2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二上学期期末模拟数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高二上学期期末模拟数学试题 一、单选题 1已知等比数列 na中，各项都是正数，且1321,22aaa成等差数列，则91078aaaa A12 B12 C32 2 D32 2【答案】C【详解】试题分析：由已知3122aaa，所以21112a qaa q，因为数列na的各项均为正，所以21q，22291078787832 2aaa qa qqaaaa故选 C【解析】等差数列与等比数列的性质 2已知等差数列 na的前 n项和为nS，若12a，且319SS，则21S（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】方法一：319SS193451941980SSaaaaa 4190aa 2112345192021Saaaaaaaa 12320211419122aaaaaaaaa，方法二：由于2nSAnBn是二次函数2()f xAxBx,当x n时的函数值()nSf n，根据二次函数的对称性，由319SS可知，nS的关于11n对称，因此21112SSa，故选:B 3若曲线 cosf xax与曲线 21g xxbx在交点0,m处有公切线，则ab A1 B0 C2 D1【答案】D 第 2 页 共 19 页【详解】分析：由曲线()cosf xax与曲线2()1g xxbx在交点(0,)m出有公切线，根据斜率相等，求解0b，根据点(0,)m在曲线 g x上，求得1m，进而求得a的值，即可求解 详解：由曲线()cosf xax，得()sinfxax，则(0)sin 00fa，由曲线2()1g xxbx，得()2g xxb，则(0)gb，因为曲线()cosf xax与曲线2()1g xxbx在交点(0,)m出有公切线，所以(0)(0)fg，解得0b，又由(0)1g，即交点为(0,1)，将(0,1)代入曲线()cosf xax，得cos01aa，所以1ab，故选 D 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点(0,)m处的公切线，建立方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力 4 过抛物线216yx焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与直线13x相切，则直线 l 的方程为（）A2 28 2yx或2 28 2yx B416yx或416yx C28yx或28yx D4yx或4yx 【答案】B【解析】当直线 l 垂直与 x 轴时，2164yxx解得8y ，以AB为直径的圆为22(4)64xy与直线13x相离不符题意，当直线 l 的斜率存在时，设 1122,A x yB x y，直线 l 的方程为(4)(0)yk xk，联立圆的方程，结合直线和圆的位置关系，即可得解；另解：过 A，B 分别作准线4x 的垂线垂足分别为A，B，则|,|AFAABFBB，所以以AB为直径的圆与直线4x 相切，又以AB为直径的圆与13x相切，故圆的直径为 17，所以17AB 设直线:4AB xmy，与抛物线方程联立，结合焦点弦公式以及直线和圆的位置关系，即可得解.【详解】当直线 l 垂直与 x 轴时，2164yxx解得8y ，以AB为直径的圆为22(4)64xy与直线13x相离，故直线4x 不满足题意；第 3 页 共 19 页 当直线 l 的斜率存在时，设 1122,A x yB x y，直线 l 的方程为(4)(0)yk xk，则2(4),16,yk xyx化简得22221212216816160,8,16k xkxkxxx xk 圆的半径为122|88222ABxxpk，圆心到直线13x的距离为12228813982xxkk，解得4k ，故直线 l 的方程为416yx或416yx 故选：B 另解：过 A，B 分别作准线4x 的垂线垂足分别为A，B，则|,|AFAABFBB，所以以AB为直径的圆与直线4x 相切，又以AB为直径的圆与13x相切，故圆的直径为 17，所以17AB 设直线:4AB xmy与抛物线联立得216640ymy 记 1122,A x yB x y，则1216yym，212168xxm 又21212|8161617ABpxxxxm 14m 故选：B【点睛】本题考查了焦点弦公式，考查了直线和圆的位置关系，同时考查了利用韦达定理构建基本量之间的关系，有一定的计算量，属于较难题.5设1F，2F分别为双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，点 P 为双曲线右支上一点，M 是2PF的中点，且2OMPF，1234PFPF，则双曲线的离心率为（）第 4 页 共 19 页 A5 B3 C53 D4【答案】A【分析】根据几何关系，可知12PFPF，再结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率.【详解】点,O M分别是线段12FF和2PF的中点，所以1/OMPF，因为2OMPF，所以12PFPF，因为122PFPFa，1234PFPF，解得：18PFa，26PFa，222124PFPFc，即221004ac，解得：5cea.故选：A 6已知函数2()lnf xaxx，若对任意两个不等的正实数1x，2x，都有1212()()2f xf xxx，则实数a的最小值为（）A14 B12 C32 D2【答案】B【分析】不妨设120 xx，由题意，可得1122()2()2f xxf xx，构造函数()()2g xf xx，则()g x在0,上单调递增，从而有()0g x在0,上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.【详解】解：由题意，不妨设120 xx，因为对任意两个不等的正实数1x，2x，都有1212()()2f xf xxx，所以1212()()22f xf xxx，即1122()2()2f xxf xx，构造函数2()()22n0laxxg xfx xxx，则12()()g xg x，所以()g x在0,上单调递增，第 5 页 共 19 页 所以20(2)axxg x在0,上恒成立，即222axx 在0,上恒成立，当0 x 时，因为22111222222xxx，所以max22122xx，所以12a，实数a的最小值为12.故选：B.7已知函数 1exfxx，函数 2lnxfxx，函数 3cosxfxx，函数 4sin2xxfx，四个函数的图象如图所示，则 1234fxfxfxfx，的图象依次为（）A B C D【答案】A【分析】根据定义域、对称性与奇偶性，结合三角函数的图象性质判断即可.【详解】由定义域 2lnxfxx中0 x 可知，图为 2fx.由 33coscosxxfxfxxx 可知 3fx为奇函数，图为 3fx.44sinsin22xxxxfxfx可得 4fx为偶函数，图为 4fx.故而图为 1fx 故选：A 82022 年第二十四届北京冬奥会开幕式上由 96 片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”它可以这样画，任意画一个正三角形1P，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线2P；重复上述两步，画出更小的三角形一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，34,nP PP 第 6 页 共 19 页 设雪花曲线nP的边长为na，边数为nb，周长为nl，面积为nS，若13a，则下列说法正确的是（）A35513,9272al B13185SSS C ,nnnnablS均构成等比数列 D211134nnnnSSba【答案】B【分析】根据已知写出na、nb、nl的通项公式且2n时21134nnnnSSba，应用累加法求nS通项，进而判断各选项的正误.【详解】据题意知：1211111114,43 4,9333nnnnnnnnnnaabbla b，551256,279al，A 错误；21119 3sin6024Sa，当2n时，2222113313 343 444949nnnnnnnSSba，D 错误；221213219 33 3444144999nnnnSSSSSSSS118 327 345209n，由1 119 318 327 3445209S也满足上式，则118 327 345209nnS，所以 nS不构成等比数列，C 错误；由上，3110 3 818 3,355SS，则13185SSS，B 正确.故选：B 第 7 页 共 19 页 二、多选题 9函数()yf x的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A(1,3)为函数()yf x的单调递增区间 B(3,5)为函数()yf x的单调递减区间 C函数()yf x在5x 处取得极小值 D函数()yf x在0 x 处取得极大值【答案】ABC【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断【详解】解：由函数()yf x导函数的图象可知：当1x及35x时，()0fx，即()f x在,1 和3,5上单调递减；当13x 及5x 时，()0fx，即()f x在1,3和5,上单调递增 所以()f x的单调减区间为(,1)，(3,5)，单调增区间为(1,3)，(5,)，()f x在=1x，5x 处取得极小值，在3x 处取得极大值，故选：ABC 10下列说法中正确的有（）A设,A B为两个定点，k为非零常数，|PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线 B方程22520 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C双曲线221259xy与椭圆22135xy有相同的焦点 D过(0,1)作直线，使它与抛物线24yx有且仅有一个公共点，这样的直线有 2 条【答案】BC【分析】对于 A，根据双曲线定义判断即可；对于 B，解方程，根据椭圆和双曲线离心率范围判断即可；对于 C，根据椭圆和双曲线焦点求法判断即可；对于 D，画图判断即可.【详解】对于 A，设,A B为两个定点，k为非零常数，|PAPBk，且ABk，则动点P的轨迹为双曲线，故 A 错误；对于 B，方程22520 xx，即(2)(21)0 xx的两根解得12或 2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故 B 正确；第 8 页 共 19 页 对于 C，双曲线221259xy的焦点在x轴上，25934c，所以焦点为(34,0)，椭圆22135xy的焦点在x轴上，35 134c ，所以焦点为(34,0)，故C 正确；对于 D，抛物线24yx开口向右，2p，过(0,1)作直线，如图 过(0,1)作直线，使它与抛物线24yx有且仅有一个公共点的直线有0 x 和,l m三条直线；故 D 错误；故选：BC 11下列结论正确的是（）A已知点(,)P x y在圆22:(1)(1)2Cxy上，则2yx的最小值是43 B已知直线10kxyk 和以(3,1),(3,2)MN为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为1322k C已知点(,)P a b是圆222xyr外一点，直线 l的方程是2axbyr，则 l与圆相交 D若圆222:(4)(4)(0)Mxyrr上恰有两点到点(1,0)N的距离为 1，则 r 的取值范围是(4,6)【答案】CD【分析】A.令2ykx，即20kxy，根据题意，由圆心到直线的距离2321kdk求解判断；B.根据直线10kxyk 恒过定点（1,-1），求得,PMPNkk判断；C.由点(,)P a b是圆222xyr外一点，得到222xyr判断；D.由圆222:(4)(4)(0)Mxyrr与圆22:(1)1Nxy相交求解判断.【详解】A.令2ykx，即20kxy，因为点(,)P x y在圆22:(1)(1)2Cxy上，则圆心到直线的距离2321kdk，即2670kk，解得1k 或7k ，所以 无最小值，故错误；第 9 页 共 19 页 B.因为直线10kxyk 恒过定点（1,-1），则1 111 23,1 321 32PMPNkk ，因为 以(3,1),(3,2)MN为端点的线段相交，所以32k 或12k ，故错误；C.因为点(,)P a b是圆222xyr外一点，所以222xyr，圆心到直线 l的222rdrab，则 l与圆相交，故正确；D.圆222:(4)(4)(0)Mxyrr，圆22:(1)1Nxy，圆心距为5dMN，因为圆222:(4)(4)(0)Mxyrr上恰有两点到点(1,0)N的距离为 1，所以两圆相交，则151rr ，解得46r，故正确；故选：AC 12数列 na满足11,121nnnaaaa，则下列说法正确的是（）A数列1na是等差数列 B数列1na的前 n 项和2nSn C数列 na的通项公式为21nan D数列 na为递减数列【答案】ABD【解析】首项根据11,121nnnaaaa得到1112nnaa，从而得到1na是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项 A，因为121nnnaaa，11a，所以121112nnnnaaaa，即1112nnaa 所以1na是以首项为1，公差为2的等差数列，故 A 正确.对选项 B，由 A 知：11 2121nnna 数列1na的前 n 项和21212nnnSn，故 B 正确.对选项 C，因为121nna，所以121nan，故 C 错误.对选项 D，因为121nan，所以数列 na为递减数列，故 D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和前 n 项和，同时考查了递推公式，属于中档第 10 页 共 19 页 题.三、填空题 13两平行直线1:3450lxy与2:60lxbyc间的距离为 3，则bc_.【答案】12或 48【分析】根据两条直线平行求出 b,进而通过两条平行线间的距离求出 c，最后求出答案.【详解】12ll/，8,10bc，2:3402clxy.2252334c，解得20c 或40c.12bc 或48bc.故答案为：-12 或 48.14已知 A，B为椭圆22195xy上两个不同的点，F 为右焦点，4AFBF，若线段 AB的垂直平分线交 x 轴于点 T，则FT_【答案】43【分析】设 1122,A x yB x y,利用焦半径公式得到123xx,设0,0T x，写出垂直平分线方程121212322xxyyyxyy，代入0,0T x，化简得到0 x值，最终求出FT的值.【详解】取椭圆方程为22221xyab，22cab，直线方程为2axac（椭圆右准线），椭圆上点00,P x y，右焦点,0F c，设点00,P x y到直线的距离为 d，则222222220222000022000222200222b xcc xccxbcxcxaxccxyaaadaxaxcPFcac 020cc axcaacxa，所以200caxacPFaex，因为本题椭圆离心率:23e，设 1122,A x yB x y 第 11 页 共 19 页 由焦半径公式:122233433xx得:123xx,即AB中点123,022yyT m，1212AByykxx，则AB垂直平分线斜率为1212xxyy 根据点,A B在椭圆上，则有2211195xy，2222195xy，作差化简得2222122159yyxx，则线段AB的垂直平分线方程为121212322xxyyyxyy,代入,0T m得:2222211212121255359922226xxxxyymxxxx ,即023x,则24|233FT.故答案为：43.【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，10PFexa，20PFaex，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.15若曲线exy 在点00,exA x00 x 处的切线也是曲线lnyx的切线，则004xxe的最小值为_【答案】54 2【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到0 x与0ex满足的关系式，将原式中的0ex替换，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】曲线exy 在点 A处的切线可写作000()xxyxxee 设该切线在曲线lnyx上的切点为(,ln)tt，则有0000lne()e1exxxttxt，消去 t得0001e1xxx 则0000000112441)44(54 211xxxxxxxe 第 12 页 共 19 页 当且仅当00421)1(xx，即0212x 时取得该最小值.故答案为：54 2.四、双空题 16我国古代九章算术一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为 4 升，上四节容量和为 3 升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是_，九节总容量是_.【答案】9566 20122【分析】由题分析设由下到上九节容量分别记为129,.,a aa，则129,.,a aa成等差数列，设公差为d，且1234aaa，67893aaaa，进而求得等差数列基本量，最后带入前 n 项和求和公式求得九节总容量.【详解】设由下到上九节容量分别记为129,.,a aa，则129,.,a aa成等差数列，设公差为d，且1234aaa，67893aaaa，即1231334aaaad，678914263aaaaad，所以19566a，766d ，故919 82019222Sad 故答案为：9566；20122【点睛】本题考查在数学文化中的等差数列求通项公式的基本量与前 n 项和，属于基础题.五、解答题 17在ABC中，已知2,4A，2,1B，8,4C，D，E分别为边AB，AC的中点，AHBC于点H.(1)求直线DE的方程；(2)求直线AH的方程.【答案】(1)250 xy；(2)20 xy.【分析】(1)根据给定条件求出点 D，E 坐标，再求出直线 DE方程作答.第 13 页 共 19 页(2)求出直线 AH 的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.【详解】（1）在ABC中，2,4A，2,1B，8,4C，则边AB中点5(0,)2D，边AC的中点(5,0)E，直线 DE 的斜率5012052k，于是得1522yx，即250 xy，所以直线DE的方程是：250 xy.（2）依题意，/BCDE，则直线 BC的斜率为12，又AHBC，因此，直线AH的斜率为2，所以直线AH的方程为：42(2)yx，即20 xy.18已知函数321()22f xxxx(1)求函数()yf x的图象在1x 处的切线方程；(2)求函数()yf x在 2,1上的最大值与最小值【答案】(1)4250 xy；(2)最大值是32，最小值是2.【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出在1x 处的切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）利用导数求出函数的单调区间，从而得到函数的极值，再与区间端点处的函数值比较，即可得到函数在闭区间上的最值.【详解】（1）3221()2,()322f xxxxfxxx，1(1),(1)22ff 函数()yf x的图象在1x 处的切线方程为：12(1)2yx，即4250 xy（2）令2()320fxxx，得11x 与223x，当 x变化时，()()fxf x、的变化如下表：x(2,1)1 21,3 23 2,13()fx 0 0 ()f x 32 2227 第 14 页 共 19 页 所以，11x 与223x 是函数在(2,1)上的两个极值点，而32221(2)2,(1),(1)23272ffff 函数()yf x在 2,1上的最大值是3(1)2f，最小值是(2)2f .19 已知等差数列 na前n项和为nS，424SS，*221nnaanN；数列 nb是等比数列，且12b，24b，32b，4b成等差数列.(1)求数列 na，nb的通项公式；(2)若数列 1nnna b的前n项和为nT，求1962nnTn 的表达式.【答案】(1)21nan；2nnb；(2)n为偶数时，1196(2)22nnnTn；n为奇数时，1196(2)22nnnTn 【分析】(1)设 na公差为d，设 nb公比为q，根据已知条件列出方程求出 d、1a和 q 即可得到两个数列的通项公式；(2)分 n为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列 1nnna b的前n项和为nT，从而求出1962nnTn 的表达式【详解】（1）设 na公差为d，424SS1114 4 144 222adadda，2111212121110nnaaandandad ，联立解得：11a，2d，21nan；设 nb公比为q，24b、32b、4b成等差数列222434444(2)02bbbqqqq，12 22nnnb 故21nan，2nnb （2）令(1)(1)21 2nnnn nna bnc，则2122141 2nnnccn，第 15 页 共 19 页 当n为偶数时，12nnTccc，1315 29 221 2nnTn ，31145 223 221 2nnnTnn，得：351135 24 24 24 221 2nnnTn ，121181 461 22310421 21 49nnnnnnTnT，当n为奇数时，1672221 29nnnnnnTTcn，n为偶数时，111196(2)61 226222nnnnnTnnn，n为奇数时，11196(2)6722921 26222nnnnnnTnnnn 20已知圆22:(4)1M xy，直线:20lxy，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B(1)若点P的坐标为(1,2)，过P作直线与圆M交于C、D两点，当2CD 时，求直线CD的方程；(2)求证：经过A、P、M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出定点的坐标【答案】(1)30 xy或790 xy(2)证明见解析，1 15(,)24 【分析】(1)根据条件得出圆心到直线CD的距离22d，设出直线CD的方程，解出k的值即可求出直线方程；(2)由题意可知过点A、P、M三点的圆即以PM为直径的圆，利用0PA MA得出圆的方程，将其与圆M的方程相减可得公共弦所在直线方程，整理解出定点坐标即可.【详解】（1）因为2CD，由垂径定理可知：圆心到直线CD的距离22d，直线CD的斜率必存在，设方程为2(1)yk x，即20kxyk，由点到直线的距离公式可得：圆心到直线CD的距离为22221kk，第 16 页 共 19 页 解得7k 或1k 所以直线CD的方程为30 xy或790 xy.（2）因为点P在直线:20lxy上，设(,2)P aa，(,)A x y，过A、P、M三点的圆即以PM为直径的圆，PAAM，则0PA MA，因为(,2)PAxa ya，(,4)MAx y，所以()(4)(2)0 x xayya 整理得224280 xyaxyaya，所以经过A、P、M三点的圆方程为：224280 xyaxyaya，将方程224280 xyaxyaya与22(4)1xy相减得两圆的公共弦方程：(42)8150a yaxa，即(28)4150 xyay，由2804150 xyy，解得：12154xy，所以两圆的公共弦过定点1 15(,)24.21已知函数 21ln2f xxax.（1）讨论 f x的单调性；（2）若 f x有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）10ae.【解析】（1）求出函数的导数，分为0a 和0a 两种情形，得出导数与 0 的关系，进而可得单调性；（2）由（1）知0a 显然不满足，当0a 时，可得max1()(ln1)2fxa，分为1ae和10ae两种情形，判断其与 0 的关系，结合零点存在性定理可得结果.【详解】解：（1）f x的定义域为0,，且 21axfxx，当0a 时，0fx，此时，f x在0,上单调递增，当0a 时，00afxxa，0afxxa，即 f x在0,aa上单调递增，在,aa上单调递减，综上可知：当0a 时，f x在0,上单调递增，第 17 页 共 19 页 当0a 时，f x在0,aa上单调递增，在,aa上单调递减.（2）由（1）知当0a 时，f x在0,上单调递增，函数 f x至多有一个零点，不合题意，当0a 时，f x在0,aa上单调递增，在,aa上单调递减，2max11111()ln(ln1)22fxfaaaaa，当1ae时，max11()(ln1)02fxfaa，函数 f x至多有一个零点，不合题意；当10ae时，max11()(ln1)02fxfaa 由于110,a，且211(1)ln11022faa ，由零点存在性定理知：f x在10,a上存在唯一零点，由于21aa，且222122222lnln02faaaaaaaa（由于ln xx）由零点存在性定理知：f x在1,a上存在唯一零点，所以实数a的取值范围是10ae.【点睛】利用导数研究函数的零点常见方法：（1）求出函数的导数，结合单调性得到函数的大致图象，研究其与x轴的交点；（2）利用分离参数思想，分离参数研究函数的单调性.22如图所示，椭圆222210 xyabab的左右顶点分别为1A、2A，上、下顶点分别为1B、2B，右焦点为F，13AF，离心率为12.第 18 页 共 19 页 （1）求椭圆的方程；（2）过点0,1E作不与y轴重合的直线l与椭圆交于点M、N，直线1MB与直线2NB交于点T，试讨论点T是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143xy；（2）存在，且定直线方程为3y.【分析】（1）由题意可得出关于a、c的方程组，求得a、c的值，可求得b的值，由此可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为1ykx，设点11,M x y、22,N xy，将直线l的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线1MB、2NB的方程，求出交点T的纵坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可得1123ceaAFac，解得2a，1c，223bac，因此，椭圆的标准方程为22143xy；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为1ykx，设点11,M x y、22,N xy，联立2213412ykxxy，消去x并整理得2243880kxkx，2226432 4396 210kkk，由韦达定理得122843kxxk，122843x xk.易知点10,3B、20,3B，直线1MB的斜率为11111133kxykxx，直线1MB的方程为13yk x，直线2NB的斜率为22222133kxykxx，直线2NB的方程为23yk x，第 19 页 共 19 页 由13yk x，23yk x可得1122112212121313331313kxkx xxkxykykxkx xxx，其中12122843kkx xxxk，12122121211212232313233233132323xxxxxxxyyxxxxxxx，解得3y.因此，点T在定直线3y 上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了定直线的问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.