2022-2023学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知角的终边经过点(8,6)，则cos的值为（）A34 B43 C45 D35【答案】C【分析】根据任意角三角函数的定义直接求解即可.【详解】因为角的终边经过点(8,6)，所以2284cos586xr，故选：C 2cos17 cos43sin17 sin223（）A12 B32 C12 D32【答案】C【分析】由两角和的正弦公式和诱导公式，即可求出结果.【详解】cos17 cos43sin17 sin223cos17 cos43sin17 sin 180+43 cos17 cos43sin17sin43cos17 cos43sin17 sin43，由两角和的正弦公式，可知cos17 cos43sin17 sin43cos 1743=cos1=+=260 故答案为：C 3如图，U为全集，M，P，S是 U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A()MPS B()MPS C()UMPS DU()SMP【答案】C【分析】根据集合间的关系求解即可.【详解】图中的阴影部分是MP的子集，不属于集合 S，属于集合 S的补集，即是US的子集，则第 2 页 共 17 页 阴影部分所表示的集合是()UMPS.故选：C 4下列函数既是奇函数又在(1,1)上是增函数的是（）Asinyx B2yx C22xxy Dlg(1)yx【答案】A【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】因为sinyx是奇函数又在(1,1)上是增函数，所以 A 正确.因为2yx 定义域为,00,，所以在1,0和0,1是增函数，所以 B 错误.因为22xxy是偶函数不是奇函数，所以 C 错误.因为lg(1)yx定义域为1,不具备奇偶性，所以 D 错误.故选：A 5设tan92a，21b，log 92c，则 a，b，c的大小关系是（）Acab Bcba Cabc Dbac【答案】B【分析】根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计abc，的大小，由此确定它们的大小关系.【详解】92是第二象限角，tan920a，指数函数1xy在R上为减函数，且023，32011101，01b，logyx为(0,)上的增函数，92 log 921c，cba 故选：B.第 3 页 共 17 页 6函数 cos2xf xx的部分图像大致是（）A B C D【答案】C【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为 cossin2xxxf xx,sinsinxxfxf xxx .所以 f x为奇函数,故AB选项错;0,sin0 xx 0f x,故D选项错;故选:C.7已知定义在1,2aa上的偶函数 f x，且当0,2xa时，f x单调递减，则关于 x 的不等式123f xfxa的解集是（）A2(0,)3 B1 5,6 6 C1 2,3 3 D2 5(,3 6【答案】D【分析】由偶函数的性质求得a，利用偶函数的性质化不等式中自变量到20,3上，然后由单调性转化求解【详解】解：由题意1 20aa，13a，()f x的定义域2 2,3 3，20,3x时，()f x递减，又()f x是偶函数，因此不等式123f xfxa转化为121fxfx，第 4 页 共 17 页 21213xx，224(1)(21)9xx，解得2536x 故选：D 8一半径为 2m 的水轮，水轮圆心 O距离水面 1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每 3 秒转一圈，且当水轮上点 P从水中浮现时（图中点0P）开始计算时间如图所示，建立直角坐标系，将点 P 距离水面的高度 h（单位：m）表示为时间 t（单位：s）的函数，记()hf t，则()(1)(2)f tf tf t（）A0 B1 C3 D4【答案】C【分析】根据题意设 hf（t）Asin（t+）+k，求出、A、T和 k、的值，写出函数解析式，计算 f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值【详解】根据题意，设 hf（t）Asin（t+）+k，（20），则 A2，k1，因为 T3，所以 223T，所以 h2sin（23t+）+1，又因为 t0 时，h0，所以 02sin+1，所以 sin12，又因为20，所以 6，所以 hf（t）2sin（23t6）+1；所以 f（t）3sin23tcos23t+1，f（t+1）2sin（23t2）+12cos23t+1，f（t+2）2sin（23t76）+13 sin23tcos23t+1，所以 f（t）+f（t+1）+f（t+2）3 故选：C 第 5 页 共 17 页 二、多选题 9已知,a b c是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（）A222()2abab B若0ab，则|2|abba C若ab，则11ab D若0,cba.则abcc【答案】ABD【分析】可以使用基本不等式，对于任意实数ab，222abab，当且仅当ab 时取等号，可以判断 A；可以使用基本不等式，对于任意正实数Rab，2abab，当且仅当ab 时取等号，可以判断 B；可以通过作差，再利用不等式的性质可以判断 C；利用不等式的性质可以判断 D.【详解】对于 A：2222abab 等价于22222baba等价于222abab，当且仅当ab 时取等号，对于任意实数ab，都成立，故 A 正确；对于 B：由于0ab ，所以22ababbaba，当且仅当abba，即ab时取等号，对于任意实数ab，都成立，故 B 正确；对于 C：由于11baabab，实数ab，的符号不确定，故ab的符号也不确定，故 C 错误；对于 D：由于0c，则10c，又因为ab，所以abcc，故 D 正确.故选：ABD 10先将函数()sinf xx的图像向右平移6个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数()g x的图像，则关于函数()g x，下列说法正确的是（）A在0,4上单调递增 B图像关于直线56x 对称 第 6 页 共 17 页 C在,4 2上单调递减 D最小正周期为，图像关于点,012对称【答案】ABD【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，整理函数解析式，根据整体代入的方法可得答案.【详解】先将函数()sinf xx的图像向右平移6个单位长度后，可得sin6yx的图像，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数()sin 26g xx的图像，则当0,4x时，2,66 3x，故()g x单调递增，故 A 正确；当56x 时，()1g x ，为最小值，故()g x的图像关于直线56x 对称，故 B 正确；当,4 2x时，52,636x，此时()g x不单调，故 C 不正确；由题意可得()g x的最小正周期为，当12x 时，()0g x，故()g x的图像关于点,012对称，故D 正确，故选：ABD.11已知函数 20lg0 xxf xxx，方程 21 0fxmf x 有 4 个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A函数 f x的零点的个数为 2 B实数m的取值范围为3,2 C函数 f x无最值 D函数 f x在0,上单调递增【答案】ABC【分析】根据分段函数图像可以判断 ABD，而选项 C，结合分段函数的图像性质，分析得到210tmt 两个不等的实根122tt0，0，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.【详解】因为函数 20lg0 xxf xxx，可得函数图像如图：第 7 页 共 17 页 由图知函数 f x有 2 个零点，故 A 选项正确；函数 f x没有最值，故 C 选项正确；函数 f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故 D 选项错误；由于方程 21 0fxmf x 有 4 个不同的实数根，令 tf x则210tmt 有 4 个不同的实数根，因为2m40 恒成立，设210tmt 两个不等的实根为12tt，由韦达定理知：121 2,1ttm t t，则12tt，异号，由图可知：122tt0，0，所以22210m，解得32m，故 B 选项正确；故选：ABC【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 12已知函数 f x满足对任意的xR都有 2f xf x，13f，若函数1yf x的图象关于点1,0对称，且对任意的12,0,1x x，12xx，都有 11221221x f xx f xx f xx f x，则下列结论正确的是（）A f x是偶函数 B f x的图象关于直线1x 对称 C202220233ff D5524ff【答案】BCD【分析】对于 A 选项：根据函数1f x的图象关于点1,0对称,则函数 f x的图象关于点0,0对称，即可判断；第 8 页 共 17 页 对于 B 选项：由 A 选项可知函数 f x为奇函数，可推得2f xfx，即可判断图象关于直线1x 对称；对于 C 选项：由 2f xf x 可推出函数 f x是周期为 4 的周期函数，结合函数奇偶性可推得20220f，20233f，即可判断 C；对于 D 选项：由 11221221x f xx f xx f xx f x可得 12120 xxf xf x，推出函数 f x在区间0,1上单调递增，结合函数性质求得5122ff，5344ff，即可得5524ff.【详解】A 选项：由函数1f x的图象关于点1,0对称，可得函数 f x的图象关于点0,0对称，所以函数 f x为奇函数，故 A 不正确.B 选项：由函数 f x为奇函数可得 2f xf xfx，故函数 f x的图象关于直线1x 对称，故 B 正确.C 选项：由函数 f x满足对任意的xR都有 2f xf x，可得 42f xf xf x，所以函数 f x是周期为 4 的周期函数.因为,Rf xx为奇函数，所以 00f，由 2f xf x 得 020ff，故 20f，则 2022505 4220fff，2023505 433113fffff ，所以 20222023033ff，故 C 正确.D 选项：由对任意12,0,1x x，12xx，都有 11221221x f xx f xx f xx f x，即对任意的12,0,1x x，12xx，都有 12120 xxf xf x，可得函数 f x在区间0,1上单调递增.因为553314222222fffff，5532444fff，且1324，所以1324ff，即5524ff,故 D 正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于此类关于函数图象的对称问题，要理解并能应用以下常见结论：第 9 页 共 17 页（1）对于函数 f x，若其图象关于直线xa对称（当0a 时，f x为偶函数），则f axf ax；2faxfx；2faxf x.（2）对于函数 f x，若其图象关于点,0a对称（当0a 时，f x为奇函数），则f axf ax；2faxfx；2faxf x.（3）对于函数 f x，若其图象关于点,a b对称，则2f axf axb；22faxfxb；22faxf xb.三、填空题 13已知集合|1|3Mxx，|31xNx，则MN_.（用区间作答）【答案】0,4【分析】先解绝对值与指数不等式化简集合,M N，再利用集合的交集运算即可求得MN.【详解】因为|1|3x，所以313x ，则24x，所以|1324Mx xxx，因为0313x，所以0 x，故|310 xNxx x，所以040,4MNxx.故答案为：0,4.14若3sin63，则cos3_.【答案】33【分析】根据诱导公式即可化简求解.【详解】3c2os3sinsin336,故答案为：33 15设 f x是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若112f，则20212f_.【答案】1 第 10 页 共 17 页【分析】先由 f x的奇偶性与题设条件推得 1fxfx，从而证得 f x是周期函数，进而利用 f x的周期性与奇偶性求得20212f.【详解】因为 f x是定义域为R的奇函数，所以 fxf x，又因为1fxfx，所以 1fxfx，所以 21fxfxf x，则 f x是周期为2的周期函数，所以2021111101012222ffff .故答案为：1.16函数sincos2sin cos2yxxxx的值域是_.【答案】3,324【分析】首先换元sincosxxt，再利用三角变换，将函数转化为关于t的二次函数，再求值域.【详解】设sincosxxt，因为2sin4tx，所以2,2t，则22sincos1xxt，2221312124yttttt ，当12t 时，函数取得最小值34，当2t 时，函数取得最大值32，所以函数的值域是3,324 故答案为：3,324 四、解答题 17已知为第三象限角，且3sincostan()22()sintan(2)2f.(1)化简()f；(2)若2 6()5f，求cos()的值.【答案】(1)sin；(2)15 第 11 页 共 17 页【分析】(1)利用三角函数的诱导公式即可化简；(2)根据2 6()5f求出 sin，cos()cos21 sin即可求得【详解】（1）cossin(tan)()sincos(tan)f （2）2 6()sin5f，2 6sin5，又为第三象限角，222 61cos1 sin1()55 ，1cos()cos5 18已知函数 23cossinsin,f xxxx xR(1)求函数 fx的最小正周期与单调增区间；(2)求函数 fx在0,4上的最大值与最小值【答案】(1)T，单调增区间,()36kkkZ(2)max()1f x，min()0f x 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；（2）利用整体法求函数的最值.【详解】（1）解：223cossinsin2 3sincos2sin3sin2cos21f xxxxxxxxx 2sin 216x，函数的最小正周期22T，令222,262kxkkZ，解得,36kxkkZ，所以单调递增区间为,36kkkZ（2）0,4x，22,663x，1sin 2,162x，第 12 页 共 17 页 即 2sin 210,16fxx，所以max()1f x，min()0f x.192020 年 12 月 17 日凌晨，经过 23 天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔 40 多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMvvm计算火箭的最大速度(m/s)v，其中0(m/s)v是喷流相对速度，(kg)m是火箭(除推进剂外)的质量，(kg)M是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知 A 型火箭的喷流相对速度为1000(m/s).（1）当总质比为 200 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500(m/s)，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：ln2005.3，2.7182.719e.【答案】（1）5300m/s；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为 74.【解析】（1）代入公式0lnMvvm中直接计算即可（2）由题意得10ln1000lnMMvvmm，203ln1500ln233MMvvmm，则211500ln1000ln5003MMvvmm，求出Mm的范围即可【详解】（1）0ln1000 5.35300m/sMvvm，（2）10ln1000lnMMvvmm，203ln1500ln233MMvvmm.因为要使火箭的最大速度至少增加500m/s，所以211500ln1000ln5003MMvvmm，即：3ln2ln13MMmm，所以332233ln2lnlnlnlnln13327MMMMMMmmmmmmMm，即27Mem，所以27Mem，第 13 页 共 17 页 因为2.7182.719e，所以2773.38Mem.所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为 74.【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题 20在22|11xAxx，|1|2Axx，23|log1xAx yx这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U R，_，22|0.Bx xxaa(1)若2a，求()()UUC AC B；(2)若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.【答案】(1)11|x xx 或(2),34,【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A；（2）对集合 B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选：222213|1|0|0|131111xxxxAxxxxxxxxx，22|0|()10|(2)(1)0Bx xxaaxxaxaxxx，所以|21Bxx，|13UC Ax xx 或，|21UC Bx xx 或，故()()UUC AC B11|x xx 或.若选：|12|212|13Ax xxxxx 22|0|()10|(2)(1)0Bx xxaaxxaxaxxx，所以|21Bxx，|13UC Ax xx 或，|21UC Bx xx 或，第 14 页 共 17 页 故()()UUC AC B11|x xx 或.若选：233|log031 011xxAx yxxxxxx|13xx，22|0|()10|(2)(1)0Bx xxaaxxaxaxxx，所以|21Bxx，|13UC Ax xx 或，|21UC Bx xx 或，故()()UUC AC B11|x xx 或.（2）由（1）知|13Axx，22|0|()10Bx xxaaxxaxa，因为“xA”是“xB”的充分不必要条件，（i）若(1)aa，即12a，此时|(1)Bxaxa，所以1,3(1)aa 等号不同时取得，解得4a.故4a.（ii）若(1)aa，则B，不合题意舍去；（iii）若(1)aa，即12a，此时|(1)Bxaxa，1(1),3aa 等号不同时取得，解得3a .综上所述，a的取值范围是,34,.第 15 页 共 17 页 21设函数()sin2cos36f xxx（03），将该函数的图像向左平移6个单位长度后得到函数()g x的图像，函数()g x的图像关于 y 轴对称.(1)求的值；(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数()f x在一个周期内的图像；(3)设关于 x的方程3(1)026xmfg xm在区间7,06上有两个不相等的实数根，求实数 m 的取值范围.【答案】(1)2(2)图像见解析(3)2,1 【分析】（1）先对 f x 作恒等变换，再求出 g x 解析式，根据条件求出；（2）用整体代入法取 5 点作图；（3）将原方程转化为一元二次方程求解.【详解】（1）sin2cos36sincoscossin2coscos2sinsin3366f xxxxxxx 1333sincos3cossinsincos2222xxxxxx 3sin6x，3sin666g xfxx，是偶函数，并且03,2；（2）由（1）的结论得 3sin 26fxx，取 5 点得下表：x 12 6 512 23 1112 第 16 页 共 17 页 f x 0 3 0 3 0 作下图：（3）由（1）得 3cos2g xx，原方程为：3sin3cos 231063mxxm，22sinsin2066xmxm，7,06x ，令sin6tx，7,06x，则 t关于 x的函数图像如下图：由图可知：当10t 时，任意一个 t对于 2 个 x，当102t 时，任意一个 t对应 1 个 x，并且112t ；变为：2220tmtm，即1 220ttm ，即不论 m 为何值，1t 总是原方程的一个解，欲使得原方程有 2 个解，必须是102t ，22mt 2,1 ；综上，2，2,1m .22已知函数 2221f xaxax，其中aR.(1)若对任意实数12,2,4x x，恒有 129sin2f xx，求a的取值范围；(2)是否存在实数0 x，使得00ax 且 0022f xxa？若存在，则求0 x的取值范围；若不存在，则加以证明.【答案】(1)2,；第 17 页 共 17 页(2)存在，0121,2x.【分析】(1)首先求出29sin2x在22,4x 上的最大值，问题转化为 max29sin2f xx对任意2,4x成立，然后化简不等式，参变分离构造max4ax 即可.(2)分 a0 和 a0 两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.【详解】（1）22,4x，224,8x，2sin21,1x ，x22mamax9s91i,n2sin2xx，原问题 9f x对任意2,4x成立，即22219axax 对任意2,4x成立，即4ax对任意2,4x成立，max42ax .故 a的范围是：2,.（2）0000,0,0,20,aaxxxa 2000002222122f xxaaxaxax 020021021xaxx，2000000212102121210 xxxxxx，00 x，0210 x，不等式变为0021210 xx，0121,2x；(2)0000,0,0,20aaxxxa，2000002222122f xxaaxaxxa 2000024122axaxxax 20002161a xxx 0002006110610216xaxxxx ，00 x，此时无解.综上所述，存在0121,2x 满足题意.