2023届辽宁省阜新市第二中学高三年级1月月考数学试卷(人教2019A版)(解析版).pdf

2022-2023 学年 辽宁省阜新市第二中学 高三年级一月月考 数学试卷 总分 150 分 考试时间 120 分钟 一、单选题（8 题每题 4 分共 32 分）1已知集合20,1Mx xxNx x，则MN（）A1x x B1x x C D|1x x 或0 x 2若复数满足4(2)zii（为虚数单位），则复数的共轭复数的模是 A85 B4 55 C45 D55 3如图，在ABC中，ABc，ACb，若点D满足2BDDC，则AD（）A2133bc B5233cb C2133bc D2233bc 4 某圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为3 2，则该圆台的体积为（）A3 B73 C53 D23 5五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（）A60种 B40种 C20种 D10种 6函数()sin()(0)f xx 的周期为，1()2f，()f x在0,3上单调递减，则的一个可能值为 A6 B3 C23 D56 7已知函数 yf x的定义域为,，且函数2yf x的图象关于直线2x 对称，当0,x时，lnsin2f xxfx（其中 fx是 f x的导函数），若log 3af,13log 9bf,13cf，则,a b c的大小关系是 Abac Babc Ccba Dbca 8 已知函数21()2(2)1(0)2f xlnxaxxaa的值域与函数()yf f x的值域相同，则a的取值范围为 A(0，1 B1，)C(0，43 D43，)二、多选题（4 题每题 5 分共 20 分，正确选项未全部选出得 3 分，多选不得分）9如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确命题的选项是（）ABM与 ED 平行 BCN 与 BM 成 60角 CCN 与 BE 是异面直线 DDM 与 BN 是异面直线 10已知函数 sin0,0,02fxAxA的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移12个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g x的图象，则下列选项中正确的有（）A sin 23f xx B sin3g xx C43x 是曲线 yg x的对称轴 D直线32yx是曲线 yf x的一条切线 11已知抛物线2:4C xy，其焦点为 F，准线为 l，PQ是过焦点 F的一条弦，点2,2A，则下列说法正确的是（）A焦点 F到准线 l的距离为 2 B焦点1,0F，准线方程:1l x CPAPF的最小值是 3 D以弦 PQ为直径的圆与准线 l相切 12已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R，对任意的x，Ry，恒有 2f xyf xyf xfy，则下列说法正确的有（）A 01f B fx必为奇函数 C 00f xf D若 112f，则 2023112nf n 三、填空题（共 20 分）13 已知522axxxx的展开式中的各项系数和为3，则该展开式中的常数项为_.14 已知点Q是圆221xy上任意一点，点(2,2)A，点(6,4)B，点P满足2218PAPB，则PQ的最小值为_.15过点(1,1)与曲线xyex相切的直线方程为_.16 设F1，F2是椭圆C：22xa22yb1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1PF2，若12PF F的面积为 9，周长为 18，则椭圆 C的方程为_.四、解答题（共 78 分）17在数列 na中，11a，1120nnnnaaaa，数列 nb的前n项和为nS，且21nnabn （1）证明：数列1na是等差数列（5 分）（2）若23ntSt对*nN恒成立，求的取值范围（5 分）18已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足232 coscabA.（1）求角B；（5 分）（2）若1cos4A，求sin(2)AB的值；（5 分）（3）若7c，sin3bA，求b的值.（5 分）19在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又4PAAB，ADCD，120CDA，点N是CD的中点.（1）求证：MN 平面PAB；（6 分）（2）求点N到平面PBC的距离.（6 分）20（本小题满分 10 分，第（1）问 5 分，第（2）问 5 分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占35，采用微信支付的占23，40岁以上采用微信支付的占14（1）请完成下面22列联表：（6 分）40岁以下 40岁以上 合计 使用微信支付 未使用微信支付 合计 （2）并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（6 分）参考公式:22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d，nabcd .参考数据：20P Kk 0k 6.635 21已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（7 分）（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.（7 分）22已知函数 2e0 xf xxa a(1)当=1a时，求 f x的单调减区间；（7 分）(2)若方程 f xm恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值（8 分）答案及解析：1B【分析】化简集合 M，根据集合交集运算即可求解.【解析】因为2010Mx xxx xx或，1Nx x 所以MN1x x，故选 B【注意】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2B【分析】根据复数的四则运算，化简复数为z4855i，再根据复数模的运算公式，即可求解.【解析】由题意，因为42zii，所以44212zi ii 4 1 248,121 255iiii 所以z 4855i，所以z22484 5555.故选 B.【注意】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念和模的运算，其中解答中熟记复数的四则运算，正确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3A【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.【解析】因为2BDDC，所以有23BDBC，221221()333333ADABBDABBCABBAACABACbc，故选：A 4B【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，结合题意，准确运算，即可求解.【解析】设圆台的母线长为，高为，因为圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为3 2，可得()(21)3 2Rrll ，解得2l，所以圆台的高为222()2(2 1)1hlRr，所以圆台的体积为22117()(42 1)1333VRRrrh.故选：B.5C【分析】5 人中只有 2 人拿到自己的外衣，共有25C种情形，另外 3 人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为 1，2，3 的人坐到编号为 1，2，3 的座位，且人和编号不能相同，列举可得，再由分步计数原理求得结果.【解析】先从 5 人中选取 2 人拿到自己的外衣，共2510C 种情况，另外 3 人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为 1，2，3 的人 坐到编号为 1，2，3 的座位，且人和编号不能相同，共有 231，312，两种，由分步计数原理可得共25220C 种情况.故选：C.【注意】本题考查排列组合及简单的计数问题，选择合适的选排方案是解决问题的关键，属基础题.6D【分析】根据三角函数周期性确定 值，再根据1()2f求得的可能值，最后根据单调性确定值【解析】根据周期的公式2|T得=2，则()sin(2)f xx 又因为1()sin(2)sin2f 所以2k6或52k6 （K Z）故()sin(2)6f xx或5()sin(2)6f xx 又因为当()sin(2)6f xx时，在(0,)3x上，即52()66,6x，()f x有增有减 当5()sin(2)6f xx时，在(0,)3x上，即5532(,)662x，()f x单调递减 所以56【注意】根据 值，已知()f x在区间上的单调性求参数的值 7D【分析】求出 fx,可得2f的值，能确定 fx的解析式，分类讨论可确定 fx的符号，可得 f x在0,上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较13log 3 2、的大小关系，结合函数 f x的奇偶性与单调性可得结果.【解析】lnsin2f xxfx，cos2fxfxx，2cos2222ff，2cosfxxx，当2x时，2cos0,0 xfx；当02x时，2,2cos2,0 xfxx，即 f x在0,上递增，2yf x的图象关于2x 对称，2yf x向右平移 2 个单位得到 yf x的图象关于y轴对称，即 yf x为偶函数，13log 922bfff，0log 1log 3log1，1103212，即130log 32，132log 3fff，即bca.故选 D.【注意】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.在比较 1f x，2f x，nf x的大小时，首先应该根据函数 f x的奇偶性与周期性将 1f x，2f x，nf x通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.8D【分析】对函数()f x求导，利用导数求得()f x的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围【解析】解：因为21()2(2)1(0)2f xlnxaxxaa 所以2()(2)(0)fxaxaxx，由于0a，故函数()fx在(0,)上为减函数，又 10f，故当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x时，()0f x，函数()f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，13()(1)21122maxf xfaaaa ，且x时，()f x ，故函数()f x的值域为3(,12a，作出函数()f x的草图如下，由图可知，要使函数()f x的值域与函数()yf f x的值域相同，则需31 12a，解得43a，故选：D【注意】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于a的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题 9BD【分析】画出直观图，根据异面直线和共面直线的判定，可知 A 和 C 错误，D 正确，再根据ACN是等边三角形，得出 B 正确.【解析】正方体的直观图如图所示：很显然，BM与 ED不平行，A 错误；连接 AN，AC，易知ACN是等边三角形，CN与 BM 的夹角即为60ANC，B 正确；很显然，CNBE，C 错误；DM与 BN是异面直线，D 正确.故选：BD.10ACD【分析】根据函数图象可确定,A的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断 A;根据三角函数图象的平移变换可得到 g x表达式，判断 B;将43x 代入验证，可判断 C;利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断 D.【解析】由图象知1A ，272()1212 解得2，将12x 代入 fx中得sin(2)112，则 22(Z)122kk，因为0,2 ,()sin(2)33f xx，A 正确；由于将函数 f x图象向右平移12个单位后，得函数sin2()sin(2)1236yxx的图象，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数16sin(2)sin()26yxx的图象，故()sin()6g xx，B 错误；将43x 代入()sin()6g xx中，4sin()136，43x 是曲线 yg x的对称轴，C正确；2cos 23fxx，令()1fx，即12cos 21,cos 2332xx，可得0 x 时满足1cos 232x，此时 30sin32f，则 sin 23f xx在点3(0,)2处的切线方程为330,22yxyx，D 正确，故选：ACD.11ACD【分析】对 A：由抛物线方程及焦点 F 到准线 l的距离为p即可求解；对 B：由抛物线方程即可求解；对 C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对 D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【解析】解：对 B：由抛物线2:4C xy，可得0,1F，准线 :1l y ，故选项 B 错误；对 A：由抛物线2:4C xy，可得24p，即2p，所以焦点 F到准线 l的距离为2p，故选项 A 正确；对 C：过点 P 作PPl，垂足为P，由抛物线的定义可得PFPP，所以PAPFPAPP 3d（d为点2,2A到准线l的距离），当且仅当A、P、P三点共线时等号成立，所以PAPF的最小值是 3，故选项 C 正确；对 D：过点 P、Q分别作PPl，QQl，垂足分别为P、Q，设弦 PQ 的中点为 M，则弦 PQ为直径的圆的圆心为 M，过点 M 作MMl，垂足为M，则MM为直角梯形PP Q Q 的中位线，12MMPPQQ，又根据抛物线的定义有PPPF，QQQF，所以1122MMPFQFPQ，所以以弦 PQ 为直径的圆与准线 l相切，故选项 D 正确；故选：ACD.12BCD【分析】赋值法求 0f的值，判断 A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断 B；赋值法结合换元法判断 C;利用赋值法求得(),Nf n n的值有周期性，即可求得 20231nf n的值，判断 D.【解析】对于 A，令0 xy，则由 2f xyf xyf xfy可得 22020ff，故(0)0f或 01f，故 A 错误；对于 B,当(0)0f时，令0y，则 200f xf xf xf，则()0f x ，故()0fx，函数fx既是奇函数又是偶函数；当 01f时，令0 x，则 2fyfyfy，所以 fyf y，f x为偶函数，则fx为奇函数；综合以上可知fx必为奇函数，B 正确；对于 C，令xy，则 2202fxffx，故 200fxf。由于xR,令2,Rtx t,即 00f tf，即有 00f xf，故 C 正确；对于 D，若 112f，令1,0 xy，则 11210ffff，则(0)1f，故令1xy，则 22021fff，即 1121,222ff ，令2,1xy，则 31221ffff，即 113,(3)122ff ，令3,1xy，则 42231ffff，即 1141,(4)22ff ，令4,1xy，则 53241ffff，即 1151,(5)22ff ，令5,1xy，则 64251ffff，即 116,(6)122ff，令6,1xy，则 75261ffff，即 1171,(7)22ff，由此可得(),Nf n n的值有周期性，且 6 个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff，故 202311337 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)2nf nfffffff，故 D 正确，故选：BCD【注意】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定(),Nf n n的周期性.13120【分析】522axxxx的展开式中各项系数的和为3，令1x，求出a，再求出522axxxx展开式中的常数项即可.【解析】522axxxx的展开式中，各项系数的和为3，令1x，213a ，1a，5555121222222axxxxx xxxxxxxxx 其中52xx的展开式中x的项为22352C xx，即40 x，52xx的展开式中1x的项为33252C xx，即80 x，5221xxxx展开式中的常数项为16040120.故答案为：120.142【分析】根据题意易求出点P的轨迹为圆，轨迹方程为22434xy，再根据两圆的位置关系即可求出PQ的最小值【解析】设,P x y，由2218PAPB可得，2222226418xyxy，化简得，22434xy，所以点P的轨迹为圆，圆心坐标为4,3，点 Q 在圆221xy上，两圆的圆心距为224352 1，所以两圆相离，故PQ的最小值为52 12 故答案为：2 1521yx.【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点1,1，再求出切点坐标，从而得切线方程.【解析】设切点坐标为000,exxx，由xyex得e1xy，切线方程为0000e1exxyxxx，切线过点1,1，00001e11exxxx ，即00e0 xx，00 x，即所求切线方程为21yx.故答案为：21yx.【注意】本题考查导数的几何意义求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程 16221259xy【分析】由题意可知12PF F为直角三角形，由椭圆的定义结合已知条件即可求解【解析】PF1PF2，12PF F为直角三角形，又知12PF F的面积为 9，12|PF1|PF2|9，得|PF1|PF2|18.在 Rt12PF F中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2，即 4a2364c2，a2c29，即 b29，又知 b0，b3，12PF F的周长为 18，2a2c18，即 ac9，又知 a2c29，ac1.由得 a5，c4，所求的椭圆方程为221259xy.故答案为：221259xy 17（1）见解析（2）1 5,2 3【分析】（1）根据已知可变形为111nnaa常数；（2）首先求数列 nb的通项公式，然后利用裂项相消法求111221nSn，若满足23ntSt对*nN恒成立，需满足 min23ntS，maxntS，求的取值范围.【解析】（1）证明：因为1120nnnnaaaa，所以112nnnnaaaa，则1112nnaa 又111a，故数列1na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列（2）由（1）可知121nna，则121nan 因为21nnabn，所以111121212 2121nbnnnn，所以1111111111112335572121221nSnnn 易知nS单调递增，则11132nSS 所以1233t，且12t，解得1523t 故的取值范围为1 5,2 3【注意】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据1nnaa的正负判断单调性，然后求最值.18（1）6.（2）3 5716.（3）19【解析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得B；（2）由二倍角公式求得sin2,cos2AA后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得a，再由余弦定理求得b【解析】（1）232 coscabA，由正弦定理得，2sin3sin2sincosCABA 2(sincoscossin)3sin2sincosAB+ABABA，即2sincos3sinABA.sin0A，3cos2B 又0B，6B（2）由已知得，215sin1 cos4AA 15sin 22sincos8AAA，27cos22cos18AA 3 57sin(2)sin(2)sin2coscos2sin66616ABAAA=.（3）由正弦定理sinsinabAB，得sinsinbAaB.由（1）知，6B，2 3a 由余弦定理得，2222cos19bacacB.19b 【注意】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换 19（1）证明见解析；（2）4 2121.【分析】（1）先证明M为AC的中点，从而/MN AD，由条件可得PAAD，可证90BAD，即BAAD，得到AD 平面PAB，从而得证.(2)设N到平面PBC的距离为,由NPBCP BNCVV根据等体积法可得答案.【解析】（1）证明：在正ABC中，ABBC 设O为AC的中点，由ADCD，则DOAC 在正三角形ABC中，有BOAC 在平面ABCD上，由BOAC，DOAC，则,B O D三点共线 即O与M重合，即M为AC的中点 点N是CD的中点，/MN AD PA 平面ABCD，AD 平面ABCD PAAD 120CDA，30DAC 60BAC，90BAD，即BAAD PAABA，AD 平面PAB，MN 平面PAB （2）解：设N到平面PBC的距离为 在Rt PAB中，4PAAB，4 2PB 在RtPAC中，4PAAC，4 2PC 在PBC中，4 2PB，4 2PC，4BC 设H为BC的中点,由PBPC4 2,则PHBC 则223242 7PHPBBH 112 744 722PBCSBCPH，又在ADC中，4AC，120CDA，ADCD，4 33CD 由（1）可知，60,30BCAACD,则90BCD,即BCCD 111114 34 342222233BNCBDCSSBCCD 由NPBCP BNCVV，且4PA 114 34 74333h，解得4 2121h 点N到平面PBC的距离为4 2121 20（1）详见解析；（2）有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”.【解析】试题分析：（1）由40岁以下的有3100605人，使用微信支付的有260403人，40岁以上使用微信支付有140104人，即可完成2 2列联表；（2）根据2 2列联表求得观测值2K与参考值对比即可求得答案.试题解析：（1）由已知可得，40岁以下的有200 90%180 3100605人，使用微信支付的有18060120 260403人，40岁以上使用微信支付的有180 75%135 140104人所以2 2 2 2列联表为：40岁以下 40岁以上 合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计 60 40 100 （2）由列联表中的数据计算可得2K的观测值为22180 80 555 40k13.333120 60 135 45 210040 3020 105060 40 50 503k，由于5010.8283 13.33310.828，所以有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”【方法注意】本题主要考查及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22列联表；（2）根据公式22n adbcKabadacbd计算2K的值；(3)查表比较2K与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）21(1)5;(2)存在【解析】试题分析：(1)已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据2ba即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于 x 轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于 x 轴,由的面积恒为 8,则转化为1212OABSOC yy.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为和2,2yx yx.所以222,2,5bcacaaa,从而双曲线 E 的离心率5e.(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为222214xyaa.设直线与 x 轴相交于点 C.当lx轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,4OCa ABa,又因为OAB的面积为 8,所以118,48,222OC ABaaa.此时双曲线 E 的方程为221416xy.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为221416xy.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线 E：221416xy也满足条件.设直线的方程为ykxm,依题意,得 k2 或 k+11m fa，根据 f xm恰有一个负根可得1 1mfa，构造函数 e1xg xx，求导可知 g x在1,上单调递减，由此可得241 1efa，结合0a 可确定24e+1 1eaaaaf aaaa，作出 f x在0,的大致图象如下图所示，若 f xm恰好有一个正根，则+1 1m fa；又 f xm恰好有一个负根，且当,1 11 1,xaaa 时，1 1f xfa；当,0 xa 时，+11afxf；1 1mfa 令 e1xg xx，1x，则=e 0afaa，满足+11+11fafa，又0a，24+11 efa，即24em；综上所述：实数m的最大值为24e.【注意】关键点注意：本题考查利用导数求解函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；本题求解参数范围的关键是能够将问题转化为 f x与ym交点的问题，利用导数确定函数的大致图象，采用数形结合的方式，将问题转化为m与函数极值之间的大小关系的问题.