2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期 12 月月考数学（理）试题 一、单选题 1从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 A15 B25 C825 D925【答案】B【详解】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510nC，甲被选中包含的基本事件的个数11144mC C，所以甲被选中的概率25mpn，故选 B【解析】古典概型及其概率的计算 2已知命题 P：00 x，00310 xex，则命题 P 的否定为（）A0 x，310 xex B0 x，310 xex C0 x，310 xex D0 x，310 xex 【答案】B【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果【详解】命题p：00 x，00310 xex，则命题p的否定为0 x，310 xex 故选：B 3已知点 M（4，t）在抛物线24xy上，则点 M 到焦点的距离为（）A5 B6 C4 D8【答案】A【详解】由题意得抛物线定义得242Pp，焦点坐标为点(0,1)，M 到焦点的距离为1t ,而244,4t t,所以点 M 到焦点的距离为5,选 A.4直线 l：22 370 xy的倾斜角为（）第 2 页 共 15 页 A6 B3 C23 D56【答案】D【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线22 370 xy的斜率为2332 3，倾斜角的范围为0，,则倾斜角为56.故选：D.5运行如图所示程序后，输出的结果为（）A15 B17 C19 D21【答案】B【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S的值，由此求出退出循环时输出S的值【详解】模拟程序的运行过程，如下：1i，执行循环体，3i，2 3 39S ，5i，2 5313S ，7i，2 7317S，98i，此时退出循环，输出S的值为 17 故选：B 6若动点,P x y满足方程2222228xyxy，则动点 P 的轨迹方程为（）A2211612xy B221164xy C22184xy D2211612xy【答案】A【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点 P 的轨迹方程是以2,0A 与2,0B为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：,P x y到2,0A 与2,0B的距离之和为 8，且 84，故动点 P 的轨迹方程是第 3 页 共 15 页 以2,0A 与2,0B为焦点的椭圆方程，故28a，2c，所以4a，22216412bac，所以椭圆方程为2211612xy.故选：A 7设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据,1,2,iix yin，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71yx，则下列结论中不正确的是（）A若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg B回归直线过样本点的中心,x y C若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg Dy与x具有正的线性相关关系【答案】A【分析】对于 AC，由回归直线方程的意义即可判断；对于 B，由线性回归方程恒过样本点的中心即可判断；对于 D，由0b 即可判断.【详解】对于 A，当某女生的身高为 170cm 时，其体重估计值是 58.79kg，这不是确定值，所以 A结论不正确，故 A 正确；对于 B，因为回归直线必过样本点的中心,x y，所以 B 结论正确，故 B 错误；对于 C，由线性回归方程的意义知，某女生的身高增加 1cm，其体重约增加 0.85kg，所以 C 结论正确，故 C 错误；对于 D，由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85，因此 y与 x具有正的线性相关关系，所以 D 结论正确，故 D 错误.故选：A 8新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020 年 7 月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示，图 1 为国内三大产业比重，图 2 为第三产业中各行业比重 第 4 页 共 15 页 下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）A第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平 B第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值 C若“住宿和餐饮业”生产总值为 7500 亿元，则“房地产”生产总值为 22500 亿元 D若“金融业”生产总值为 41040 亿元，则第二产业生产总值为 166500 亿元【答案】D【分析】根据扇形图及柱形图中的各产业与各行业所占比重，得到第三产业中“其他服务业”及“金融业”的生产总值占总生产总值的比重，进而比较出 AB 选项，利用“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值，求出“房地产”生产总值，判断出 C 选项，利用第三产业中“金融业”的生产总值与第二产业的生产总值比值，求出第二产业生产总值，判断 D 选项.【详解】A 选项，第三产业中“其他服务业”的生产总值占总生产总值的000000573218.24，因为000018.246，所以第三产业中“其他服务业”的生产总值明显高于第一产业的生产总值，A 错误；B 选项，第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的00000057169.12，因为00009.126，故第一产业的生产总值少于第三产业中“金融业”的生产总值，B 错误；“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值为313，若“住宿和餐饮业”生产总值为 7500 亿元，则“房地产”生产总值为375003250013亿元，故 C 错误；第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的00000057169.12，与第二产业的生产总值比值为00009.12:37，若“金融业”生产总值为 41040 亿元，则第二产业生产总值为410409.1237166500亿元，D 正确.故选：D 9已知椭圆22142xy的两个焦点是12FF、，点P在椭圆上，若12|2PFPF，则12PFF的面积是 A31 B21 C3 D2【答案】D【详解】2212+1,4,22 242xyPFPFc，122PFPF，可得123,1PFPF，第 5 页 共 15 页 2212 29，21PF F是直角三角形，12PF F的面积212111 2 2222PFFF，故选D.10已知抛物线220 xpy p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为（）A=3y B32y C3x D32x 【答案】B【分析】设 1122,A x yB x y，进而根据题意，结合中点弦的问题得3p，进而再求解准线方程即可.【详解】解：根据题意，设 1122,A x yB x y，所以2112xpy，2222xpy，所以，得：1212122xxxxp yy，即1212122AByypkxxxx，因为直线 AB 的斜率为 1，线段 AB 的中点的横坐标为 3，所以121212213AByyppkxxxx，即3p，所以抛物线26xy，准线方程为32y .故选：B 11已知点00,P x y为椭圆2222:1(0)xy Cabab上一点，1F，2F分别为椭圆 C 的左右焦点，当02by 时，1260FPF，则椭圆 C的离心率为（）A2 77 B77 C12 D22【答案】A【分析】由 P在椭圆上求出 P 的横坐标，利用焦半径公式及余弦定理得到关于 a，c 的方程，求解可得椭圆的离心率.【详解】由00,P x y在椭圆2222:1(0)xyCabab上，且02by，可得22034xa，不妨取03 2xa，则1032PFaexac，2032PFaexac.在12FPF中，则2222233342cos60224cacacac，第 6 页 共 15 页 即2222222333433444caaccaaccac.2247ca，则2 77cea.故选：A 12已知1F2F分别为椭圆的左右焦点，点C是以1F2F为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2CF与椭圆交于Q，若124CFQF，则直线2CF斜率为（）A3 B2 C3 D12【答案】B【分析】作图，根据椭圆的几何性质和圆的几何性质以及条件，找出图中的几何关系，运用勾股定理以及斜率的定义求解.【详解】设椭圆方程为22221xyab，半焦距为 c；由题意，显然12CFCF，设2QFm，则14CFm，由椭圆的几何性质知：122CFCFa，224CFam ，12QFam，23CQam，在1Rt CQF 中，22211CFCQQF，即22216232,0mamamm，解得3am，1122124,2,tan2CFCFm CFmCF FCF，直线2CF 的斜率为21tan2kCF F ；故选：B.二、填空题 13某同学 10 次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的第 7 页 共 15 页 平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小为_（用“”符号连接）【答案】cab【分析】将数据从小到达的顺序排列，从而求出平均数、中位数、众数，即可比较出它们的大小【详解】将数据从小到达的顺序排列，则为93,93,94,94,95,95,96,97,97,97，所以平均数为9393949495959697979795195.11010a，中位数为9595952b，众数为97c，所以cab，故答案为：cab.14若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合，则p的值为_.【答案】4【分析】求得双曲线2213xy的右焦点为(2,0)，得到22p，即可求解.【详解】由题意，双曲线2213xy的右焦点为(2,0)，因为抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，即22p，解答4p.【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质是解答的关键，属于基础题.15若命题“存在实数 x，使210 xax”为假命题，则实数 a的取值范围为_.【答案】22a 【分析】根据特称命题的性质将条件转化为求一元二次不等式的参数求解即可.【详解】解：命题“存在实数 x，使210 xax”为假命题，则此命题的否定为：Rx，有210 xax”成立，即原命题的否定为真命题，即解：Rx，有210 xax”成立的 a的范围，则240a，解得：22a，即实数 a的取值范围为22a.故答案为：22a.16已知F为双曲线22:1169xyC的左焦点，PQ、为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的 2 倍，点(5,0)A在线段PQ上，则PQF的周长为_ 第 8 页 共 15 页【答案】40【详解】由双曲线方程得435abc，则虚轴长为 6，线段PQ过点5,0A为双曲线的右焦点，22PFPAaQFQAa，41228PFQFa,PQF的周长为28 1240 三、解答题 17已知p：2820 0 xx，q：110m xm m.(1)若q是p的必要不充分条件，求实数m的范围；(2)若q是p的必要不充分条件，求实数m的范围.【答案】(1)9m ；(2)03m.【分析】(1)根据充分必要条件的定义，先求出 p的范围，再确定 q；(2)根据命题否定的定义，求出p 和q，确定p 的范围，再确定 m 的范围.【详解】（1）由题意，2:8200,1020,210p xxxxx ，由于 q 是 p的必要不充分条件，12110mm ，9m ；（2）2:8200,2p xxx 或者10 x ，:1q xm 或者1xm ，q 是p 的必要不充分条件，12110mm ，3m；综上，（1）9m；（2）03m.18已知圆 C：224630 xyxy(1)若过点1,1的直线 l与圆 C相交所得的弦长为4 3，求直线 l的方程；(2)若 P 是直线l：230 xy上的动点，PA，PB是圆 C 的两条切线，A，B 是切点，求四边形 PACB面积的最小值【答案】(1)4370 xy或1y .(2)8 【分析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设11,lyk x：利用垂第 9 页 共 15 页 径定理列方程求出 k，即可求出直线方程；（2）过 P作圆 C的两条切线，切点分别为 A、B，连结 CA、CB，得到2416PACBSPC四边形.判断出当PCl时,PC最小，四边形 PACB 面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，min2 5PC，即可求出四边形 PACB面积的最小值.【详解】（1）圆 C：224630 xyxy化为标准方程为：222316xy，所以圆心为2,3C，半径为 r=4.（1）当斜率不存在时,x=1 代入圆方程得315y ,弦长为2 15,不满足条件；（2）当斜率存在时,设11,lyk x：即10kxyk.圆心 C到直线 l的距离22223124 3162211dkkkkk，解得:34k 或 k=0,所以直线方程为4370 xy或1y .（2）过 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A、B，连结 CA、CB，则,CAPA CBPB.因为,PAPB PCPC,所以,Rt PCARt PCB 所以2221224162PCAPACBSSPArPCrrPC四边形.所以当PCl时,PC最小，四边形 PACB面积取得最小值.所以min224332 521PC，所以242 5168PACBS四边形，即四边形 PACB面积的最小值为 8.19某电视台为宣传本省，随机对本省内 1565 岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示 第 10 页 共 15 页 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第 1 组 15,25 a 0.5 第 2 组 25,35 18 x 第 3 组 35,45 b 0.9 第 4 组 45,55 9 0.36 第 5 组 55,65 3 y (1)分别求出a、b、x、y的值；(2)从第 234 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，并从这 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.(3)求出直方图中，前三组（第 123 组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？【答案】(1)5a，27b，0.9x，0.2y (2)15(3)33.3 【分析】（1）先算出第 4 组的总人数，再根据频率分布直方图得到第 4 组的频率，从而可计算总人数n，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得,a b x y的值；（2）先利用分层抽样求得第 2、3、4 组抽取的人数，再利用列举法及古典概型概率的求法即可得解；（3）利用频率分布直方图平均数的求法即可求得所求.【详解】（1）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组总人数为9250.36，再结合频率分布直方图可知251000.025 10n，第 11 页 共 15 页 所以100 0.01 10 0.55a，1000.03 100.927b，18180.9100 0.02 1020 x，330.2100 0.015 1015y.（2）由（1）可知第 2、3、4 组回答正确的共有41589b 人，所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人，第 2 组抽取186254（人），记为,m n；第 3 组抽取276354（人），记为,r s t；第 4 组抽取96154（人），记为c；所以从 6 人随机抽取 2 人的基本事件有,mn mr ms mt mc nr ns nt nc rs rt rc st sc tc，共 15 件，其中所抽取的人中恰好没有第 3 组的人（记为事件M）的基本事件有,mn mc nc，共 3 件，所以 31155P M，即所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率为15.（3）根据题意，得 前三组（第 123 组）的频率为0.01 100.02 100.03 100.6，所以前三组（第 123 组）的平均年龄数0.01 100.02 100.03 1020020304033.30.60.60.66.20已知双曲线C：222210,0 xyabab与双曲线22162yx的渐近线相同，且经过点2,3.(1)求双曲线C的方程；(2)已知双曲线C的左右焦点分别为1F，2F，直线l经过2F，倾斜角为34，l与双曲线C交于,A B两点，求1F AB的面积.【答案】(1)2213yx (2)6 2 【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；（2）根据题意求出直线AB的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去y后由韦达定理得1212,xxx x，从而由弦长公式求得弦长AB，再求出1F到直线AB距离后即可求得1F AB的面积【详解】（1）依题意，设所求双曲线C方程为2262yx，代入点2,3得223262，即12，所以双曲线C方程为221622yx，即2213yx 第 12 页 共 15 页（2）由（1）得21 34c ，则2c，12,0F，22,0F，又直线l倾斜角为34，则3tan14 k，故直线AB的方程为2yx，设11,A x y，22,B xy，联立22213yxyx，消去y，得22470 xx，则164 270 ，122xx，1272x x ，由弦长公式得 222127111242ABkxx 23 26，又点12,0F 到直线:20AB xy的距离2022 22d，所以1116 2 26 222F ABSAB d 21某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各 4 投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的.(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；(2)估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）1 2 3 4 5 销售收益y（单位：万元）2 3 2 7 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的第 13 页 共 15 页 回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221niiiniix ynxybxnx，aybx.【答案】(1)2(2)5(3)空白栏中填 5，1.20.2yx 【分析】（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为1，得到关于m的等式，求解出m即可；（2）由各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出,b a，即可求解出回归直线方程.【详解】（1）设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为 1，可知0.080.10.140.120.040.020.51mm，解得2m.所以图中各小长方形的宽度为 2.（2）由（1）知各小组依次是0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，各小组的中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，所以可估计销售收益的平均值为1 0.163 0.25 0.287 0.249 0.08 11 0.045 .（3）由（2）可知空白栏中填 5，由题意可知12345232573,3.855xy ，511 22 33 24 55 769iiix y ，522232211234555iix，根据公式，可求得2695 3 3.8121.2555 310b ，则3.8 1.2 30.2a ，所以所求的回归直线方程为1.20.2yx.22 已知以坐标原点O为圆心的圆与抛物线C：220ypx p相交于不同的两点,A B，与抛物线C的准线相交于不同的两点,D E，且4ABDE.(1)求抛物线C的方程；(2)若不经过坐标原点O的直线l与抛物线C相交于不同的两点MN，且满足OMON，证明直线第 14 页 共 15 页 l过定点Q，并求出点Q的坐标.【答案】(1)24yx(2)证明见解析，4,0Q 【分析】（1）利用弦长公式及ABDE，结合对称性可得直线AB的方程为2px，从而利用焦点弦公式求得p，由此得解；（2）设直线l的方程为0 xmyn n，1122,M x yN xy，联立直线与抛物线方程得到124y yn，由OMON得12120 x xy y，从而得到关于n的方程，由此求解即可.【详解】（1）依题意，易知圆心O到直线DE（即抛物线C的准线2px ）的距离为12pd，不妨设圆心O到直线AB的距离为2d，则222212,ABrdDErd，4ABDE，所以212pdd，则由圆与抛物线的对称性可知，ABx轴，故直线AB的方程为2px，即过抛物线C的焦点,02p，所以2422ABppABxxppp，故2p，故抛物线C的方程为24yx.（2）由题意知，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为0 xmyn n，1122,M x yN xy，联立24xmynyx，消去x，得2440ymyn，则216160mn，124yym，124y yn，因为OMON，所以12120 x xy y，又2211224,4yx yx，则22121216y yx x，所以222121212124016y yx xy yy ynn，解得4n 或0n（舍去），当4n 时，216160mn，满足题意，所以直线l的方程为4xmy，令0y，则4x，故直线l过x轴上一定点4,0Q.第 15 页 共 15 页