2021-2022学年吉林省长春市第八中学高二下学期5月(月考)线上考试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 16 页 2021-2022 学年吉林省长春市第八中学高二下学期 5 月（月考）线上考试数学试题 一、单选题 1观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量 x，y 之间的随机变量2的观测值最小的是（）A B C D【答案】B【分析】直接由等高条形图中12,x x所占比例相差越小，随机变量2的观测值越小判断即可.【详解】等高的条形图中12,x x所占比例相差越小，随机变量2的观测值越小.故选：B.2 已知双曲线2222:10,0 xyCabab的焦点到一条渐近线的距离为 3，离心率为54，则以双曲线 C 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A26yx B28yx C216yx D220yx【答案】C【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离求得b，结合离心率求得a，从而求得抛物线的标准方程.【详解】双曲线的右焦点,0c到渐近线0bxay的距离为223bcbcbcab，离心率222954cabaeaaa，第 2 页 共 16 页 222222925,2516144,9144,16,416aaaaaaa，所以双曲线的右顶点为4,0，对于抛物线22ypx，4,8,2162ppp，所以抛物线方程为216yx.故选：C 3设nS为数列 na的前 n项和若23nnSa，则5a（）A48 B81 C96 D243【答案】A【分析】根据11,1,2nnnS naSSn，作差得到na是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列，即可求出 na的通项公式，再代入计算可得.【详解】解：由23nnSa，当1n 时1123aa，即13a，当2n时，1123nnSa，则122nnnaaa，即12nnaa(2)n 数列na是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列，则13 2nna，453 248a 故选：A 4相关变量 x，y 的散点图如图，若剔除点10 21,，根据剩下数据得到的统计量中，较剔除前数值变大的是（）Ar B2R C2 D621iiiyy【答案】B 第 3 页 共 16 页【分析】由散点图可知，剔除点10 21,后相关性更强，依次判断 4 个选项即可.【详解】由散点图可知，,x y负相关，剔除点10 21,后，相关性更强，故r更接近1，r变小，A 错误；相关指数2R变大，残差平方和621iiiyy变小，B 正确，D 错误；2变小，C 错误.故选：B.5从 1，2，3，4，5，6，7 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B：“取到的 2 个数之和为 3 的倍数”，则P B A等于（）A79 B23 C49 D13【答案】D【分析】记事件A为“取到的 2 个数之和为偶数”，事件B为“取到的 2 个数之和为 3 的倍数”，计算出()P A，()P AB，则()(|)()P ABP B AP A，由此能求出结果【详解】从 1，2，3，4，5,6，7 中任取 2 个不同的数，记事件A为“取到的 2 个数之和为偶数”，事件B为“取到的 2 个数之和为 3 的倍数”，则227243C+C37()CP A，723()71P ABC，则7331(1(|)(7)P ABP B AP A 故选：D 6园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉现有 4 种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（）A144 种 B120 种 C96 种 D72 种 第 4 页 共 16 页【答案】C【分析】按照,A B D E C的顺序分步考虑可能性，再相乘即可.【详解】先考虑 A 区有 4 种可供选择，再考虑 B 区有 3 种，D区有 2 种，E区有 2 种，C区有 2 种，由分步乘法计数原理得共有4 3 2 2 296 种.故选：C.7若3log 2a，53b，7log 4c，则 a，b，c的大小关系（）Aabc Bbac Ccba Dbca【答案】A【分析】根据指数与对数的关系得到5log 3b，再根据对数函数的性质得到27310b，1223a，7110c即可判断；【详解】解：由53b，所以5log 3b，又2333555555221log 5log 3log27log25log 5log 533，即213b；又10359049，7578125，所以10735，即71035，所以710557log 3log 510，即27310b，23333333312log3log 2log8log9log 323，即1223a，23337777721log 7log 4log64log49log 73，即213c，又 21010421048576，77823543，所以10747，即71047，所以710777log 4log 710，即7110c，综上可得cba，故选：A 8已知以原点为中心、公共焦点1F、2F在x轴上的椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，1260F PF，且二者的离心率满足1 21e e，12ee在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布24212,N ee的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：2,XN，则0.6827PX ，第 5 页 共 16 页 220.9545PX，330.9973PX）A2718 B3413 C4773 D4987【答案】D【分析】设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，设122F Fc，利用椭圆、双曲线的定义结合余弦定理可求得1e、2e的值，可求得、的值，利用3原则求出阴影部分区域的面积，再乘以10000可得结果.【详解】设椭圆、双曲线的左、右焦点分别为1F、2F，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，设122F Fc，由椭圆和双曲线的定义可得12112222PFPFaPFPFa，解得112212PFaaPFaa，由余弦定理可得2222121212121242cos60FFcaaaaaaaa，所以，2221243caa，所以，2221314ee，又因为1 21e e，101e，21e，解得133e，23e，所以，2221e，2113e，所以，30，图中阴影部分的面积为023313PXPPXX 0.49865，因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.498654987.故选：D.二、多选题 9下列说法正确的是（）A直线32yaxaaR必过定点3,2 B直线32yx在 y轴上的截距为 2 C直线310 xy 的倾斜角为 60 第 6 页 共 16 页 D过点1,2且平行于直线230 xy的直线方程为20 xy【答案】AC【分析】将直线方程化为320 xay，即可求出直线过定点坐标，从而判断 A，令0 x 求出y，即可判断 B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断 C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断 D；【详解】解：对于 A，32yaxaaR，即320 xay，令3020 xy，即32xy，所以直线32yaxaaR必过定点(3,2)，故 A 正确；对于 B，对于直线32yx，令0 x 得2y ，所以直线32yx在y轴上的截距为2，故 B 错误；对于 C，直线310 xy，即31yx，所以斜率3k，其倾斜角为60，故 C正确；对于 D，过点(1,2)且平行于直线230 xy的直线方程为：12(1)2yx，即250 xy，故 D 错误，故选：AC 10记nS为等差数列 na的前 n项和已知735S，813a，则（）A311nan B23nan C231922nSnn D22nSnn【答案】BD【分析】由已知条件列方程组求出1,a d，从而可求出其通项公式和求和公式【详解】设等差数列 na的公差为d，因为735S，813a，所以117 67352713adad，即1135713adad，解得112ad，所以1(1)12(1)23naandnn ，第 7 页 共 16 页 221(1)22nn nSnadnnnnn ，故选：BD 11下列各式正确的有（）A211xx B1cos62 C 122xxx D1ln2xx【答案】AD【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；【详解】解：对于 A：211xx，故 A 正确；对于 B：3cos062，故 B 错误；对于 C：22 ln2xx，故 C 错误；对于 D：111ln22222xxxxx，故 D 正确；故选：AD 12 已知13nxx展开式的二项式系数和为 64，离散型随机变量,01XB n pp，则下列命题中正确的有（）A4n B当12p 时，D X取得最大值 C当13p 时，121231P XX D 21022EXE XE XDX的最小值为 0【答案】BC【分析】由二项式系数和即可判断 A 选项；由二项分布的方差公式即可判断 B 选项；由二项分布概率公式及条件概率即可判断 C 选项；由22()()()E XD XE X及期望方差公式即可判断 D 选项.【详解】由二项式系数和为 64，可得264n，故6n，A 错误；2136(1)6()22D Xppp，当12p 时，D X取得最大值，B 正确；第 8 页 共 16 页(1P X 且2)X 5416612212(1)C333P X ，(2)(0)(1)(2)P XP XP XP X 65244012666621212231CCC333333 ，故121231P XX，C 正确；由 222222()2()()2()()D XEXE XE XXE XE XE XE XE X22()()E XE X，则2222()()()6(1)6630E XD XE Xppppp，224()24(1)2424DXD Xpppp，10103322EXE XE XE Xp，故 2222102630242433632EXE XE XDXppppppp2136()48p，故14p 时，取最小值38，D 错误.故选：BC.三、填空题 13经过两条直线1:40lxy和22:0 xyl的交点，且与直线210 xy 垂直的直线方程为_【答案】270 xy【分析】联立两直线方程，求出方程的解，即可求出焦点坐标，设所求方程为20 xyn，代入交点坐标，即可求出参数的值，从而得解；【详解】解：由4020 xyxy，解得13xy ，即直线1:40lxy和22:0 xyl的交点坐标为1,3，设与直线210 xy 垂直的直线方程为20 xyn，则 1 230n ，解得7n，所以直线方程为270 xy；故答案为：270 xy 第 9 页 共 16 页 14若2nxx展开式中的第 6 项是二项系数最大的项，则 n 的所有可能取值之和为_【答案】30【分析】分只有第 6 项最大，第 5 项和第 6 项最大，第 6 项和第 7 项最大依次求出n的值，即可求解.【详解】若只有第 6 项是二项系数最大的项，即5Cn最大，则10n；若第 5 项和第 6项是二项系数最大的项，即45CCnn最大，则9n；若第 6 项和第 7 项是二项系数最大的项，即56CCnn最大，则11n；故 n的所有可能取值之和为109 1130.故答案为：30.15已知直线 l与抛物线24yx交于 A、B 两点，若线段 AB的中点为3,2，则线段 AB的长度为_【答案】8【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线为2(3)yk x，11(,)A x y，22(,)B xy，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据1232xx，求出参数k，再根据焦点弦公式计算可得；【详解】解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为2(3)yk x，11(,)A x y，22(,)B xy，由22(3)4yk xyx，消去y整理得2222644(23)0k xkk xk 当0k 时，显然不成立 当0k 时，2122644kkxxk，又1232xx得226446kkk，解得1k，当1k 时直线10 xy，又焦点(1,0)F满足直线10 xy 所以1212|(1)(1)2ABFAFBxxxx，又126xx，|8AB 故答案为：8 第 10 页 共 16 页 16若函数lnyx的图象在点2e,2处的切线也与函数ex ky的图象相切，则实数 k的值为_（其中 e 为自然对数的底数）【答案】23e23e【分析】先求导求出点2e,2处的切线斜率，写出切线方程，再设出函数ex ky上的切点，表示出切线方程，由两条切线对应系数相等，解方程即可.【详解】由lnyx得1yx，则点2e,2处的切线斜率为21e，切线方程为2212(e)eyx，即211eyx；由函数ex ky得ex ky，设切点为,ea ka，则切线斜率为ea k，故切线方程为()eea ka kyxa，即eeea ka ka kyxa，则21eeee1a ka ka ka，解得221 e3eak ，故2e3k.故答案为：23e.四、解答题 17某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：零件的个数 x（个）3 4 5 6 加工的时间 y（h）2.5 3 4 4.5 (1)已知零件个数与加工时间线性相关，求出 y 关于 x 的经验回归方程；(2)试预测加工 8 个零件需要多少时间？参考公式：1221niiiniix ynxybxnx，aybx.【答案】(1)0.70.35yx(2)5.95小时【分析】（1）由表格数据求出41iiix y，421iix，x，y，即可求出b，a，从而得到回归直线方程；（2）将8x 代入回归直线方程，即可求出预测值；第 11 页 共 16 页【详解】(1)解：由表中数据得：413 2.54 35 46 4.566.5iiix y ，4222221345686iix，34564.54x，2.5344.53.54y，266.544.53.50.78644.5b，3.50.74.50.35aybx，0.70.35yx(2)解：将8x 代入回归直线方程，得0.780.355.95y （小时）预测加工8个零件需要5.95小时 18某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了 80 名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分 100 分，将数据分成 6 组：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并整理得到频率分布直方图：(1)求 a的值；(2)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的成绩的众数 n、中位数 m、平均数x（每组成绩用中间值代替）；(3)现将频率视为概率，从全校成绩在 80 分及以上的学生中随机抽取 9 人，用 X 表示其成绩在90,100中的人数，求 X 数学期望及方差【答案】(1)0.020a；(2)75n，75m，74x；(3)期望为 3，方差为 2【分析】（1）直接由频率和为 1，即可求出 a 的值；（2）按照频率分布直方图众数、中位数、平均数的求法依次求解即可；（3）先求出在 80 分及以上的学生中抽取一人其成绩在90,100的概率，判断出服从二项分布，再由公式计算期望方差即可.第 12 页 共 16 页【详解】(1)0.005 100.010 100.015 100.040 10100.010 101a，解得0.020a；(2)众数75n，由0.005 100.010 100.015 100.3，0.005 100.010100.015 100.040100.7知中位数m位于70,80中，则0.005 100.010 100.015 100.040(70)0.5m，解得75m，平均数45 0.005 1055 0.010 1065 0.015 1075 0.040 1085 0.020 1095 0.010 10 x 74；(3)在 80 分及以上的学生中抽取一人其成绩在90,100的概率为0.01010.0100.0203，抽取9 人时，1(9,)3XB，故其期望为1()933E X ，方差11()91233D X.19已知等差数列 na的公差为0!，等比数列 nb的公比为31035CA若将 4 个不同的小球全部放入 3 个不同的盒子里，且每个盒子都不空的放法有45ab种，而从1,2,9这 9个数字中取三个互不相邻的数字有355ba种方法求：(1)数列 na及数列 nb的通项公式；(2)数列nnab的前 n 项和nS【答案】(1)nan，2nnb (2)11 22nnSn【分析】（1）先计算得到公差与公比，45ab种放法为先从 4 个不同的小球中选出 2 个作为一组，再将 3 组全排列；355ba种方法为将 3 个数字插入剩余 6 个数字中，即可不相邻；再根据通项公式求出1a，1b，即可求解；（2）由（1）可设2nnnncabn，利用错位相减法即可求解.【详解】(1)由题，公差0!1d，公比31035C2Aq，则234543C A36ab，33575C35ba，第 13 页 共 16 页 所以411112111133 16365420435adbqaba qadba，解得1112ab，所以nan，2nnb.(2)由（1），设2nnnncabn，则121 2222nnSn，所以23121 2222nnSn，作差可得，1212222nnnSn 121 221 2nnn 1122nn，所以11 22nnSn.20 已知2344012341111xaaxaxaxax，椭圆220243:1xyCaaaa的右焦点为 F，上、下顶点分别为 M、N(1)求椭圆 C 的标准方程及以线段 MF 为直径的圆 P的标准方程；(2)求过点 N 与圆 P 相切的直线的方程【答案】(1)椭圆22:184xyC，圆 P 的标准方程22112xy；(2)2yx或72yx.【分析】（1）先由二项展开式求得01234,a a a a a，即可求得椭圆 C的标准方程，求出 M、F 的坐标，求出圆心及半径，即可求得圆 P 的标准方程；（2）斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设出直线方程，由dr求出斜率即可.【详解】(1)由4234401234111111xaaxaxaxxxa，则004C1a，123414243444C4,C6,C4,C1aaaa，故椭圆22:184xyC，则上顶点(0,2)M，842c，右焦点(2,0)F，故圆 P的圆心 1,1，半径222222，故圆 P 的标准方程22112xy；(2)由（1）知：下顶点(0,2)N，圆心(1,1)，当斜率不存在时，直线方程为0 x，与圆 P 不相切，不合题意；第 14 页 共 16 页 当斜率存在时，设直线为2ykx，则22 121kk，解得7k 或1k，即直线方程为2yx或72yx.21某统计平台对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了 100 人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）年龄 15,25 25,35 35,45 45,55 55,65 65,75 频数 10 20 30 20 10 10 赞成人数 6 16 24 12 6 1 (1)若以“年龄 45 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的 22 列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 (2)若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在45,75被调查的人中选取 8 人，现从选中的这 8 人中随机选取 3 人，求这 3 人中年龄在55,65的人数 X 的概率分布列及 X 的数学期望 20P 0.025 0.010 0.005 0.001 0 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：22n adbcabcdacbd【答案】(1)列联表见解析，能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”；第 15 页 共 16 页(2)分布列见解析，期望为34【分析】（1）直接填出列联表，计算2，和 6.635 比较即可；（2）先按照分层抽样计算人数，再分别计算 X为 0，1，2 的概率，列出分布列，计算期望即可.【详解】(1)列联表如下：年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 19 46 65 不赞成 21 14 35 合计 40 60 100 计算观测值2210019 1446 218.9746.63565 35 40 60，故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”.(2)45,55、55,65、65,75三个年龄段的人数比为2:1:1，故抽取人数依次为 4，2，2 人，故 X 的取值为 0，1，2，则3638C5(0)C14P X，216238C C15(1)C28P X，126238C C3(2)C28P X，分布列如下：X 0 1 2 P 514 1528 328 故 X 的数学期望51533()0121428284E X .22已知函数 lnf xxx(1)求 f x的单调区间及极值；(2)若不等式1ee0 xfxa对x R恒成立，且2aZ，求实数 a 的最小值（其中e 为自然对数的底数）【答案】(1)单调递减区间10,e，单调递增区间1,e，极小值1e 第 16 页 共 16 页(2)32【分析】（1）分别由 0fx，0fx，0fx得出单调递减区间，单调递增区间，极值点即可；（2）1ee01 exxfxaaxx，设 1 exxg xx，通过导数法讨论 g x单调性，进而得到 maxg x，进而可求答案【详解】(1)由 ln10fxx 得1ex，故 f x的单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e，极小值为11eef (2)1ee1 e01 exxxfxaxaaxxx，令 1 exxg xx，则 1exxg x 为减函数，1122e0g，11 e0g，故存在点01,12x，令 00gx，即00e1xx，即 00000max011 e1xag xg xxxxx，设 111,12h xxxx，则 2110h xx，即 112hh xh，即 0312g xh x，因为2aZ，所以min32a