2023届天津市第二十五中学高三上学期期末数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 15 页 2023 届天津市第二十五中学高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知全集1234U ，集合2,123AB，则()UAB（）A134，B3 4，C3 D4【答案】D【分析】先求,A B的并集再求补集即可.【详解】易知1,2,3AB，则()4UAB，故选：D.2已知xR，则“03x”是“2230 xx”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断两个不等式对应集合的关系，根据充分必要条件的定义即可【详解】设03Axx 223013Bx xxxx AB xAxB ，但xB推不出xA “03x”是“2230 xx”的充分不必要条件 故选：A 3函数32ln|2|()(2)xf xx的图象可能是下面的图象（）A B 第 2 页 共 15 页 C D【答案】A【分析】由233ln22ln|2|()(2)(2)xxf xxx，利用其对称性排除部分选项，再由0 x 时，函数值的正负判断.【详解】解：233ln22ln|2|()(2)(2)xxf xxx，因为 233ln 22ln|2|(4)(2)(2)xxfxf xxx，所以 f x关于点2,0对称，排除 BC，当0 x 时，0f x，故排除 D，故选：A 4某校 120 名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示，其中阅读时间是8 10小时的组频数和组频率分别是（）A15 和0.125 B15 和0.25 C30 和0.125 D30 和0.25【答案】D【分析】由频率分布直方图求解.【详解】解：由频率分布直方图知：阅读时间是8 10小时的组频率是0.12520.25，阅读时间是8 10小时的组频数是1200.2530，故选：D 5设128a，3log 2b，2log 3c，则a，b，c的大小关系为（）第 3 页 共 15 页 Aabc Bbac Cbca Dcab【答案】C【分析】利用中间数和对数函数的单调性可判断三者之间的大小，从而可得正确的选项.【详解】因为33log 2log 31b，22log 3log 21c，故cb.因为112222842log 4log 3ac，故acb，故选：C.6在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABBC，且22 3PAABBC，则三棱锥PABC外接球的体积等于（）A2033 B203 C2053 D20【答案】C【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.【详解】因为三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ABBC 不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为22 3PAABBC，则长方体的长宽高分别为2,2 2 3，所以三棱PABC外接球的半径为 2221222 352R.所以三棱锥PABC外接球的体积为 33442055333VR.故选：C.第 4 页 共 15 页 7函数 sinf xAx0,0，其图象的一个最低点是,26P，距离P点最近的对称中心为,04，则（）A3 B1312x是函数 f x图象的一条对称轴 C,06x 时，函数 f x单调递增 D f x的图象向右平移0 个单位后得到 g x的图象，若 g x是奇函数，则的最小值是6【答案】C【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论【详解】解：函数()sin()(0f xAx，0)的图象的一个最低点是,26P，距离P点最近的对称中心为,04，2A，61244，6，6262k，Zk，解得322k，Zk，因为0，令1k，可得2，所以函数()2sin(6)2cos62f xxx，故A 错误；13132cos022cos21261f，故函数关于13,012对称，故 B 错误；第 5 页 共 15 页 当,06x 时，6,0 x，函数()f x单调递增，故 C 正确；把()f x的图象向右平移(0)个单位后得到()2cos(66)g xx的图象，若()g x是奇函数，则622k，Nk，即312k，Nk，令0k，可得的最小值是12，故 D 错误，故选：C 8已知双曲线22221xyab（0a，0b）的两条渐近线与抛物线22ypx（0p）的准线分别相交于点 A，B 两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为3，则p（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】由公式221bea可得渐近线斜率，数形结合根据三角形面积列方程可得.【详解】如图，记抛物线的准线与 x 轴交于点 D，由题知，2212ba，解得3ba 所以3AOD，因为2pOD，所以3tan32pBDOD 所以3322AOBppS，解得2p 故选：B 9已知函数 2f xx x，xR，若方程 1f xax恰有 5 个互异的实数根，则实数a的取值范围是 第 6 页 共 15 页 A51,4 B5,4 C1,D5,4【答案】A【分析】利用参数分离法得|2|1|ax xx，作出函数|2|1|yx xx的图象，利用数形结合可求出实数a的取值范围.【详解】由 2f xx x可得|2|1|x xax 即2221,12131,121,2xxxax xxxxxxxx，作出函数|2|1|yx xx的图象，如下图所示：由图象可知当1,2xx时，1y；当 12x时，2235531244yxxx ；当1x时，221551()244yxxx ，方程 1f xax恰有 5 个互异的实数根，则,21yayx xx有 5 交点，通过图象可知：514a，故本题选 A.【点睛】本题考查了函数与方程的应用，利用参数分离法把条件转化成两个函数图象交点的问题，利用数形结合是解决本问题的关键.二、填空题 10若i为虚数单位，复数满足1 i1 iiz，则z的虚部为_.第 7 页 共 15 页【答案】122【分析】先计算出1 i2，再结合复数的运算求出z，即可求出z的虚部.【详解】由221 i1(1)2，则1 i1 ii=2iz，故2i 1 i2112 i2i1 i1 i 1 i2z，所以z的虚部为122.故答案为：122.11732xx展开式中的常数项是_(用数字作答)【答案】14【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得结果.【详解】7 77217732C2CrrrrrrrTxxx，令7702r，得1r，故展开式中的常数项为 11272 C14T 故答案为：14.12 直线 l：0 xym被圆 C：224630 xyxy截得的弦长为4 2，则 m 的值为_.【答案】1 或 9【分析】根据圆的弦长公式计算即可【详解】224630 xyxy22(2)(3)16xy，圆心 C2,3，半径4r，圆心 C到直线 l的距离23522mmd，则2224 2rd，即2(5)1682m，解得9m或 1 故答案为：9 或 1 13已知0 x，0y，且22xy，则433xyxy的最小值为_.【答案】4 333【分析】将目标式中 4 代换成24xy，展开由基本不等式可得.第 8 页 共 15 页【详解】因为22xy 所以43243444 3332333333xyxyxyyxxyxyxy 当且仅当4322yxxyxy，即3133,2xy时，取等号，所以433xyxy的最小值为4 333.故答案为：4 333 14在四边形 ABCD中，ADBC，3AB，5AD，30A，点 E 在线段 CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_.【答案】1【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解【详解】建立如图所示的直角坐标系，因为ADBC，3AB，5AD，30BAD 则(3,0)B，150CBA 又35 3cos305,2215sin305,22DDxADyAD 则5 3 5(,)22D，因为AEBE，所以30CBxBAEABE ，所以直线BE的斜率为3tan303k，其方程为3(3)3yx，直线AE的斜率为33，其方程为33yx,第 9 页 共 15 页 由3(3),333yxyx 得32x，12y ，所以31(,)22E,由3 3 5,22BD，31,22AE，所以3 3 5313 3351(,)(,)122222222BD AE，故答案为：1.三、双空题 15 一袋中有大小相同的 4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是_，若从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则|P B A _.【答案】35 35【分析】（1）直接使用公式；（2）条件概率公式的使用.【详解】恰有一个白球的概率12243635C CPC；由题可知A“第一次取到红球”，B“第二次取到红球”，则 23P A，4 326 55P AB，所以 3|5P ABP B AP A.故答案为：35，35.四、解答题 16在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c已知sin3sin,6 cos,7AB abC c(1)求角 C的度数；(2)求sinB的值；第 10 页 共 15 页(3)求sin 23B的值【答案】(1)3(2)2114(3)3 314 【分析】（1）根据sin3sinAB化角为边，再结合6 cosabC，求出cosC，即可得解；（2）利用余弦定理求出b，再根据正弦定理即可得解；（3）利用二倍角公式求出sin 2,cos 2BB，再根据两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin3sinAB，所以3ab，又6 cosabC，所以36 cosbbC，所以1cos2C，又0,C，所以3C；（2）由余弦定理可得2222coscababC，则222793bbb，解得1b，所以3a，因为sinsinbcBC，所以31sin212sin147bCBc；（3）解：因为cb，所以CB，所以21 si5 7co1ns4BB，则5 3sin22sincos14BBB，2211cos2cossin14BBB，所以3 3sin 2sin2 coscos2 sin33314BBB.17如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，1ABADCF，2AEBC 第 11 页 共 15 页 (1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)求平面BDE与平面ADE夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)49(3)23 【分析】（1）先证明平面 BCF平行于平面 ADE，即可证明直线 BF平行于平面 ADE；（2）建立空间直角坐标系，求出平面 BDE 的法向量，利用向量数量积即可求解；（3）分别求出平面 BDE和平面 ADE 的法向量，利用向量数量积即可.【详解】（1）/CFAE，/,ADBC AD 平面 ADE，AE 平面 ADE，ADAEA，BC 平面 BDE，CF 平面 BDE，BCCFC，平面 ADE/平面 BDE，BF 平面 BDE，/BF 平面 ADE；（2）依题意，,AEAD AEAB ABAD，以 A 为原点建立空间直角坐标系如下图：则0,0,0,0,1,0,2,1,0,1,0,0,0,0,2,2,1,1ABCDEF，2,1,2CE ，1,1,0,0,1,2BDBE ，第 12 页 共 15 页 设平面 BDE 的一个法向量为,nx y z，则有00n BDn BE，020 xyyz ，令 x=2，则 y=-2，z=-1，2,2,1n ，设 CE与平面 BDE的夹角为，则有 2222222 212214sincos29221212n CEn CE ，（3）显然平面 ADE 的一个法向量为m=(0，1，0)，设平面 ADE 与平面 BDE的夹角为，则 2cos3n mn m；综上，CE与平面 BDE 的夹角的正弦值为49，平面 ADE 与平面 BDE 的夹角的余弦值为23.18已知1F是椭圆222210 xyabab的左焦点，上顶点 B的坐标是0,2，离心率为63.(1)求椭圆的标准方程；(2)O为坐标原点，直线 l过点1F且与椭圆相交于 P，Q 两点.若OPQ的面积为2 63，求直线 l的方程；【答案】(1)22162xy(2)=2x或320 xy或320 xy 【分析】（1）由题意可知2b，再由离心率可知2222213bcaa，可得26a，即可求解；（2）由（1）知12,0F，设直线:2l xty，1122,P x yQ x y，联立221622xyxty，由根与系数的关系结合三角形面积公式即可求解【详解】（1）因椭圆22221(0)xyabab的上顶点 B0,2，则2b，令椭圆半焦距为c，由离心率为63得63ca，即2222213bcaa，解得26a，所以椭圆的标准方程为22162xy.（2）由（1）知，=2c，12,0F，第 13 页 共 15 页 显然直线 l不垂直于 y 轴，设直线:2l xty，1122,P x yQ x y，由221622xyxty消去x并整理得：223420tyty，则12122242,33tyyy ytt，222121212222422 6144333ttyyyyy yttt，因此OPQ的面积为2112212 612 6233tOFyyt，解得=0t或3t ，直线 l的方程为=2x或320 xy或320 xy.19已知等差数列 na为递增数列，nS为数列 na的前n项和，5699a a，10100S.(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足13nnnab，求 nb的前n项和nT.【答案】(1)21nan；(2)11313nnTn.【分析】（1）根据已知条件，求得56,a a，再求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求na，解得nb，再利用错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设数列 na的公差为d，易知0d，因为10100S，即110561051002aaaa，即5620aa，又5699a a，故56,a a为方程220990 xx的两根，解得9x 或11x，又数列为递增数列，故可得569,11aa，即12,49dad，解得11a，故21nan.（2）13nnnab11213nn，故12nnTbbb 即0111111321333nnTn ，第 14 页 共 15 页 则1211111113232133333nnnTnn ，作差可得12121111122133333nnnTn，即1111332111221222133313nnnnTnn ，解得11313nnTn.20已知函数 211ln12fxxaxax.(1)若3x 是 f x的极值点，求 f x的单调区间和极值；(2)若 1fx 恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)1,2.【分析】（1）先求出 a的值，利用导数求出单调区间和极值；（2）对 a分类讨论：i.0a；ii.01a；iii.1a；iv.1a；分别讨论 a的取值范围，即可求解.【详解】（1）函数 211ln12fxxaxax定义域为0，1afxxax.因为3x 是 f x的极值点，所以 33103afa，解得：3a.此时 113fxxxx.令 0fx，解得：1x 或3x.列表得：x 0,1 1 1,3 3 3,fx+0-0+f x 单增 极大值 单减 极小值 单增 第 15 页 共 15 页 所以 f x在0,1上单增，f x在1,3上单减，f x在3,上单增.所以 f x的极大值为 15140 122f ；f x的极小值为 2113334 33ln3 13ln322f ；即 f x的增区间为0,1，3,；减区间为1,3.f x的极大值为 512f；f x的极小值为 1333ln32f.（2）1fx 恒成立，即0 x 时，211ln02xaxax恒成立.令 211ln,02g xxaxaxx，则 111agxxaxaxxx.i.当0a 时，由 0g x得：01x，所以 g x的单减区间为0,1；由 0gx得：1x，所以 g x的单增区间为1,，故 min0112g xga，得12a ；ii.当01a时，由 0g x得：1ax，所以 g x的单减区间为,1a；由 0gx得：0 xa或1x，所以 g x的单增区间为0,a，1,.此时 1102ga ，不合题意；iii.当1a 时，0gx恒成立，所以 g x在 R 上单调递增，此时 1102ga ，不合题意；iv.当1a 时，由 0g x得：1xa，所以 g x的单减区间为1,a；由 0gx得：01x或xa，所以 g x的单增区间为0,1，,a，此时 1102ga ，不合题意；综上所述：1fx 恒成立，a的取值范围为1,2.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.
