2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 12 页 2022-2023 学年上海市青浦高级中学高一上学期期末数学试题 一、填空题 1函数 12f xx的定义域为_.【答案】,2【分析】解不等式20 x即可得出函数 f x的定义域.【详解】对于函数 12f xx，有20 x，解得2x.因此，函数 12f xx的定义域为,2.故答案为：,2.2设xR，写出“1x”的一个充分条件：_【答案】2x（答案不唯一）【分析】根据充分条件的定义求解【详解】只要是集合|1x x 的子集即可，如2x 故答案为：2x（答案不唯一）3已知 a、bR，用反证法证明命题：“若220ab，则 a、b 全为零”时的假设是_【答案】“若220ab，a 不为零或 b 不为零”.【解析】由反证法思路，条件成立时否定原结论，然后证明与条件矛盾的结果，说明原结论成立，即可知命题的假设.【详解】命题“若220ab，则 a、b 全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若220ab，则 a不为零或 b 不为零”，故答案为：a 不为零或 b 不为零.【点睛】本题考查了反证法的思路，条件不变否定结论，属于简单题.4集合|10Ax ax，2|320Bx xx，且ABB，则a的值是_【答案】0 或 1 或12【分析】解一元二次方程，可得集合 1,2B，再由且ABB得到AB，最后分析集合A的元素，可得a的值是0或1或12【详解】23201201,2Bx xxx xx 第 2 页 共 12 页 ABB AB 当0a 时，A，满足题意；当0a 时，1Ax xa 11a或12a，解得：1a 或12 综上所述：a的值为0或1或12 故答案为：0或1或12【点睛】本题考查了集合包含关系的判断及应用，属于基础题；在解决一个集合是另一个集合子集的问题时，应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错 5已知0a 且1a，函数21xya的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为_【答案】(2,2)【分析】根据指数函数的图象与性质求解.【详解】令20 x得2x，此时1 12y ，所以图象过定点(2,2)故答案为：(2,2)6已知16log 3m，则9log 16 _（用 m表示）【答案】12m【分析】由对数的换底公式及运算法则求解【详解】由题意91616111log 16log92log32m 故答案为：12m 7已知函数 231xf xx的图像关于点P中心对称，则点P的坐标是_【答案】1,2；【分析】由题意，对函数进行简化，可得 235211xfxxx，即可求得点P的坐标.【详解】235211xfxxx，函数 231xf xx的图像关于点P中心对称，点P的坐标是1,2.故答案为：1,2【点睛】本题主要考查函数的中心对称点，对于分式形式可采用分离参数法求解，属于基础题.第 3 页 共 12 页 8已知 f x是定义在|0Dx x上的奇函数，当0 x 时，2f xxx，则当0 x 时，f x _【答案】2xx；【分析】首先，根据当0 x 时，2f xxx，令0 x，则0 x，然后结合函数为奇函数，求解相对应的解析式.【详解】令0 x，则0 x，22fxxxxx ，函数 f x是定义在|0Dx x上的奇函数，fxf x，2f xxx，2f xxx 故答案为：2xx【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解析式，需掌握函数奇偶性的定义，属于基础题.9在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度 v（单位：m/s）和燃料的质量 M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量 m（单位：kg）满足2000e1vMm（e 为自然对数的底）当燃料质量 M 为火箭（除燃料外）质量 m 的_倍时，火箭的最大速度可以达到 8000m/s（结果精确到 0.1）【答案】53.6【分析】由已知函数式解方程可得【详解】由2000e1vMm得2000ln(1)2000ln(1)MMvnm，2000ln(1)8000Mm，ln(1)4Mm，4e153.6Mn，故答案为：53.6.10方程35232xxx的解集是_【答案】3523xx#3 5,2 3.【分析】利用零点分区间法去绝对值符号，分段解方程.第 4 页 共 12 页【详解】当32x时，原方程化为：(53)(32)2xxx，即32x，故此时32x；当3523x时，原方程化为：(53)(23)2xxx，即22xx，故此时3523x.当523x时，原方程化为：35232xxx ，即53x，当2x 时，原方程化为：35232xxx ，即32x，舍去.综上所述：方程22335xxx的解集为：3523xx.故答案为：3523xx.11已知函数23,22,2xxyxm x的值域是,9，则实数 m 的取值范围是_【答案】0,)【分析】分别求出2x 和2x 时y的取值范围，然后由值域可得集合的关系，从而得参数范围【详解】2x 时，39xy 且0y，即(0,9y，因此2x 时，y的取值范围应包含(,0，又2x 时，22yxmm，所以0m 故答案为：0,)12设R,Zam，若存在唯一的 m使得关于 x 的不等式组21122xmxa有解，则 a 的取值范围是_.【答案】(1,13【分析】根据给定条件，确定 m 的最小值，再由函数不等式有解得当0m 时不等式组有解，当1m 时不等式组无解，求出 a的范围作答.【详解】依题意，2111222x ，由不等式21122xm有解知，12m，而mZ，因此Nm，因存在唯一的 m使得关于 x 的不等式组21122xmxa有解，则当且仅当0m 时，不等式组211022xxa有解，且当1m 时不等式组211122xxa 无解，第 5 页 共 12 页 由211022xxa有解得11xxa 有解，于是得1a，解得1a ，由211122xxa 无解得331xxa 无解，于是得13a，解得13a ，因此113a ，所以 a 的取值范围是(1,13.故答案为：(1,13【点睛】结论点睛：函数 yf x的定义区间为D，若xD，使得()mf x成立，则max()mf x；若xD，使得()mf x成立，则min()mf x.二、单选题 13下列函数中，既是偶函数，又是在区间0,上单调递减的是（）A1yx B2xy C1lnyx D2yx【答案】C【分析】首先判断函数1yx为奇函数，从而判断 A 错误，根据指数函数和二次函数的单调性即可判断 B、D 选项的函数在区间0,上单调递增，从而判断 B、D 都错误，而根据偶函数定义、减函数定义，以及对数函数单调性即可判断选项 C 正确.【详解】对于 A，1yx为奇函数，该选项错误；对于 B，0 x 时，22xxy 单调递增，该选项错误；对于 C，1lnyx为偶函数，当0 x 时，11lnlnyxx单调递减，该选项正确；对于 D，2yx在区间0,上单调递增，该选项错误；故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，需掌握常见函数的性质，属于基础题.14xR，且使代数式有意义，则下列代数式中最小值为 2 的是（）A1xx B22xx C224xx D22122xx【答案】B 第 6 页 共 12 页【分析】根据基本不等式判断【详解】选项 A 中，0 x 时，0y，不合题意；选项 B 中，222222xxxx，当且仅当0 x 时等号成立，满足题意；选项 C 中，22224424xxxx，当且仅当2x 时等号成立，不满足题意；选项 D 中，222211222222xxxx，当且仅当22122xx时等号成立，但此方程无实解，不合题意 故选：B 15设函数 322xf xx则其零点所在的区间为（）A0,1 B1,2 C2,3 D3,4【答案】B【分析】分别计算 0f，1f，2f，3f，4f，根据零点存在定理结合函数的单调性，得到答案.【详解】函数 322xf xx，所以 040f ，110f ，270f，53302f，255404f，又 2332122xxfxxx，因为函数3yx在,上为单调递增，函数212xy在,上单调递减，所以函数 2312xf xx在,上单调递增，结合零点存在定理，可知 f x的零点所在区间为1,2.故选：B.16函数 yf x是定义域为R的奇函数，且对于任意的12xx，都有 12121f xf xxx成立.如果 f mm，则实数m的取值集合是（）A0 B0m m C0m m DR【答案】C 第 7 页 共 12 页【分析】依题意可得 g xf xx在定义域R上单调递减，由 00g，则 f mm等价于 0g mg，根据函数的单调性即可得解；【详解】解：因为对于任意的12xx，都有 12121f xf xxx，当12xx时 1212f xf xxx，即 1122f xxf xx，当12xx时 1212f xf xxx，即 1122f xxf xx，即 g xf xx在定义域R上单调递减，又 yf x是定义域为R的奇函数，所以 00f，所以 0000gf，则 f mm，即 0f mm，即 0g mg，所以0m，即不等式 f mm的解集为0m m；故选：C 三、解答题 17设关于 x的不等式42 20 xx的解集为 M，不等式103xx的解集为 N求集合MN【答案】|13xx【分析】解指数不等式得集合M，解分式不等式得集合N，然后由交集定义计算【详解】42 20221xxxx，|1Mx x，(1)(3)01013303xxxxxx ，|13Nxx，|13MNxx 18已知幂函数 23f xx，写出函数定义域，奇偶性，单调区间，值域，零点，并做出大致图像 第 8 页 共 12 页 【答案】答案见解析【分析】描点法作出函数图象，根据图象得出函数的性质【详解】列表：x 3 2 1 0 1 2 3 y 2.08 1.59 1 0 1 1.59 2.08 描点，用光滑曲线连接各点，得函数图象，如图，函数定义域是 R，函数为偶函数（因为图象关于y轴对称），增区间是(0,)，减区间是(,0)，值域是0,)，零点是0 x 19设函数 2f xxxa，a 为常数(1)若 f x为偶函数，求 a的值；(2)设0a，()()f xg xx，0,xa为严格减函数，先将 g x表达式化简（去掉绝对值），再利用函数单调性的定义求实数 a的取值范围【答案】(1)0a；(2)见解析 【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）根据绝对值的定义去掉绝对值符号，由严格减函数的定义求参数范围【详解】（1）由题意()()fxf x，即22xxaxxa ，xaxa，平方得0ax 恒成立，所以0a；第 9 页 共 12 页（2）xa时，2()()1f xxxaag xxxxx，xa时，2()1xaxag xxxx，即1,()1,axxaxg xaxxax，0,xa时，()g x为严格减函数，设120 xxa，121212121212()()()()0 xxx xaaag xg xxxxxx x恒成立，120 xx，120 x xa，即12x xa，又120 xxa，则212x xa，所以2aa，而0a，故解得01a a的范围是(0,1 20环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速 80km/h 经多次测试得到该汽车每小时耗电量 M（单位：Wh）与速度 v（单位：km/h）的数据如下表所示：v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量 M与速度 v的关系，现有以下三种函数模型供选择：3211()40M vvbvcv；22()10003vMva；3()300logaM vvb(1)当080v时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从 A地行驶到 B地，其中高速上行驶 200km，国道上行驶 30km，若高速路上该汽车每小时耗电量 N（单位：Wh）与速度 v（单位：km/h）的关系满足2()210200N vvv(80120)v，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】(1)3211()40M vvbvcv符合，3211()215040M vvvv(2)当高速路上速度为 80km/h，国道上速度为 40km/h 时，总耗电量最少，为 33500Wh 【分析】（1）根据函数的单调性排除，根据定义域排除即可；第 10 页 共 12 页（2）根据题意可得高速路上的耗电量100()400(5)f vvv，再分析()f v的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的3211()215040M vvvv，可得国道上的耗电量21()30(40)11040h vv，根据二次函数的最值分析最小值即可【详解】（1）因为函数22()10003vMva是定义域上的减函数，又3(0)M无意义，所以函数 22()10003vMva与3()300logaM vvb不可能是符合表格中所列数据的函数模型，故3211()40M vvbvcv是可能符合表格中所列数据的函数模型.由 111101325404400607200MMM，得：1402180abc，所以3211()215040M vvvv（2）由题意，高速路上的耗电量200100()()400(5)f vN vvvv 任取12,80,120v v，当12vv时，121 2121 2400()(100)()()0vvv vf vf vv v 所以函数()yf v在区间80,120上是增函数，所以min(80)30500yfWh 国道上的耗电量2213011()()30(2150)30(40)1104040h vM vvvvv 所以min()(40)3300h vhWh 所以当高速路上速度为 80km/h，国道上速度为 40km/h 时，总耗电量最少，为 33500Wh 21已知函数 221xf xx(1)求函数 yf x的值域；(2)若不等式 231x f xxkx 在 1,2x时恒成立，求实数 k的最大值；(3)设 1g xt f x（1 1,xm n，0mn，0t），若函数 yg x的值域为23,23mn，求实数 t的取值范围【答案】(1)(,1)(2)2(3)(0,1)【分析】（1）化简函数得21()1(0)f xxx，由20 x，可求出2111x，从而可求得函数的值域，（2）等式 231x f xxkx 在 1,2x时恒成立，转化为2kxx 在 1,2x时恒成立，令第 11 页 共 12 页 2211()24h xxxx ，可得()h x在1,2上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数 k的最大值，（3）由题意得minmax11()23,()23g xgm g xgnmn，从而可得,m n是方程2310(0)txxtt 的两个不相等的正根，令2()310(0)xtxxtt ，则有94(1)0302(0)10tttt ，从而可求出实数 t的取值范围【详解】（1）由题意得21()1(0)f xxx，因为20 x，所以210 x，则2111x，所以函数()f x的值域为(,1)（2）因为 1,2x，所以不等式可化为231 1kxxx ，所以2kxx，令2211()24h xxxx ，则()h x在1,2上单调递减，所以min()(2)422h xh ，所以2k，所以实数k的取值范围为(,2，所以实数 k 的最大值为2（3）由题意得2()1tg xtx ，因为0t，所以()g x在1 1,(0,0)mnm n上单调递增，所以minmax11()23,()23g xgm g xgnmn，即221123,1123tmm tnn ，所以,m n是方程21123txx，即2310(0)txxtt 的两个不相等的正根，令2()310(0)xtxxtt ，其图象开口向上，对称轴为直线32xt，且有两个不相等的正零点，所以94(1)0302(0)10tttt ，即01tRtt，解得01t 所以实数 t的取值范围为(0,1)第 12 页 共 12 页