个数等价于 yf x与ya的图象的交点个数，则由（1）中函数图象可得，当1a 或1a 时，解的个数为 0；当10a或1a 时，解的个数为 1；当01a 时，解的个数为 3 19（1）化简21 2sin130 cos130sin1301 sin 130；（2）化简1 cos1cos1cos1 cos，其中是第三象限角【答案】（1）1；（2）2sin【分析】（1）根据角所在象限确定三角函数的符号，化简表达式，求出最简结果（2）利用平方关系，以及三角函数在象限的符号，去掉根号和绝对值符号，化简即可 第 11 页 共 14 页【详解】（1）原式sin130cos130sin130cos130，sin1300，cos1300 原式sin130cos1301sin130cos130;（2）22221 cos1cos1 cos1cos1 cos1cos1cos1 cos1 cos1 cossinsin 由题可得sin0，1 cos0，1 cos0，原式1 cos1 cos2sinsinsin 20 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过 90 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.即假定奖励方案模拟函数为 yf x时，该公司对函数模型的基本要求是：当25,1600 x时，f x是增函数；90f x 恒成立；()5xf x 恒成立.(1)现有两个奖励函数模型：1()1015f xx；()26f xx.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数()10(2)f xa xa符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a 的取值范围.【答案】(1)函数模型：()26f xx符合公司要求；(2)522a【解析】(1)由(30)126f判断函数模型：1()1015f xx不符合条件，故不符合公司要求；一一验证函数模型：()26f xx满足题目给出的三个条件，说明函数模型：()26f xx符合公司要求；(2)由2a 说明()10(2)f xa xa符合条件，再求解基本不等式及基本不等式取最值时满足的条件求出 a 满足的范围，取交集即可【详解】(1)对于函数模型：1()1015f xx，验证条件：当30 x 时()12f x，而65x，即()5xf x 不成立，故不符合公司要求；对于函数模型：()26f xx，当25,1600 x时，条件 f x是增函数满足；max()2 160062 4067490f x，满足条件；对于条件：记()26(251600)5xg xxx 第 12 页 共 14 页 则21()515g xx（）5,40 x 当=5x时，2max1()551=105g x （）()5xf x 恒成立，即条件也成立.故函数模型：()26f xx符合公司要求.(2)2a，函数()10f xax符合条件；由函数()10f xax符合条件，得16001040 1090aa，解得：52a；由函数()10f xax符合条件，得105xa x 对25,1600 x恒成立，即105xax对25,1600 x恒成立.102 25xx，当且仅当10=5xx，即 x=50 时等号成立，2 2a 综上所述，实数 a 的取值范围52,2【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围 21已知函数 3cos26fxx(1)求函数 f x的单调区间；(2)求函数 f x在区间,4 2上的最小值和最大值，并求此时 x的值【答案】(1)增区间5,1212kk，kZ；减区间7,1212kk，kZ(2)最大值为3，12x；最小值为32，2x 【分析】（1）将26x 整体代入cosyx的单调区间，求出x的范围即可；（2）通过 x 的范围，求出26x 的范围，然后利用cosyx的最值的取值求解即可.第 13 页 共 14 页【详解】（1）3cos23cos 266fxxx，令2 22 6kxk，kZ，得51212kxk，kZ，令2 22 6kk，kZ，得71212kxk，kZ，故函数 f x的单调递增区间为5,1212kk，kZ；单调递减区间为7,1212kk，kZ；（2）当,4 2x 时，2 52,663x，所以当260 x，即12x 时，f x取得最大值3，当5266x，即2x 时，f x取得最小值32 22已知函数 824xxxaf xa（a为常数，且0a，Ra）(1)当1a 时，若对任意的 1,2x，都有 2fxmf x成立，求实数m的取值范围；(2)当 fx为偶函数时，若关于x的方程 2fxmfx有实数解，求实数m的取值范围【答案】(1)(5,2；(2)1m.【分析】（1）先化简()f x，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定m的取值范围；（2）先利用函数的奇偶性得到a值，利用换元思想和基本不等式确定122xxt 的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.【详解】（1）当1a 时，1()22xxf x 在1,2上单调递增，当 1,2x时，13 152,224xxfx，对任意的 1,2x都有 2fxmf x成立，转化为22112222xxxxm恒成立，即122xxm 对 1,2x恒成立，令22,4xt，则1()mh ttt 恒成立，即min()mh t，由对勾函数的性质知：1h ttt 在2,4上单调递增，故 min5()22h th，第 14 页 共 14 页 m的取值范围是(5,2.（2）当()f x为偶函数时，对xR 都有()()0fxf x，即1122022xxxxaa恒成立，即112102xxa恒成立，110a，解得1a，则 122xxf x，此时，由 2fxmf x可得：221122*22xxxxm有实数解 令1122 2222xxxxt（当0 x 时取等号），则222211222222xxxxt，方程 2*2tmt，即2mtt 在2,t上有实数解，而2mtt 在2,t上单调递增，1m.【点睛】关键点点睛：应用转化与化归思想，第一问转化为122xxm 对 1,2x恒成立问题求参数范围；第二问由奇偶性求参数，再将问题转化为22112222xxxxm有实数解求参数范围.